[PDF] Fiche méthode : Etude de fonctions

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MPSILyc´ee Rabelais`alire tranquillementpour lundi 28 septembre 2009

Fiche m´ethode : Etude de fonctions

Le plan d"´etude d"une fonction est comme suit : 1

Ensemble de d´efinition, ensemble d"´etude

2

Etude de la continuit´e (si n´ecessaire)

3 Etude de la d´erivabilit´e (si n´ecessaire) 4

Etude des variations

5 Etude des limites aux bornes de l"ensemble de d´efinition 6

Trac´e de la courbe repr´esentative Γf.

Partie I.Domaine de d´efinition et domaine d"´etude

I-1.Domaine de d´efinition

La fonction `a ´etudier est construite par op´erations `a partir de fonctions usuelles. Vous en d´eduisez

le domaine de d´efinitionDfdef. En g´en´eral, les th´eor`emes "OPA" sur les fonctions continues ou

d´erivables permettent directement de conclure quant `a lacontinuit´e et `a la d´erivabilit´e def.

Exemple :f(x) = ln[x(x-1)] est d´efinie et de classeC∞sur ]- ∞,0[?[1,+∞[.

I-2.Domaine d"´etude

LorsquefestT-p´eriodique, on peut restreindre l"´etude `a un intervalle de longueurT, par exemple

D f∩[0,T[, et compl´eter par sym´etrie.

Il est possible de restreindre le domaine d"´etude lorsquefest paire ou impaire. Plus g´en´eralement,

s"il existea?Dftel que ?si pour toutx,f(2a-x) =f(x), alors la droite d"´equationx=aest axe de sym´etrie de Γf. On peut restreindre l"´etude `aDf∩[a,+∞[ et compl´eter ensuite par sym´etrie. ?si pour toutx,f(2a-x) = 2f(a)-f(x), alors le pointA?a f(a)? est centre de sym´etrie de Γ f. On peut restreindre l"´etude `aDf∩[a,+∞[ et compl´eter ensuite par sym´etrie. Exemple :La fonctionf(x) = sin2xcos2xest de classeC∞surRpar op´erations alg´ebriques. De plus,fest paire etπ-p´eriodique. On restreint l"´etude `a [0,π/2]. Partie II.Etude de la continuit´e aux points particuliers

Parfois les th´eor`emes "OPA" sur les fonctions continues ne permettent pas de conclure. Des ´etudes

particuli`eres sont alors n´ecessaires.

C"est le cas, notamment, lorsque la fonctionfest d´efinie par des expressions diff´erentes `a gauche et

`a droite d"un pointa. Exemple :Soitf:R→Rd´efinie parf(0) = 0, et pour toutx?R?,f(x) =?x(1-lnx) six >0 xln(1-1/x) six <0 En ce cas, vous utilisez les limites `a droite et `a gauche :

Proposition.-sifest d´efinie au pointa.

limx→af(x) =f(a)???

•lim

x→a-f(x) =f(a)

•lim

x→a+f(x) =f(a) Exercice 1 :Etudiez la continuit´e de la fonctionf:R→Rd´efinie par pour toutx?R, f(x) =?x?+? x- ?x?

Partie III.Etude de la d´erivabilit´e

Comme pour la continuit´e, la question est souvent r´egl´eepar OPA sur des fonctions d´erivables.

N´eanmoins, une ´etude particuli`ere est parfois n´ecessaire. Pour ´etudier la d´erivabilit´e en un pointadu domaine de d´efinition, vous pouvez •revenir `a la d´efinition et ´etudier la limite des taux de variationsf(x)-f(a) x-a

•´etudier les d´eriv´ees `a gauche et `a droite au pointa: lorsqu"elles existent et sont finies, il s"agit

des limites : f ?g(a) = lim x→a-f(x)-f(a) x-aetf?d(a) = lim x→a+f(x)-f(a)x-a Proposition.-S"il existed?Rtel quef?g(a) =f?d(a) =d,alors fest d´erivable au pointaetf?(a) =d.

Vocabulaire :Sif?g(a)etf?d(a)existent mais sont diff´erentes, on dit que le graphe defpr´esente un

point anguleux. Exercice 2 :Etudiez la d´erivabilit´e def(x) =? x3(2-x). 2

Th´eor`eme.- condition suffisante de d´erivabilit´eSoitfune fonction d´erivable d´erivable dansI\ {a}.

•S"il existed?Rtel que limx→aRemarque :On a bien sˆur des ´enonc´es analogues en rempla¸cant limx→aou limx→a?=.

Partie IV.Variations

Vous r´esolvez l"in´equationf?(x)≥0, et non pas l"´equationf(x) = 0 Vous en d´eduisez, grˆace aux

liens avec la monoonie les variations def. Vous pr´esentez ces r´esultats sous forme d"un tableau de variations.

Exercice 3 :Etudiez les variations def(x) =x+?

3x(8-x).

Partie V.Etude aux bornes du domaine

V-1.D´efinitions

L"´etude des branches infinies sert `a pr´eciser l"allure dela courbe repr´esentative d"une fonction au

voisinage des bornes du domaiie. Ces bornes peuvent ˆetre r´eelles ou infinies. Nous distinguons deux

notions : les asymptotes et les branches paraboliques.

Asymptote verticale

Siaest une borne r´eelle du domaine de d´efinition, le graphe defpeut pr´esenter un point d"arrˆet

ou une asymptote verticale. Il s"agit d"´etudier limx→af(x), o`uaest une borne r´eelle du domaine de

d´efinition. On suppose de plus quefn"est pas d´efinie au pointa.

D´efinition :S"il existe un nombre r´eel??Rtel quelimx→af(x) =?, on dit quefest prolongeable par

continuit´e au pointa. Le graphe defpr´esente alors unpoint d"arrˆetenA(a,?). 3 D´efinition :On dit que la droite d"´equationx=aestasymptote verticale`aCfsilimx→af=±∞. Exemple :La fonction ln(x-2)+xsinxadmet la droite d"´equation x= 2 comme asymptote verticale.

±10±8±6±4±202468

Supposons d´esormais que +∞est une borne du domaine de d´efinition. Au voisinage de +∞, le

graphe defpeut pr´esenter une asymptote (horizontale ou oblique), ouune branche parabolique.

Asymptote horizontale

D´efinition :On dit que la droite d"´equationy=?estasymptote horizontaleen+∞`aCfsilimx→+∞f(x) =?. On dit que la droite d"´equationy=?estasymptote horizontale en-∞`aCfsilimx→-∞f(x) =?.

Exemple :La fonction 5-exp(-x+⎷

3x+ 1) admet la droite

d"´equationy= 5 comme asymptote horizontale en +∞.

012345678

1 2 3 4 5 6 7

Asymptote oblique

D´efinition :On dit que la droite d"´equationy=a x+b(a?R?, b?R) estasymptote obliqueen+∞`aCfsilimx→+∞?f(x)-ax- b?= 0. On dit que la droite d"´equationy=a x+b(?R?etb?R) est asymptote obliqueen-∞`aCfsilimx→-∞?f(x)-ax-b?= 0.

Exemple :La fonction 2 +1

2x+ 5x2(x-2) exp(-x) admet la

droite d"´equationy= 2 +1

2xcomme asymptote oblique en +∞.

012345678

y

1 2 3 4 5 6 7

x

Branche parabolique de direction(Ox)

D´efinition :On dit queCfpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique(Ox)en+∞si :

•limx→+∞f(x) =±∞.

•limx→+∞f(x)

x= 0

Exemple :La fonction lnx+⎷

2x-1 pr´esente une branche para-

bolique de direction asymptotique (Ox) en +∞.

012345678

y

1 2 3 4 5 6 7

x 4

Branche parabolique de direction(Oy)

D´efinition :On dit queCfpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique(Oy)en+∞si :

•limx→+∞f(x) =±∞.

•limx→+∞f(x)

x=±∞

Exemple :La fonction 1-⎷

x+x22pr´esente une branche parabo- lique de direction asymptotique (Oy) en +∞.

012345678

y

1 2 3 4 5 6 7

x Branche parabolique de direction la droite d"´equationy=ax D´efinition :On dit queCfpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique la droite d"´equationy=axen +∞si :

•limx→+∞f(x)

x=a.

•limx→+∞f(x)-ax=±∞

Exemple :Le graphe de la fonctionx

2+⎷2x-2 pr´esente une

branche parabolique de direction asymptotique la droite d"´equation y=1

2xen +∞.

012345678

y

2 4 6 8 10 12

x

V-2.Recherche des branches infinies

Pour l"´etude des branches infinies, pensez avant tout `a utiliser les d´efinitions, car l"´enonc´e vous

guide souvent. Si ce n"est pas le cas, vous proc´edez de la mani`ere suivante : •Au voisinage d"un pointa?¯I(une borne r´eelle de l"intervalle) : ?si limx→af(x) =±∞, la droite d"´equationx=aest asymptote verticale. •Au voisinage d"une borne infinie de l"intervalle, par exemple +∞: ?Si limx→+∞f(x) =??R, la droite d"´equationy=?est asymptote horizontale. •Si limx→+∞f(x) =±∞, il faut poursuivre l"analyse ... ?Si limx→+∞f(x) x= 0, la courbe pr´esente une branche parabolique de direction asympto- tique (Ox) ?Si limx→+∞f(x) x=±∞, la courbe pr´esente une branche parabolique de direction asymp- totique (Oy)

•Si limx→+∞f(x)

x=a?R?, il faut poursuivre l"analyse ... ?Si limx→+∞f(x)-ax=±∞, la courbe pr´esente une branche parabolique de direction asymptotique la droite d"´equationy=ax ?Si limx→+∞f(x)-ax=b?R, la droite d"´equationy=ax+best asymptote `a la courbe. Exercice 4 :Recherchez les asymptotes obliques de courbe d"´equation cart´esienney=⎷ x2+ 3x+ 2.

Partie VI.Trac´e de la courbe

La figure doit comporter les tangentes horizontales, les tangentes particuli`eres, les asymptotes.

Partie VII.Exercices

Exercice 5 :Etudiez et repr´esentez

1.f(x) =⎷

x2+ 3x-4.

2.f(x) = sin2x+ cosx.

3.f(x) =x+ ln(1 +ex).

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