[PDF] EXAMEN ANALYSE 4- session 1 Eléments de correction

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Licence de Mathématiques.

Université d"Artois. 2014-2015

EXAMEN ANALYSE 4- session1

Eléments de correction

Cours-Applications.

cf cours.

Exercice 1.PourxPRfixé, la fonctiontP r0;1s ÞÝÑexsin2ptqest continue donc intégrable sur le

segmentr0;1s. L"intégrale est bien définie etFest définie surR. Ensuite, :pt;xq P r0;1s RÞÝÑexsin2ptqadmet une dérivée partielleBBx2pt;xq pour tout pointpt;xq P r0;1s Rqui vaut

BBx2pt;xq sin2ptqexsin2ptq

De pluspt;xq P r0;1s RÞÝÑsin2ptqexsin2ptqest clairement continue.

Ainsi, la fonctionFest de classeC1(surR) et

@xPR; F1pxq » 1 0 sin2ptqexsin2ptqdt

Exercice 2.L"applicationpx;y

q PR2ÞÑx2ycosy3xest continue. Par ailleurs, on voit facilement queDest inclus dansr0;1s r0;1s(compact) donc l"intégrale est bien définie. L"applicationpx;yq PDÞÑ px2{y;y4{xqenvoieDdans le carrés0;1rs0;1rpar dé- finition deD. De plus, elle est bijective deDsurs0;1rs0;1r. En effet pourpu;vq P s0;1rs0;1r, le problèmeux2y etvy4x est équivalent àxu4{7v1{7etyu1{7v2{7, de pluspx;yqest alors bien dansDpar définition. Enfin les applicationspx;yq ÞÑ pu;vq etpu;vq ÞÑ px;yqsontC1doncpx;yq ÞÑ px2{y;y4{xqréalise bien unC1difféomorphisme deDsurs0;1rs0;1r. Le déterminant de la matrice jacobienne depu;vq Ps0;1rs0;1rÞÝÑ u

4{7v1{7;u1{7v2{7

vaut

17u2{7v4{7

On note par la suites0;1rs0;1ret on applique alors la formule de changement de variable D x

2ycosy3xdxdy¼

u

9{7v4{7cosuv17u2{7v4{7dudv17

ucosuvdudv D"après le théorème de Fubini, cela vaut encore 17 s0;1r s0;1rucosuvdv du

Commeufixé,»

s0;1rucosuvdv» 1 0 ucosuvdv sinpuvq 1 0 sinpuq, on obtient D x

2ycosy3xdxdy17

1 0 sinpuqdu1cosp1q7

Exercice 3.cf T.D.

Exercice 4.1) On fixe un réelxPs 1;1retnPN. Les intégrales sont bien définies comme intérgales de fonctions continues sur un segment. En effet, c"est évident concernantWn d"une part. D"autre part,tP r0;{2s ÞÝÑ11xcos2ptqest continue puisque1xcos2ptq ne s"annule pas car|x| 1. En effectuant le changement de variable proposé, on obtient

Fpxq »

8

011u2xdu»

8 01u

2?1x2du

1?1xarctan

u?1x 8 0 donc

Fpxq 2

?1x

11xcos2ptq8¸

n0 xcos2ptqn De plus, la série de fonctionstÞÑxcos2ptqnconverge normalement donc uniformé- ment surr0;{2s. En effet, on a pour touttP r0;{2set tout entiern:

qui est le terme général d"une série convergente (série géométrique de raison|x| 1).

Ainsi on peut intervertir signe somme et intégrale et cela donne

Fpxq »

{2 08 n0 xcos2ptqndt8¸ n0» {2

0xcos2ptqndt

2 soit

Fpxq 8¸

n0x n» {2 0 cos2nptqdt8¸ n0W nxn:

3) cf cours.

4) On a finalement pour toutxPs 1;1r

8 n0W nxnFpxq 2 ?1x2 8 n0p2nq!4 npn!q2xn: Par unicité du DSE, on obtient que pour tout entiern: W np2nq!2

2n1pn!q2

Exercice 5.1) PourxPRfixé, on a11n2x1x

1n

2qui est le terme général d"une série

1n 2 et conclure de même. DoncSpxqest bien défini.

2) Les fonctionsxÞÑ11n2xsont de classeC1surRet leur dérivée vautf1npxqn2p1n2xq2.

Or la série de fonction

°f1nconverge normalement donc uniformément sur tout intervalle de la formesa;8roùa¡0fixé. En effet, on a sup 21n
2 qui est le terme général d"une série convergente. D"après le théorème du cours sur la dérivation des séries de fonctions,Sest de classe C

1sursa;8ret pourx¡a, on a

S

1pxq 8¸

n0n2p1n2xq2 Tout ceci est valable poura¡0arbitraire. Pour toutx0PR, on choisissantaP s0;x0r, on obtient queSest de classeC1au pointx0(puisque sursa;8r) et que S

1px0q 8¸

n0n2p1n2x0q2 3quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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