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Quelques exercices

d"analyse corrigés Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Sommaire

1Outils pour les fonctions

2Fonctions continues

3Fonctions dérivables

4Développements limités

5Intégration

Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

1. Outils pour les fonctions

Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice 1 (Transformations de fonctions)On considère les applicationsf,g:R-→Rdéfinies pour toutx?R

parf(x) =3cos(2x-π/4)etg(x) =|f(x)|.1

Montrer quefest périodique et en déterminer une périodeT>0.2Étudier la parité des applicationsx?-→f(x+π/8)et

x?-→f(x+3π/8). Quelles propriétés peut-on en déduire sur le graphe def?3 Partant du graphe de la fonction cosinus, tracer les graphes def etgsur[-T,2T].Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o11On a pour toutx?R,f(x+π) =f(x), doncfest périodique et T=πest une période def.2On a pour toutx?R,f(x+π8 ) =3cos(2x), donc l"application x?-→f(x+π8 )estpaire. En d"autres termes, pour toutx?R, f(π8 +x) =f(π8 -x).Ainsi le graphe defestsymétriquepar rapport à l"axe d"équation x=π8 .On a pour toutx?R,f(x+3π8 ) =-3sin(2x), donc l"application x?-→f(x+3π8)estimpaire. En d"autres termes, pour toutx?R, f(3π8 +x) =-f(3π8 -x).Ainsi le graphe defestsymétriquepar rapport au point de coordonnées(3π8 ,0).3Pour toutx?[-T,2T], on a 2x-π4 ?[-2T-π4 ,4T-π4 ]=[-9π4 ,15π4

On utilise donc le graphe de la fonctioncossur[-9π4,15π4].Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o1TracéPartant de la fonctioncosinus,on translate deπ4vers la droite (crête

atteinte enπ/4),on étire verticalement d"un rapport 3 (amplitude 3),on compresse horizontalement dans un rapport 1/2,puis on effectue

une symétrie d"axeOx.xy ••1 -1• •15π4-

9π4••

- fonction cosinusy -3•3 - fonctionx?→3cos(2x-π4

85π89π813π82π-

85π89π813π82π-

- fonctionx?→3|cos(2x-π4 )|Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o1TracéPartant de la fonctioncosinus,on translate deπ4vers la droite (crête

atteinte enπ/4),on étire verticalement d"un rapport 3 (amplitude 3),on compresse horizontalement dans un rapport 1/2,puis on effectue

une symétrie d"axeOx.xy ••1 -1• •15π4-

9π4••

- fonction cosinusy -3•3 - fonctionx?→3cos(2x-π4

85π89π813π82π-

85π89π813π82π-

- fonctionx?→3|cos(2x-π4 )|Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice 2 (Fonctions homographiques)

Préliminaire.SoitE,Fdeux ensembles etf:E-→Fune application.On suppose qu"il existe deux applicationsg:F-→Eeth:F-→E

telles queh◦f=idEetf◦g=idF.

Montrer quefest bijective, queg=het quef-1=g.

Applications.1Soita,b,c?Ctels quec?=0 etbc?=-a2. On noteE=C\{ac

Soitf:E-→Edéfinie parf(z) =az+bcz-a.aMontrer que l"on a bienf(E)?E, puis calculer(f◦f)(z)pour

toutz?E.bEn déduire quefest bijective et donner l"expression de sa

réciproque.cExemple :E=C\{2i}etf(z) =2iz+3z-2i.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice 2 (Fonctions homographiques)

Préliminaire.SoitE,Fdeux ensembles etf:E-→Fune application.On suppose qu"il existe deux applicationsg:F-→Eeth:F-→E

telles queh◦f=idEetf◦g=idF.

Montrer quefest bijective, queg=het quef-1=g.

Applications.2

Soita,b,c?Ctels quea?=0 etbc=-3a2. On noteE=C\{ac

,-ac

Soitf:E-→Edéfinie parf(z) =az+bcz+a.aMontrer que l"on a bienf(E)?E, puis calculer(f◦f◦f)(z)

pour toutz?E.bEn déduire quefest bijective et donner l"expression de sa réciproque.cExemples :E=C\{1,-1}etf(z) =z-3z+1; E=C\{i,-i}etf(z) =z+3iiz+1.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2 Préliminaire.h◦f=idE=?finjective. En effet: soitx1,x2?Etels quef(x1) =f(x2).

Appliquonsh:(h◦f)(x1) = (h◦f)(x2).

Or(h◦f)(x1) =x1et(h◦f)(x2) =x2, doncx1=x2.f◦g=idF=?fsurjective. En effet: soity?F. On ay= (f◦g)(y) =f?g(y)?, doncg(y)est un antécédent deyparfdansE.Ainsifest injective et surjective, elle est bijective. De plus, pour touty?F,g(y)est l"unique antécédent dey

parf, doncf-1=g.Enfin, on ag=idE◦g= (h◦f)◦g=h◦(f◦g) =h◦idF=h.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2

Applications.1On poseE=C\{ac

}et pour toutz?E,f(z) =az+bcz-a.aPour toutz?E,f(z)est bien défini. Montrons quef(z)?E: f(z) =ac ??az+b=az-a2c ??a2+bc=0.

Orbc?=-a2, doncf(z)?=ac

, i.e.f(z)?E. Ainsif(E)?E. On peut donc calculer(f◦f)(z) =f(f(z)): (f◦f)(z) =af(z) +bcf(z)-aou encoref?az+bcz-a? aaz+bcz-a+bc az+bcz-a-a=(a2+bc)z(a2+bc)=z

d"oùf◦f=idE. (On dit quefestinvolutive.)bD"après le préliminaire,fest bijective etf-1=f.cExemple:a=2i,b=3,c=1. On a bienc?=0 etbc?=-a2.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2

Applications.2On poseE=C\{-ac

,ac

}et pour toutz?E,f(z) =az+bcz+aaveca?=0 etbc=-3a2.aPour toutz?E,f(z)est bien défini. Montrons quef(z)?E.D"une part,

f(z) =ac ??az+b=az+a2c ??a2=bc.

Orbc=-3a2eta?=0, doncf(z)?=ac

.D"autre part, f(z) =-ac ??az+b=-az-a2c ??z=-a2+bc2ac=ac Or ac /?E, doncf(z)?=-ac Finalement,f(z)?Eetf(E)?E.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2

Applications.2On poseE=C\{-ac

,ac }et pour toutz?E,f(z) =az+bcz+aaveca?=0 etbc=-3a2.aOn peut donc calculer(f◦f)(z) =f?f(z)?: (f◦f)(z) =af(z) +bcf(z) +a=aaz+bcz+a+bc az+bcz+a+a (a2+bc)z+2ab2acz+ (a2+bc)=-2a2z+2ab2acz-2a2 -az+bcz-aAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2

Applications.2On poseE=C\{-ac

,ac

}et pour toutz?E,f(z) =az+bcz+aaveca?=0 etbc=-3a2.aOn peut ensuite calculer(f◦f◦f)(z) =f?(f◦f)(z)?:

(f◦f◦f)(z) =-af(z) +bcf(z)-aou encoref?-az+bcz-a? -aaz+bcz+a+bc az+bcz+a-aou encorea-az+bcz-a+bc -az+bcz-a+a (bc-a2)zbc-a2=z d"oùf◦f◦f=idE.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2

Applications.2On poseE=C\{-ac

,ac

}et pour toutz?E,f(z) =az+bcz+aaveca?=0 etbc=-3a2.bD"après le préliminaire,fest bijective etf-1=f◦f.cExemple:a=1,b=-3,c=1.

On a biena?=0 etbc=-3a2, etf-1(z) =-z+3z-1.Exemple:a=1,b=3i,c=i. On a bienc?=0 etbc=-3a2, etf-1(z) =-z+3iiz-1.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2Tracés -f-f◦f-f◦f◦f=IdEAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés Exercice 3 (Somme des deux fonctions périodiques)

Soitp,q?N?etT>0.

On considère deux applicationsf,g:R-→Rtelles quefsoit pT-périodique etgsoitqT-périodique. Montrer que l"applicationf+gest périodique et en déterminer une période. Exemple.- Soith:R-→Rl"application définie pour toutx?R parh(x) =2sin(x2 )-3sin(x3

).Étudier la parité deh.Déterminer une périodeTdeh.Étudier les variations dehsur[0,T/2]puis tracer le graphe deh

sur[-T,2T].Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o31Les fonctionsfetgadmettent une période commune, e.g.(pq)T ou encoreT?=ppcm(p,q)T, doncf+gest périodique etT?en est une période.2La fonctionx?→2sin(x2 )est 4π-périodique et la fonction x?→ -3sin(x3 )est 6π-périodique, donc, en utilisant la question précédente avecT=π,p=4 etq=6, on voit quehest périodique etT?=12πen est une période.

Il suffit de l"étudier sur l"intervalle[0,T?]ou[-T?/2,T?/2].La fonctionhest clairement impaire, il suffit même de l"étudier

sur[0,T?/2] = [0,6π].Dérivée :h?(x) = cos(x2 )-cos(x3 ) =-2sin(5x12 )sin(x12

D"où les variations sur[0,6π]:

t0

12π5

24π5

6πh

?(t)0-0+0+3h(t)0? -5sin(π5 )?5sin(2π5 )?0Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o3Tracé xy

•••••••06π12π18π24π-6π-12πAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice 4 (Somme des deux fonctions périodiques) Soita?R\Q,λ,μ?R?etf:R-→Rla fonction définie par

f(x) =λsin(x) +μsin(ax).1Calculer les fonctions dérivéesf?etf??.2Montrer que la fonctionfn"est pas périodique.On pourra raisonner par l"absurde en supposant qu"elle admet une

périodeT>0, et écrire les conditions de périodicité pourfetf??.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o41Calculons les deux premières dérivées def(x)=λsin(x)+μsin(ax): f?(x)=λcos(x) +aμcos(ax) f ??(x)=-λsin(x)-a2μsin(ax)2Supposonsfpériodique. SoitT>0 une période def. Il est clair quef??est également périodique etTen est une période: ?x?R,f(x+T) =f(x)etf??(x+T) =f??(x) En particulier, pourx=0, on af(T)=f(0)etf??(T)=f??(0), soit λsin(T) +μsin(aT) =0 etλsin(T) +a2μsin(aT) =0 d"où l"on tire facilement,a2étant différent de 1,λetμdifférents de 0: sin(T) = sin(aT) =0, On aurait alorsa=qp. Ainsiaserait rationnel ce qui est contraire

à l"hypothèse.

Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice 5 (Une courbe de Lissajous)

Pour chaquet?R, on définit dans un repère orthonormé le point M(t)de coordonnées(cos(3t),sin(2t)).1Étudier la courbe paramétréeF:t?[0,π2 ]?-→M(t).2Examiner les symétries de la courbe paramétrée t?[0,2π]?-→M(t); on pourra regarder les pointsM(π-t), M(t+π).3Tracer alors cette courbe (courbe de Lissajousobservée par exemple sur un oscilloscope). Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o51Étude sur[0,π2 ]Vecteur tangent : ?F?(t) =-3sin(3t)?i+2cos(2t)?j.

D"où lesvariations simultanées :

t0 π4 π3 π2 x ?(t)0- -3⎷2 -0+3 y ?(t)2+0- -1- -2x(t)1? -1⎷2 ? -1?0 y(t)0?1?⎷3 2 ?0?

F?(0) =2?jet?F??π3

?=-?jdonc la courbe admet aux points de coordonnées(1,0)et(-1,⎷3 2 )des tangentesverticales ;?

F??π4

?=-3⎷2 ?idonc la courbe admet au point de coordonnées (-1⎷2 ,1)une tangentehorizontale ;?

F??π2

?=3?i-2?jdonc la courbe admet à l"origine une tangente de pente-23.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o5Tracé sur[0,π2 ]xy 11 11

O••

t=0t=π4••t=π3• •t=π2 Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o52?t?[0,π],? ?x(π-t) =-x(t) y(π-t) =-y(t)doncM(π-t) =sO(M(t)) oùsOest la symétrie du plan par rapport à l"origineO =?l"arc de courbe relatif à[π2 ,π]se déduit donc de celui relatif

à[0,π2

]par lasymétrie par rapport àO =?d"où le tracé sur[0,π]3?t?[0,2π],? ?x(π+t) =-x(t) y(π+t) =y(t)doncM(π+t) =sOy(M(t))

oùsOyest la symétrie du plan par rapport à l"axeOy=?l"arc de courbe relatif à[π,2π]se déduit donc de celui relatif

à[0,π]par lasymétrie par rapport àOy

=?d"où le tracé sur[π,2π]Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o5Tracé sur[0,2π]xy 1 11

O••t=0t=π2••t=π2t=π••t=πt=2πAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

2. Fonctions continues

Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice 6 (Supremum progressif)

SoitAetBdeux parties non vides deR. On supposeBmajorée.1Montrer que siA?B, alorssup(A)6sup(B).2Application. - Soitf:R+-→Rune application majorée et

g:R+-→Rl"application définie par g(t) = sup s?[0,t]f(s) = supf([0,t]).Montrer quegest croissante.On choisitf(t) = cos?

2t-2π3

-2cos? t-π3 Étudier les variations defsur[0,2π]. On pourra s"aider de la

fonction définie par?(t) = cos(2t)-2cos(t).Simplifierg(t)dans ce cas puis tracer le graphe degsur[0,4π].Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o61La partieBétant majorée, elle admet une borne supérieureβ. On a?x?B,x6β. Par ailleurs,Aétant contenu dansB, on a également ?x?A,x6βce qui montre queβest un majorant deA. DoncAest majorée, elle admet une borne supérieureα, qui par

définition est le plus petit des majorants deA. On a doncα6β.2Soitt1,t2?R+tels quet16t2. On a[0,t1]?[0,t2]donc

f([0,t1])?f([0,t2]), puissupf([0,t1])6supf([0,t2]), soit g(t1)6g(t2). Ainsigest croissante.On a??(t) =2[sin(t)-sin(2t)] =-4cos(3t2 )sin(t2 t- π3

0π3

π5π3

?(t)0+0-0+0-0?(t)- 32
? -1? -32 ?3? -32 ?(t) =-1??cos(t)[cos(t)-1] =0??t? {0,π2 ,3π2 t0 π3

5π6

4π3

+∞g(t)f(t)| -1|f(t)|3Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o6Tracé xy 0-

π3π

3π5π3

32-13
- fonction?π

32π34π32π4π-

32-13
- fonctionfπ

35π64π34π-

32-13
- fonctiongAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o6Tracé xy 0-

π3π

3π5π3

32-13
- fonction?π

32π34π32π4π-

32-13
- fonctionfπ

35π64π34π-

32-13
- fonctiongAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o6Tracé xy 0-

π3π

3π5π3

32-13
- fonction?π

32π34π32π4π-

32-13
- fonctionfπ

35π64π34π-

32-13
- fonctiongAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice 7 (Un théorème de point fixe)

On considère une applicationf: [0,1]-→[0,1].1On supposefcroissanteet l"on poseA={x?[0,1] :f(x)6x}.aMontrer queA?=?. Montrer queAadmet une borne inférieureαet

queα?[0,1].bMontrer que pour toutx?A, on af(x)?A.cMontrer quef(α)est un minorant deApuis en déduire queα?A.d

Déduire alors de la question 2 quef(α) =α, i.e. queαest unpoint

fixedef.2On supposefdécroissante. Admet-elle un point fixe ?3On supposefcontinueet l"on pose, pour toutx?[0,1]:

g(x) =f(x)-x.aMontrer quegadmet une racineα?[0,1].bEn déduire queαest unpoint fixedef.cQue dire dans le cas oùfestdécroissante ?Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o71Tracé : casfcroissanteAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o71Tracé : casfcroissante•Points fixesdef-Ensemble{x?[0,1]:f(x)6x}Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o71Cas où f estcroissante.aOn af([0,1])?[0,1], c"est-à-dire?x?[0,1],f(x)?[0,1].

En particulier :f(1)61, donc 1?AetA?=?.

Aest une partie de [0,1] non vide, elle est minorée et admet en

conséquence une borne inférieureα:α= inf(A).De plus, 0 est un minorant deA;αétant le plus grand des minorants,

on aα>0. Par ailleurs, 1 est un majorant deA, donc clairement α61. Ainsiα?[0,1].bSoitx?A. On af(x)6x, puis par croissance def, on obtient f(f(x))6f(x), i.e.f(x)?A.cSoitx?A. On ax>α, puis par croissance def, on af(x)>f(α). De plusx>f(x), doncx>f(α), ce qui signifie quef(α)est un minorant deA.

Orαest le plus grand de minorants, doncf(α)6α, i.e.α?A.dD"après la question 2, puisqueα?A, on a aussif(α)?A.

Doncf(α)>α. Finalementf(α) =α, i.e.αest unpoint fixedef.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o72Tracé : casfdécroissantefdiscontinuefcontinueAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o72Cas où f estdécroissante.afn"admet pas nécessairement depoint fixe(cf. figure précédente).bEn revanche, sifestdécroissanteetcontinue,alors elle admet ununiquepoint fixe(cf. alinéa suivant).Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o73Tracé : casfcontinue-courbe def -première bissectricequotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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