[PDF] Brevet blanc Mai 2010 On souhaite savoir où placer

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Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 1

BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES Mai 2010

La calculatrice est autorisée. Le soin et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

N° candidat : ......................................................

Observations

Présentation et rédaction : /4

ACTIVITES NUMERIQUES

/12

Exercice 1 :

On donne :

A = 6 5 - 1714 ¸ 5 7

B = 8´10

8´1,6

0,4´10

-3 C = (5 + 10)² - 102

1) Ecrire A sous la forme d"une fraction irréductible.

2) Donner l"écriture scientifique de B.

3) Montrer que C est un nombre entier.

Exercice 2 :

Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne réponse.

Vous reporterez le numéro de la question avec la lettre correspondant à votre réponse sur votre copie.

Aucune justification n"est demandée.

Réponses

A B C

1 Quelle expression est égale à 6 si on choisit la valeur x = -1 ? -3x² 6(x + 1) 5x² + 1

2 Le développement de

(x + 3)(2x + 4) - 2(5x + 6) est : 2x² 2x² + 20x + 24 2x² + 24

3 La factorisation de 9x² - 16 est : (3x - 4)² (3x + 4)(3x - 4) (3x + 4)²

4 Les solutions de l"équation

(x - 5)(3x + 4) = 0 sont : 4

3 et 5 - 4

3 et 5 4 3 et - 5 Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 2

Exercice 3 :

ABCD est un rectangle et M est un point appartenant au côté [CD]. Toutes les longueurs sont exprimées

en centimètres.

On souhaite savoir où placer le point M pour que l"aire du rectangle ADMT soit inférieure à l"aire du

rectangle MCRS.

1) On appelle x la longueur DM. Exprimer l"aire du rectangle ADMT en fonction de x.

2) Exprimer l"aire du rectangle MCRS en fonction de x.

3) Quelle inéquation permet de traduire l"information suivante :

" L"aire du rectangle ADMT doit être inférieure à celle du rectangle MCRS » ?

4) Résoudre l"inéquation suivante :

4x < 3(7 - x)

Représenter ses solutions sur une droite graduée.

5) Conclure.

Exercice 4 :

1) Résoudre le système d"équations ci-dessous :

4a + 8b = 12

2a + b = 2,7

2) A la boulangerie, Marie achète deux croissants et quatre pains aux raisins pour 6 €.

Dans la même boulangerie, Karim achète deux croissants et un pain aux raisins pour 2,70 €.

Quel est le prix d"un croissant ?

Quel est le prix d"un pain aux raisins ?

7 4 x 3 Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 3

ACTIVITES GEOMETRIQUES

/12

Exercice 1 :

1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 7,5 cm ; BC = 10 cm et AC = 12,5 cm.

2) Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.

3) a) Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5 cm.

b) Construire le point G appartenant au segment [BC] tel que CG = 4 cm.

4) Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles.

5) Montrer que la longueur FG est égale à 3 cm.

6) Les droites (FG) et (BC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

Exercice 2

En Travaux Pratiques de Chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés erlenmeyers, comme celui

schématisé ci-dessous à droite.

Le récipient est rempli d"eau jusqu"au niveau maximum indiqué sur le schéma par une flèche.

On note : C

1 le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB.

C

2 le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O" et de rayon O"B".

On donne SO = 12 cm et OB = 4 cm.

1) Le volume d"un cône de révolution de rayon R et de hauteur h est donné par la formule :

V = 1 3

´p´R²´h

Calculer la valeur exacte du volume du cône C

1.

2) Le cône C2 est une réduction du cône C1. On donne SO" = 3 cm.

a) Quel est le coefficient de cette réduction ? b) Prouver que la valeur exacte du volume du cône C

2 est égale à p cm3.

3) a) En déduire que la valeur exacte du volume d"eau contenue dans le récipient, en cm

3, est

63p.
b) Donner la valeur approchée de ce volume d"eau arrondie au cm

3 près.

4) Ce volume d"eau est-il supérieur à 0,2 litres ? Expliquer pourquoi.

Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 4

PROBLEME

/12

Partie 1

Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique. Offre A : 1,20 € par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site. Offre B : 0,50 € par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35 €.

1) Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an.

2) a) Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l"offre A.

b) Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l"offre B.

3) Soit f et g les fonctions définies par f : x 1,2x et g : x 0,5x + 35

a) L"affirmation ci-dessous est-elle correcte ? Expliquer pourquoi. " f et g sont toutes les deux des fonctions linéaires. »

b) Représenter sur la feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal les représentations

graphiques de f et g. On prendra 1 cm pour 10 morceaux en abscisse et 1 cm pour 10 € en ordonnée.

4) Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes.

5) Déterminer l"offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l"année.

6) Si on dépense 80 €, combien de morceaux peut-on télécharger avec l"offre B ?

Partie 2

On admet qu"un morceau de musique représente 3 Mo de mémoire. (1 Mo = 1 méga-octet)

1) Combien de morceaux de musique peut-on télécharger sur une clé USB d"une capacité de 256

Mo ?

La vitesse de téléchargement d"un morceau de musique sur le site est de 10 Mo/s (méga-octet par

seconde)

2) Combien de morceaux peut-on télécharger en deux minutes ?

Correction

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ACTIVITES NUMERIQUES /12

Exercice 1 :

On donne :

A = 6 5 - 1714 ¸ 5 7

B = 8´10

8´1,6

0,4´10

-3 C = (5 + 10)² - 102

1) Ecrire A sous la forme d"une fraction irréductible.

2) Donner l"écriture scientifique de B.

3) Montrer que C est un nombre entier.

1) A = 6

5 - 1714´7 5 = 6 5 - 17

10 = 12 - 17

10 = - 5

10 = - 1

2

2) B = 8´4´10

8+3 = 32´1011 = 3,2´1012

3) C = 5 + 2´

5´10 + 10 - 102 = 15 + 2´5´5 ´2 - 102

C = 15 + 10

2 - 102

15 est bien un entier.

Exercice 2 :

Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne réponse.

Vous reporterez le numéro de la question avec la lettre correspondant à votre réponse sur votre copie.

Aucune justification n"est demandée.

Réponses

A B C

1 Quelle expression est égale à 6 si on choisit la valeur x = -1 ? -3x² 6(x + 1) 5x² + 1

2 Le développement de

(x + 3)(2x + 4) - 2(5x + 6) est : 2x² 2x² + 20x + 24 2x² + 24

3 La factorisation de 9x² - 16 est : (3x - 4)² (3x + 4)(3x - 4) (3x + 4)²

4 Les solutions de l"équation

(x - 5)(3x + 4) = 0 sont : 4

3 et 5 - 4

3 et 5 4

3 et - 5

Correction

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Exercice 3 :

ABCD est un rectangle et M est un point appartenant au côté [CD]. Toutes les longueurs sont exprimées

en centimètres.

On souhaite savoir où placer le point M pour que l"aire du rectangle ADMT soit inférieure à l"aire du

rectangle MCRS.

1) On appelle x la longueur DM. Exprimer l"aire du rectangle ADMT en fonction de x.

2) Exprimer l"aire du rectangle MCRS en fonction de x.

3) Quelle inéquation permet de traduire l"information suivante :

" L"aire du rectangle ADMT doit être inférieure à celle du rectangle MCRS » ?

4) Résoudre l"inéquation suivante :

4x < 3(7 - x)

Représenter ses solutions sur une droite graduée.

5) Conclure.

1) AADMT = AD´DM = 4x

2) A

MCRS =CM´CR = (7 - x)´3

3) A

ADMT < AMCRS  4x < 3(7 - x)

4)

4x < 3(7 - x)  4x < 21 - 3x  4x + 3x < 21  7x < 21  x < 21

7  x < 3

5) L"aire du rectangle ADMT est inférieure à l"aire du rectangle MCRS si DM < 3 cm.

7 4 x 3 3

Correction

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Exercice 4 :

1) Résoudre le système d"équations ci-dessous :

4a + 8b = 12

2a + b = 2,7

2) A la boulangerie, Marie achète deux croissants et quatre pains aux raisins pour 6 €.

Dans la même boulangerie, Karim achète deux croissants et un pain aux raisins pour 2,70 €.

Quel est le prix d"un croissant ?

Quel est le prix d"un pain aux raisins ?

1)

4a + 8b = 12

2a + b = 2,7 ?

-2a - 4b =-6

2a + b = 2,7 (On divise la première équation par -2.)

-4b + b = -6 + 2,7

2a + b = 2,7

b = -3,3 -3 = 1,1

2a +1,1 = 2,7

b = 6,6

6 = 1,1

a =

2,7 - 1,1

2 a = 0,8 b =1,1

2) Si on désigne par a le prix d"un croissant et par b le prix d"un pain aux raisins.

Le problème conduit au système suivant :

2a + 4b = 6

2a + b = 2,7

Ce système est équivalent à celui de la première question. Donc le prix d"un croissant est 0,80 € et le prix d"un pain aux raisins 1,10 €.

ACTIVITES GEOMETRIQUES /12

Exercice 1 :

1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 7,5 cm ; BC = 10 cm et AC = 12,5 cm.

2) Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.

3) a) Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5 cm.

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