Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 6. Lors d'une loterie de Noël 300 billets sont vendus aux enfants de l'école; 4 billets sont gagnants. J'achète 10 billets
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Exercice 1. Montrer que 10 /? . On représente souvent les nombres réels sur une « droite numérique » : ?3. ?2. ?1. 0. 1. 2. 3. 4.
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229 245.00 Analyse vectorielle : forme différentielle champ de vecteurs
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4. Montrer que D n'est pas ouvert. 5. Déterminer D l'adhérence de D. On justifiera brièvement sa réponse
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un = (?1)n +. 1 n n'est pas convergente. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000507]. Exercice 4. Soit
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4. Démontrer les assertions restantes de la proposition 1. Analyse. Si f = g + h avec g ?
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Exercice 7. Calculer les primitives suivantes en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs : 1. ? x+2 x2?3x?4 dx. 2. ? x?1.
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et on calcule un dl en h = 0. Indication pour l'exercice 4 ?. Il s'agit bien sûr de calculer d'abord des dl afin d'obtenir la limite
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Exercice 4 **. Montrer que ? : R. 2. ?. R. 2. (xy) ?? (ex ?ey
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Correction ?. [005711]. Exercice 25 ***. Convergence et somme de la série de terme général un = ?. 4 ??n k=0. (?1)k. 2k+1 n ? 0. Correction ?.
Séries
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1Nature de la série de terme général1) (*)lnn2+n+1n
2+n12) (*)1n+(1)npn
3) (**)n+32n+1
lnn4) (**)1ln(n)ln(chn)5) (**)arccos3q11n
26) (*)n2(n1)!7)
cos1pn n1pe8) (**)ln2p
arctann2+1n9) (*)
Rp=20cos2xn
2+cos2xdx10) (**)np2sin(p4
+1n )11) (**)e1+1n nNature de la série de terme général
1) (***)
4pn4+2n23pP(n)oùPest un polynôme.2) (**)1n
aS(n)oùS(n) =å+¥p=21p n.3) (**)unoù8n2N,un=1n
eun1.4) (****)un=1p
noùpnest len-ème nombre premier (indication : considéreråNn=1ln
111pn
åNn=1ln(1+pn+p2n+:::)).
5) (***)un=1n(c(n))aoùc(n)est le nombre de chiffres denen base 10.
6) (*)
(Õnk=2lnk)a(n!)ba>0 etb>0.7) (**)arctan1+1n a arctan11n a8) (**)
1n aånk=1k3=2.9) (***)Õnk=11+kn a1.Nature de la série de terme général
1) (***)sinpn2n+1
2) (**)(1)nn+(1)n13) (**)ln
1+(1)npn
4) (***)einan
,cos(na)n etsin(na)n5) (**)(1)nlnnn
(1)nP(n)Q(n)oùPetQsont deux polynômes non nuls7) (****)(sin(n!pe))ppentier naturel non nul.
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.1) (**)
å+¥n=0n+13
n2) (**)å+¥n=32n1n34n3) (***)å+¥n=01(3n)!
4) (*)
å+¥n=21pn1+1pn+12pn
5) (**)
å+¥n=2ln
1+(1)nn
6) (***)
å+¥n=0lncosa2
na20;p2 textbf7)å+¥n=0th
a2 n2 n 1 converge. Montrer queun=n!+¥o1n . Trouver un exemple de suite(un)n2Nde réels strictement positifs telleque la série de terme généralunconverge mais telle que la suite de terme généralnunne tende pas vers 0.
2diverge.
u n)etRun0dx1+xesont de mêmes natures. terme généralpu nnconnaissant la nature de la série de terme généralunpuis en calculer la somme en cas de convergence.
Pourn2N, on poseSn=u0+:::+un. Etudier en fonction dea>0 la nature de la série de terme généralun(Sn)a.
2a,n>1.
+13 14 +:::=ln2.A partir de la série précédente, on construit une nouvelle série en prenantptermes positifs,qtermes négatifs,p
termes positifs ... (Par exemple pourp=3 etq=2, on s"intéresse à 1+13 +15 12 14 +17 +19 +11116 18 2
Convergence et somme de cette série.
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général1) (**)un=2n33n2+1(n+3)!2) (***)un=n!(a+1)(a+2):::(a+n),n>1,a2R+donné.
n!(a+1)(a+2):::(a+n)quandntend vers l"infini (aréel positif donné).å+¥k=n+11k
2quandntend vers l"infini.
Partie principale quandntend vers+¥de
1) (***)
å+¥p=n+1(1)plnpp
2) (**)ånp=1pp.
n2N;n6=p1n 2p2 etån2N
p2N;p6=n1n 2p2 . Que peut-on en déduire ?å+¥n=0(1)n3n+1.
. Montrer que si la série de terme général(un)2converge alors la série de terme général(vn)2converge et queå+¥n=1(vn)264å+¥n=1(un)2(indication :
majorerv2n2unvn). 3ånk=0(1)k2k+1,n>0.
Correction del"exer cice1 N1.Pour n>1, on poseun=lnn2+n+1n 2+n1 .8n>1,unexiste u n=ln1+1n +1n2ln1+1n
1n2=n!+¥
1n +O1n 21n+O1n 2=O1n 2.
Comme la série de terme général
1n2,n>1, converge (série de RIEMANNd"exposanta>1), la série de
terme généralunconverge. 2.Pour n>2, on poseun=1n+(1)npn
.8n>2,unexiste et de plusunn!+¥1n . Comme la série de terme général 1n ,n>2, diverge et est positive, la série de terme généralundiverge. 3.Pour n>1, on poseun=n+32n+1
lnn. Pourn>1,un>0 et ln(un) =ln(n)lnn+32n+1 =ln(n) ln12 +ln 1+3n ln 1+12n n!+¥ln(n) ln2+O1n n!+¥ln2ln(n)+o(1):Doncun=eln(un)n!+¥eln2lnn=1n
ln2. Comme la série de terme général1n ln2,n>1, diverge (série de RIEMANNd"exposanta61) et est positive, la série de terme généralundiverge. 4. Pour n>2, on poseun=1ln(n)ln(chn).unexiste pourn>2. ln(chn)n!+¥lnen2 =nln2n!+¥net unn!+¥1nln(n)>0. Vérifions alors que la série de terme général1nlnn,n>2, diverge. La fonctionx!xlnxest continue,
sur]1;+¥[). Par suite, la fonctionx!1xlnxest continue et décroissante sur]1;+¥[et pour tout entierk
supérieur ou égal à 2,1klnk>Rk+1
k1xlnxdxPar suite, pourn>2,
nk=2klnk>ånk=2R
k+1 k1xlnxdx=Rn+1Doncunest positif et équivalent au terme général d"une série divergente. La série de terme généralun
diverge. 5.Pour n>1, on poseun=arccos3q11n
2.unexiste pourn>1. De plusun!n!+¥0. On en déduit que
u nn!+¥sin(un) =sin arccos 3r11n 2! =s1 11n 2 2=3 =n!+¥s11+23n2+o1n 2 n!+¥r2 3 1n >0terme général d"une série de RIEMANNdivergente. La série de terme général un diverge.
6. Pour n>1, on poseun=n2(n1)!.unexiste etun6=0 pourn>1. De plus, 5 un+1u n =(n+1)2n2(n1)!n!=(n+1)2n
3n!+¥1n
!n!+¥0<1. D"après la règle de d"ALEMBERT, la série de terme généralunconverge. 7.Pour n>1, on poseun=
cos1pn n1pe .unest défini pourn>1 car pourn>1,1pn 20;p2 et donc cos 1pn >0. Ensuite ln cos1pn n!+¥ln112n+124n2+o1n
2 n!+¥12n+124n218n2+o1n 2 n!+¥12n112n2+o1n 2Puisnln
cos1pn =n!+¥12112n+o1n
et donc u n=enln(cos(1=pn)1pe =n!+¥1pe e112n+o(1n )1 n!+¥112npe <0.La série de terme général112npe
est divergente et donc la série de terme généralundiverge. 8. ln 2p arctann2+1n =ln 12p arctannn 2+1 n!+¥2p arctannn 2+1 n!+¥2p nn2+1n!+¥2np<0:
Donc, la série de terme généralundiverge. 9.Pour n>1, on poseun=Rp=2
0cos2xn
2+cos2xdx.
Pourn>1, la fonctionx7!cos2xn
2+cos2xdxest continue sur0;p2
et positive et donc,unexiste et est positif.De plus, pourn>1,
06un6Rp=2
01n2+0dx=p2n2.
La série de terme général
p2n2converge et donc la série de terme généralunconverge.10.p2sin
p4 +1n =sin1n cos1n =n!+¥1+O1n puis p2sin p4 +1n lnn=n!+¥ln(n)+Olnnn =n!+¥ln(n)+o(1).Par suite,
0 (p4 +1n )lnnn!+¥elnn=1n La série de terme général
1n diverge et la série de terme généralundiverge. 11.nln1+1n
=n!+¥112n+o1n et donc u n=n!+¥ee112n+o(1n )=n!+¥e11+12n+o1n n!+¥e2n>0. 6 La série de terme général
e2ndiverge et la série de terme généralundiverge.Correction del"exer cice2 N1.Si Pn"estpasunitairededegré3,unnetendpasvers0etlasériedetermegénéralundivergegrossièrement.
SoitPun polynôme unitaire de degré 3. PosonsP=X3+aX2+bX+c. u n=n 1+2n 2 1=4 1+an +bn 2+cn 3 1=3! n!+¥n 1+12n2+O1n
3 1+a3n+b3n2a29n2+O1n
3 n!+¥a3 +12 b3 +a29 1n +O1n 2 • Sia6=0,unne tend pas vers 0 et la série de terme généralundiverge grossièrement. • Sia=0 et12 b3 6=0,unn!+¥
12 b3 1n .unest donc de signe constant pourngrand et est équivalent au terme général d"une série divergente. Donc la série de terme généralundiverge. • Sia=0 et12 b3 =0,un=n!+¥O1n 2. Dans ce cas, la série de terme généralunconverge (absolument).
En résumé, la série de terme généralunconverge si et seulement sia=0 etb=32 ou encore la série de terme généralunconverge si et seulement siPest de la formeX3+32 X+c,c2R.
2. Pour n>2, posonsun=1n
aS(n). Pourn>2, 0 1p n612 å+¥p=21p
n=12 S(n) et donc8n>2,S(n)6S(2)2 n2. Par suite, u n61n aS(2)2 n2=n!+¥o1n 2. Pour tout réela, la série de terme généralunconverge. 3.8u02R,8n2N,un>0. Par suite,8n>2, 0 On en déduit que lim
n!+¥un=0 et par suiteunn!+¥1n >0. La série de terme généralundiverge. 4. On sait qu"il e xisteune infinité de nombres premiers. Notons(pn)n2Nla suite croissante des nombres premiers. La suite(pn)n2Nest une suite strictement croissante d"entiers et donc lim n!+¥pn= +¥ou encore limn!+¥1p n=0. Par suite, 0<1p
nn!+¥ln 11p n 1 et les séries de termes généraux 1p net ln 11p n 1 sont de même nature. Il reste donc à étudier la nature de la série de terme général ln 11p n 1 Montrons que8N2N,å+¥n=1ln
11p n 1 >lnåNk=11k Soitn>. Alors1p
n<1 et la série de terme général1p kn,k2N, est une série géométrique convergente de somme : å+¥k=01p
kn= 11p n 1. 7 Soit alorsNun entier naturel supérieur ou égal à 2 etp1 inférieurs ou égaux àN. Tout entier entre 1 etNs"écrit de manière uniquepb11:::pbkkoù8i2[[1;n]], 06bi6ai=Eln(N)ln(pi)
et deux entiers distincts ont des décompositions distinctes. Donc k=1ln 11p k 1! >nå k=1ln 11p k 1! (car8k2N; 11p k 1 >1) nå k=1ln i=01p ik! >nå k=1ln akå i=01p ik! =ln nÕ k=1 akå i=01p ik!! =ln 06b16a1;:::;:::06bn6an1p
b11:::;pbnn! >ln Nå k=11k Or lim
N!+¥lnåNk=11k
= +¥et doncå+¥k=1ln 11p k 1 La série de terme général ln
11p k 1diverge et il en est de même de la série de terme général1p
n. (Ceci montre qu"il y a beaucoup de nombres premiers et en tout cas beaucoup plus de nombres premiers que de carrés parfaits par exemple). 5. Soit n2N. Posonsn=ap10p+:::+a110+a0où8i2[[0;p]],ai2 f0;1;:::;9getap6=0. Alors c(n) =p+1. Déterminonspest en fonction den. On a 10p6n<10p+1et doncp=E(log(n)). Donc 8n2N,un=1n(E(logn)+1)a.
Par suite,unn!+¥ln
a(10)nlna(n)et la série de terme généralunconverge si et seulement sia>1 (séries de BERTRAND). Redémontrons ce résultat qui n"est pas un résultat de cours. La série de terme général
1nlnnest divergente (voir l"exercice1 , 4)). Par suite, sia61, la série de terme
général 1nlna(n)est divergente car8n>2,1nlna(n)>1nlnn.
Soita>1. Puisque la fonctionx7!1xlnaxest continue et strictement décroissante sur]1;+¥[, pourk>3,
1klnak6Rk
k11xlnaxdx puis, pourn>3, en sommant pourk2[[3;n]] nk=31klnak6ånk=3R k k11xlnaxdx=Rn 21xlnaxdx=1a1
1ln a1(2)1ln a1(n) 61a11ln
a1(2). Ainsi, la suite des sommes partielles de la série à termes positifs, de terme général 1klnak, est majorée et
donc la série de terme général 1klnakconverge.
quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48
La série de terme général
1n diverge et la série de terme généralundiverge.11.nln1+1n
=n!+¥112n+o1n et donc u n=n!+¥ee112n+o(1n )=n!+¥e11+12n+o1n n!+¥e2n>0. 6La série de terme général
e2ndiverge et la série de terme généralundiverge.Correction del"exer cice2 N1.Si Pn"estpasunitairededegré3,unnetendpasvers0etlasériedetermegénéralundivergegrossièrement.
SoitPun polynôme unitaire de degré 3. PosonsP=X3+aX2+bX+c. u n=n 1+2n 2 1=4 1+an +bn 2+cn 3 1=3! n!+¥n1+12n2+O1n
31+a3n+b3n2a29n2+O1n
3 n!+¥a3 +12 b3 +a29 1n +O1n 2 • Sia6=0,unne tend pas vers 0 et la série de terme généralundiverge grossièrement. • Sia=0 et12 b36=0,unn!+¥
12 b3 1n .unest donc de signe constant pourngrand et est équivalent au terme général d"une série divergente. Donc la série de terme généralundiverge. • Sia=0 et12 b3 =0,un=n!+¥O1n2. Dans ce cas, la série de terme généralunconverge (absolument).
En résumé, la série de terme généralunconverge si et seulement sia=0 etb=32 ou encore la série de terme généralunconverge si et seulement siPest de la formeX3+32X+c,c2R.
2.Pour n>2, posonsun=1n
aS(n). Pourn>2,0 1p n612 å+¥p=21p
n=12 S(n) et donc8n>2,S(n)6S(2)2 n2. Par suite, u n61n aS(2)2 n2=n!+¥o1n 2. Pour tout réela, la série de terme généralunconverge. 3.8u02R,8n2N,un>0. Par suite,8n>2, 0 On en déduit que lim
n!+¥un=0 et par suiteunn!+¥1n >0. La série de terme généralundiverge. 4. On sait qu"il e xisteune infinité de nombres premiers. Notons(pn)n2Nla suite croissante des nombres premiers. La suite(pn)n2Nest une suite strictement croissante d"entiers et donc lim n!+¥pn= +¥ou encore limn!+¥1p n=0. Par suite, 0<1p
nn!+¥ln 11p n 1 et les séries de termes généraux 1p net ln 11p n 1 sont de même nature. Il reste donc à étudier la nature de la série de terme général ln 11p n 1 Montrons que8N2N,å+¥n=1ln
11p n 1 >lnåNk=11k Soitn>. Alors1p
n<1 et la série de terme général1p kn,k2N, est une série géométrique convergente de somme : å+¥k=01p
kn= 11p n 1. 7 Soit alorsNun entier naturel supérieur ou égal à 2 etp1 inférieurs ou égaux àN. Tout entier entre 1 etNs"écrit de manière uniquepb11:::pbkkoù8i2[[1;n]], 06bi6ai=Eln(N)ln(pi)
et deux entiers distincts ont des décompositions distinctes. Donc k=1ln 11p k 1! >nå k=1ln 11p k 1! (car8k2N; 11p k 1 >1) nå k=1ln i=01p ik! >nå k=1ln akå i=01p ik! =ln nÕ k=1 akå i=01p ik!! =ln 06b16a1;:::;:::06bn6an1p
b11:::;pbnn! >ln Nå k=11k Or lim
N!+¥lnåNk=11k
= +¥et doncå+¥k=1ln 11p k 1 La série de terme général ln
11p k 1diverge et il en est de même de la série de terme général1p
n. (Ceci montre qu"il y a beaucoup de nombres premiers et en tout cas beaucoup plus de nombres premiers que de carrés parfaits par exemple). 5. Soit n2N. Posonsn=ap10p+:::+a110+a0où8i2[[0;p]],ai2 f0;1;:::;9getap6=0. Alors c(n) =p+1. Déterminonspest en fonction den. On a 10p6n<10p+1et doncp=E(log(n)). Donc 8n2N,un=1n(E(logn)+1)a.
Par suite,unn!+¥ln
a(10)nlna(n)et la série de terme généralunconverge si et seulement sia>1 (séries de BERTRAND). Redémontrons ce résultat qui n"est pas un résultat de cours. La série de terme général
1nlnnest divergente (voir l"exercice1 , 4)). Par suite, sia61, la série de terme
général 1nlna(n)est divergente car8n>2,1nlna(n)>1nlnn.
Soita>1. Puisque la fonctionx7!1xlnaxest continue et strictement décroissante sur]1;+¥[, pourk>3,
1klnak6Rk
k11xlnaxdx puis, pourn>3, en sommant pourk2[[3;n]] nk=31klnak6ånk=3R k k11xlnaxdx=Rn 21xlnaxdx=1a1
1ln a1(2)1ln a1(n) 61a11ln
a1(2). Ainsi, la suite des sommes partielles de la série à termes positifs, de terme général 1klnak, est majorée et
donc la série de terme général 1klnakconverge.
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å+¥p=21p
n=12 S(n) et donc8n>2,S(n)6S(2)2 n2. Par suite, u n61n aS(2)2 n2=n!+¥o1n 2. Pour tout réela, la série de terme généralunconverge.3.8u02R,8n2N,un>0. Par suite,8n>2, 0 On en déduit que lim
n!+¥un=0 et par suiteunn!+¥1n >0. La série de terme généralundiverge. 4. On sait qu"il e xisteune infinité de nombres premiers. Notons(pn)n2Nla suite croissante des nombres premiers. La suite(pn)n2Nest une suite strictement croissante d"entiers et donc lim n!+¥pn= +¥ou encore limn!+¥1p n=0. Par suite, 0<1p
nn!+¥ln 11p n 1 et les séries de termes généraux 1p net ln 11p n 1 sont de même nature. Il reste donc à étudier la nature de la série de terme général ln 11p n 1 Montrons que8N2N,å+¥n=1ln
11p n 1 >lnåNk=11k Soitn>. Alors1p
n<1 et la série de terme général1p kn,k2N, est une série géométrique convergente de somme : å+¥k=01p
kn= 11p n 1. 7 Soit alorsNun entier naturel supérieur ou égal à 2 etp1 inférieurs ou égaux àN. Tout entier entre 1 etNs"écrit de manière uniquepb11:::pbkkoù8i2[[1;n]], 06bi6ai=Eln(N)ln(pi)
et deux entiers distincts ont des décompositions distinctes. Donc k=1ln 11p k 1! >nå k=1ln 11p k 1! (car8k2N; 11p k 1 >1) nå k=1ln i=01p ik! >nå k=1ln akå i=01p ik! =ln nÕ k=1 akå i=01p ik!! =ln 06b16a1;:::;:::06bn6an1p
b11:::;pbnn! >ln Nå k=11k Or lim
N!+¥lnåNk=11k
= +¥et doncå+¥k=1ln 11p k 1 La série de terme général ln
11p k 1diverge et il en est de même de la série de terme général1p
n. (Ceci montre qu"il y a beaucoup de nombres premiers et en tout cas beaucoup plus de nombres premiers que de carrés parfaits par exemple). 5. Soit n2N. Posonsn=ap10p+:::+a110+a0où8i2[[0;p]],ai2 f0;1;:::;9getap6=0. Alors c(n) =p+1. Déterminonspest en fonction den. On a 10p6n<10p+1et doncp=E(log(n)). Donc 8n2N,un=1n(E(logn)+1)a.
Par suite,unn!+¥ln
a(10)nlna(n)et la série de terme généralunconverge si et seulement sia>1 (séries de BERTRAND). Redémontrons ce résultat qui n"est pas un résultat de cours. La série de terme général
1nlnnest divergente (voir l"exercice1 , 4)). Par suite, sia61, la série de terme
général 1nlna(n)est divergente car8n>2,1nlna(n)>1nlnn.
Soita>1. Puisque la fonctionx7!1xlnaxest continue et strictement décroissante sur]1;+¥[, pourk>3,
1klnak6Rk
k11xlnaxdx puis, pourn>3, en sommant pourk2[[3;n]] nk=31klnak6ånk=3R k k11xlnaxdx=Rn 21xlnaxdx=1a1
1ln a1(2)1ln a1(n) 61a11ln
a1(2). Ainsi, la suite des sommes partielles de la série à termes positifs, de terme général 1klnak, est majorée et
donc la série de terme général 1klnakconverge.
quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48
On en déduit que lim
n!+¥un=0 et par suiteunn!+¥1n >0. La série de terme généralundiverge. 4. On sait qu"il e xisteune infinité de nombres premiers. Notons(pn)n2Nla suite croissante des nombres premiers. La suite(pn)n2Nest une suite strictement croissante d"entiers et donc lim n!+¥pn= +¥ou encore limn!+¥1p n=0.Par suite, 0<1p
nn!+¥ln 11p n 1 et les séries de termes généraux 1p net ln 11p n 1 sont de même nature. Il reste donc à étudier la nature de la série de terme général ln 11p n 1Montrons que8N2N,å+¥n=1ln
11p n 1 >lnåNk=11kSoitn>. Alors1p
n<1 et la série de terme général1p kn,k2N, est une série géométrique convergente de somme :å+¥k=01p
kn= 11p n 1. 7Soit alorsNun entier naturel supérieur ou égal à 2 etp1 Tout entier entre 1 etNs"écrit de manière uniquepb11:::pbkkoù8i2[[1;n]], 06bi6ai=Eln(N)ln(pi) Soita>1. Puisque la fonctionx7!1xlnaxest continue et strictement décroissante sur]1;+¥[, pourk>3,06b16a1;:::;:::06bn6an1p
b11:::;pbnn! >ln Nå k=11k Or lim
N!+¥lnåNk=11k
= +¥et doncå+¥k=1ln 11p k 1 La série de terme général ln
11p k 1diverge et il en est de même de la série de terme général1p
n. (Ceci montre qu"il y a beaucoup de nombres premiers et en tout cas beaucoup plus de nombres premiers que de carrés parfaits par exemple). 5. Soit n2N. Posonsn=ap10p+:::+a110+a0où8i2[[0;p]],ai2 f0;1;:::;9getap6=0. Alors c(n) =p+1. Déterminonspest en fonction den. On a 10p6n<10p+1et doncp=E(log(n)). Donc 8n2N,un=1n(E(logn)+1)a.
Par suite,unn!+¥ln
a(10)nlna(n)et la série de terme généralunconverge si et seulement sia>1 (séries de BERTRAND). Redémontrons ce résultat qui n"est pas un résultat de cours. La série de terme général
1nlnnest divergente (voir l"exercice1 , 4)). Par suite, sia61, la série de terme
général 1nlna(n)est divergente car8n>2,1nlna(n)>1nlnn.
1klnak6Rk
k11xlnaxdx puis, pourn>3, en sommant pourk2[[3;n]] nk=31klnak6ånk=3R k k11xlnaxdx=Rn 21xlnaxdx=1a1
1ln a1(2)1ln a1(n) 61a11ln
a1(2). Ainsi, la suite des sommes partielles de la série à termes positifs, de terme général 1klnak, est majorée et
donc la série de terme général 1klnakconverge.
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