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COURBES PARAMETREES

P. Pansu

November 1, 2004

1 Motivation

La trajectoire d"un point qui se d´eplace dans un plan, c"estdonn´e par deux fonctionsx(t) ety(t)

du temps.

2 Objectif

Lorsque les fonctionst?→x(t) ett?→y(t) sont donn´ees, on veut tracer la courbe `a la main.

On sait d´ej`a tracer des trajectoires particuli`eres, celles o`ux(t) =t. En effet, dans ce cas, la

courbe est le graphe d"une fonction d"une variable r´eelle.On va voir que le trac´e dans le cas g´en´eral

se d´eduit de ce cas particulier. Il y a deux nouveaut´es : le traitement des sym´etries, et celui des points singuliers. Notre exemple favori : la courbe d´ecrite parx(t) = sin(2t),y(t) = sin(3t) pourt?R.

3 Sym´etries

Attention, il y a deux fonctions en jeu,x(t) ety(t), et non une,y=f(x). Ca change tout. La

parit´e/imparit´e des fonctionsx(t) ety(t) se traduit par exemple par les sym´etries suivantes.

•Lorsquexetysont impaires,c(-t) =-c(t) s"obtient `a partir dec(t) par une sym´etrie centrale. •Lorsquexest impaire etypaire,c(-t) s"obtient `a partir dec(t) par une sym´etrie par rapport `a l"axeOy. •Lorsquexetysont paires,c(-t) =c(t), donc la courbe revient sur ses pas. •Lorsquexest paire etyimpaire,c(-t) s"obtient `a partir dec(t) par une sym´etrie par rapport `a l"axeOx. Pas de recette `a apprendre par coeur, mais un raisonnement d"une ligne `a savoir refaire.

Exemple.Dans l"exemplec(t) =?sin(2t)

sin(3t)? , la recherche de sym´etries conduit aux conclusions suivantes.

Commex(t+2π) =x(t) ety(t+2π) =y(t), l"intervalle [0,2π] suffit `a param´etrer toute la courbe.

Commex(t+π) =x(t) ety(t+π) =-y(t), la portion de la courbe param´etr´ee par [π,2π]

s"obtient `a partir de celle param´etr´ee par [0,π] par une sym´etrie par rapport `a l"axe 0x.

Commex(π-t) =-x(t) ety(π-t) =y(t), la portion de la courbe param´etr´ee par [π/2,π]

s"obtient `a partir de celle param´etr´ee par [0,π/2] par une sym´etrie par rapport `a l"axe 0y.

On ´etudie donc la courbe sur l"intervalle [0,π/2] et on compl`ete le trac´e par deux sym´etries.

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4 Points singuliersUn pointc(t0) d"une courbecest ditsinguliersi la vitessec?(t0) = 0. On se demande quel est

l"aspect de la courbe au voisinage d"un point singulier. Pour cela, on utilise des d´eveloppements

limit´es. On pourra d´ecrire l"aspect de la courbe sous l"hypoth`ese que les d´eveloppements limit´es

n´ecessaires poss`edent des termes non nuls. Pour all´eger les notations, on supposera toujours quet0= 0.

4.1 Proc´ed´e pratique

On suppose quec(t) poss`ede un d´eveloppement limit´e de la forme c(t) =c(0) +tav1+tbv2+tb?(t), o`ua < betv1etv2sontlin´eairement ind´ependants.

Alors labranche sortante, i.e. pourtpositif petit, est contenue dans le quadrant d´elimit´e par

v

1etv2et tangente `av2.

Labranche entrante, i.e. pourtn´egatif petit, est aussi tangente `av1, mais contenue dans l"un des 4 quadrants d´efinis parv1etv2. Lequel ? Cela d´epend des signes detaet detbpourt <0, i.e. de la parit´e deaet deb. 2vv 12vv 12vv 12vv 1

On peut justifier le trac´e comme suit : il existe un changement de coordonn´ees tel que, dans les

nouvelles coordonn´ees, la branche sortante ait pour ´equationY=Xb/a. Dans le dernier cas, cela

ne suffit pas `a compl´eter le trac´e. Pour d´ecider si la branche entrante est plus proche ou moins

proche dev1que la branche sortante, il faut pousser le d´eveloppement limit´e plus loin, jusqu"`a ce

qu"un terme entc,cimpair, apparaisse.

4.2 Terminologie

La terminologie suivante doit ˆetre connue.

D´efinition 11. Siaest pair etbimpair, on parle depoint de rebroussement de premi`ere esp`ece. Dans ce cas, la courbe poss`ede une demi-tangente de vecteur directeurv1.

2. Siaest impair etbimpair, on parle depoint d"inflexion. Dans ce cas, la courbe poss`ede une

tangente de vecteur directeurv1.

3. Siaest impair etbpair, on parle depoint ordinaire. Dans ce cas, la courbe poss`ede une

tangente de vecteur directeurv1.

4. Siaest pair etbimpair, on parle depoint de rebroussement de deuxi`eme esp`ece. Dans ce

cas, la courbe poss`ede une demi-tangente de vecteur directeurv1. Exemple.Etude du point singulier ent= 0 de la courbe param´etr´ee parx(t) =t2,y(t) =t2+t3.

Le d´eveloppement limit´e

c(t) =t2?12? +t3?01? +t3?(t) montre qu"il s"agit d"un point de rebroussement de premi`ere esp`ece. La courbe poss`ede une demi- tangente de vecteur directeur?12? 0.04 0.02

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Rebroussement de premi`ere esp`ece

Exemple.Etude du point singulier ent= 0 de la courbe param´etr´ee parx(t) =-t3+t4, y(t) =t3.

Le d´eveloppement limit´e

c(t) =t3?-1 1? +t4?10? +t4?(t) montre qu"il s"agit d"un point ordinaire, avec tangente de vecteur directeur?-1 1?

0.20.1-0.1-0.20.2

0.1 -0.1 -0.2

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Point ordinaire

Exemple.Etude locale de la courbe param´etr´ee d´efinie parx(t) = 3(sin(t)-t),y(t) =t3+t5.

Le d´eveloppement limit´e

c(t) =t3?-1 21?
+t5?1401? +t5?(t), montre qu"il s"agit d"un point d"inflexion, de tangente de vecteur directeur?-1 21?

0.20.1-0.1-0.20.2

0.1 -0.1 -0.2

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Point d"inflexion

Exemple.Etude locale de la courbe param´etr´ee d´efinie parx(t) = 3(cos(t)-1),y(t) =t2+t4+t5.

Le d´eveloppement limit´e

c(t) =t2?3 21?
+t4?-181? +t4?(t), montre qu"il s"agit d"un point de rebroussement de deuxi`eme esp`ece, de demi-tangente de vecteur directeur? 3 21?
-0.2-0.4-0.6-0.81 0.8 0.6 0.4 0.2

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Point de rebroussement de deuxi`eme esp`ece

5 Branches infiniesOn parle debranche infinielorsquettend verst0(´eventuellementt0=±∞) si l"une des fonction

x(t) ety(t) n"est pas born´ee au voisinage det0.

Comme dans le cas des courbes repr´esentatives de fonctions, on dira qu"une courbe param´etr´ee

admet pourasymptotela droite d"´equationAx+By+C= 0 lorsquettend verst0(´eventuellement a=±∞) si l"une des fonctionx(t) ety(t) n"est pas born´ee au voisinage det0et si lim t→t0Ax(t) +By(t) +C= 0. Si|y(t)|tend vers l"infini etx(t) poss`ede une limite finieC, alors la droite affine d"´equation x-C= 0 est asymptote `a la courbe.

Sinon, pour d´eceler la pr´esence d"une ´eventuelle asymptote pourtvoisin det0, on ´etudie le

rapport y(t) x(t). Si lim t→t0y(t) x(t)= +∞, on dit que la courbe admet unebranche parabolique de direction asymptotiqueOy. S"il admet une limite finieB, on ´etudie la diff´erencey(t)-Bx(t). Si limt→t0y(t)-Bx(t) =±∞, on dit que la courbe admet unebranche parabolique de direction asymptotique la droite vectorielle d"´equationy=Bx. Si limt→t0y(t)-Bx(t) =C est finie, on conclut que la droite affine d"´equationy-Bx-C= 0 est asymptote `a la courbe. Exemple.Etude des branches infinies de la courbe param´etr´ee d´efinie parx(t) =-4t2+ 4t, y(t) = 3t3-t.

Comme lim

t→±∞y(t)/x(t) =?∞, la courbe pr´esente des branches paraboliques de directionOy.

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