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LOI DU MOMENT CINÉTIQUE

Plan

I. Moment cinétique

3

1. Moment cinétique d"un point matériel par rapport à un point

3 a) Définition 3 b) Propriété 3

2. Moment cinétique d"un point matériel par rapport à un axe orienté

4

3. Moment cinétique d"un système de points par rapport à un axe orienté

6

4. Cas du solide en rotation autour d"un axe fixe

6

II. Moment d"une force

9

1. Moment d"une force par rapport à un point

9

2. Moment d"une force par rapport à un axe orienté

10 a) Définition 10 b) Bras de levier 11

3. Moment résultant. Couple de force

14 a) Moment résultant 14 b) Couple de force 14

4. Liaison pivot

15

III.Loi du moment cinétique

16

1. Forces intérieures - forces extérieures

16

2. Loi du moment cinétique

16

3. Solide en rotation autour d"un axe fixe : loi scalaire du moment cinétique

18

4. Retour sur la liaison pivot

18

IV.Pendule pesant

2 0

1. Description

20

2. Équation du mouvement

20

3. Intégrale première

2 2

4. Portrait de phase

22

V. Pendule de torsion

2 3

1. Couple de torsion

23

2. Équation du mouvement

23

3. Intégrale première du mouvement

24
VI.Approche énergétique du solide en rotation 25

1. Énergie cinétique d"un solide en rotation autour d"un axe fixe

25

2. Puissance d"une force s"exerçant sur un point d"un solide en rotation

25

3. Théorème de l"énergie cinétique pour un solide en rotation

26

4. Action mécaniques conservatives - Énergie potentielle

27

5. Énergie mécanique

28
1 VII.Bilan énergétique pour un système déformable30

1. Première constatation

30

2. Travail des forces intérieures

30

3. Théorème de l"énergie cinétique pour un système déformable

31

4. Exemple : bilan énergétique du tabouret d"inertie

31
2 Quand on tourne le volant d"une voiture, on exerce deux forces opposées en deux points dia-

métralement opposés. D"après la loi de la quantité de mouvement on vérifie que le centre de

masse du système ne se déplace pas. Pourtant, le fait d"exercer ce "couple" de force permet de mettre en mouvement le volant. Le mouvement va donc être décrit par une nouvelle loi, bien adaptée à l"étude des mouvements de rotation : la loi du moment cinétique.

I. Moment cinétique

1. Moment cinétique d"un point matériel par rapport à un point

a) Définition

SoitMun point matériel se déplaçant à la vitesse~vdans un référentielR. SoitAun point

quelconque. On définit~A(M)=Rle moment cinétique du pointMenApar rapport au réfé- rentielR~

A(M)=R=!AM^~p(M)=R=!AM^m~v(M)=Rb) Propriété

B(M)=R=!BM^~p(M)=R

= (!BA+!AM)^~p(M)=R =!BA^~p(M)R+~A(M)=R~

B(M)=R=~A(M)=R+!BA^~p(M)RDimensionnellement[k~k] =M:L2:T1( kg.m2.s1en unité SI). On peut remarquer que ces

dimensions sont les mêmes que celles de la constante de Planckh1. Autre écriture courante : le moment cinétique~A(M)=Rest fréquemment noté~LA(M)=R.

Pour alléger l"écriture on ne précisera plus par la suite le référentiel d"étudeRdans la notation.1.p=h

, avecla longueur d"onde de de Broglie 3

2. Moment cinétique d"un point matériel par rapport à un axe orien-

téSoit un axe.

SoitOun point quelconque de.

Soit~uun vecteur unitaire colinéaire à l"axe.Le sens de~udéfinit l"orientation de l"axe. On définit(M)le moment cinétique deMpar rap- port à l"axe orienté, dans un référentielRdonné par (M) =~O(M):~uQuelques remarques : .Le signe dedépend du sens d"orientation choisi. .La définition est indépendante de la position du pointOchoisi sur l"axe.

SoitO02tel que~OO06=~0.

D"après la propriété établie précédemment~O0(M) =~O(M) +!O0O^~p(M), d"où

O0(M):~u=~O(M):~u+ (!O0O^~p(M)):~u|{z}

=0car!O0Ok~u=~O(M):~u= .Seule la composante orthoradialevde la vitesse contribue au moment cinétique par rapport

à l"axe.

Plaçons nous en coordonnées cylindriques : l"axeOzest confondu avec l"axe,~uz=~u. (!OM=r~ur+z~uz ~v= _r~ur+r_~u+ _z~uz=vr~ur+v~u+vz~uz

OM^m~v=m

r 0 z^ v r v v z=m z v z v rrvz rv ainsi par projection=~O(M):~u=~O(M):~uz=mrv=rp=mr2_avecp=~p:~u composante orthoradiale de la quantité de mouvement. =rp=rmv=mr2_4 On a tracé sur les figures ci-dessous uniquement la composante orthoradiale de la vitesse Pour _ >0,v=r_ >0, le pointMtourne autour de l"axedans le sens direct>0. Pour _ <0,v=r_ <0, le pointMtourne autour de l"axedans le sens indirect<0. Le sens direct (sens positif) est lié à l"orientation de l"axepar la règle du tire-bouchon. Le moment cinétique sera nul siv= 0. Dans ce cas le vecteur vitesse~vest contenu dans le plan défini parMet l"axe. 5

3. Moment cinétique d"un système de points par rapport à un axe

orienté On considère un systèmeSde points matérielsMide masse demiaveci= 1:::n. Le moment

cinétique enOdu système, par rapport à un référentielRdonné est la somme des moments

cinétiques de chacun des points. O=nX i=1~

O(Mi) =nX

i=1!

OMi^mi~v(Mi)

Par projection, le moment cinétique du systèmeSpar rapport à un axeorienté sera =~O:~u=nX i=1~

O(Mi):~u=nX

i=1 (Mi)En se plaçant en coordonnées cylindriques de telle sorte que l"axesoit confondu avecOz, on aura : =nX i=1m ir2i_ioùrireprésente la distance du pointMià l"axe.

4. Cas du solide en rotation autour d"un axe fixeOn considère un solideen rotation à la

vitesse angulaire!=_dans le sens direct autour d"un axefixe dans le référentiel d"étudeR. Chaque point dedécrit dansR une trajectoire circulaire d"axeà la même

vitesse angulaire!.8i_i=_=!D"après le résultat précédent, si on décompose le solide en un grand nombre de points, le

moment cinétique depar rapport à l"axevaudra= X im ir2i! _ = X im ir2i!

En réalité, chaque "point" correspond à un volume élémentaire de massedmet la sommation

n"est pas discrète mais continue, ce qui revient à poser une intégrale. J ZZZ dmr2 ZZZ dV r2 6 Le moment cinétique par rapport à l"axeest donc proportionnel à la vitesse angulaire de rotation du solide autour de l"axe. On exprimerasous la forme =J!avecJ= X im ir2i!J est appelé moment d"inertie du solide par rapport à l"axe.

Dimensionnellement[J] =M.L2(kg.m2en unité SI).

Le moment d"inertie dépend de la répartition spatiale de la masse autour de l"axe de rotation.

Exemples :

Système de massem, constitué de deux points matériels de massesm2 rigidement liés par une tige de masse négligeable :J = 2m2 `2 2 =m`24 Tige de massem, homogène, de longueur`en rotation autour d"un axeperpendiculaire passant par son milieu :J =m`212

Dans ce deuxième cas, la même massemest répartie uniformément sur toute la longueur de la

tige : le moment d"inertie est plus faible que celui trouvé dans le premier cas où la toute masse

mse trouvait aux points les plus éloignés de l"axe. De manière générale plus la masse est répartie loin de l"axe, plus le moment d"iner- tie augmente(exemple : suivant que l"on place les bras perpendiculairement au corps ou le long du corps, on modifie son moment d"inertie par rapport à un axe vertical passant parG, voir cas du patineur). Tige de massem, homogène, de longueur`en rotation autour d"un axeperpendiculaire passant par une de ses extrémités :Tige homogène de masse massem, de longueur`J =m`23

Si toute la massemétait concentrée à l"autre extrémité de la tige, le moment d"inertie vaudrait

J =m`2. Il est donc normal ici de trouver une valeur inférieure.Justification : On découpe la tige en petits éléments, de longueurdr, de massedm=m` drcar la tige est homogène. Chaque élément de longueur possède un moment d"inertiedmr2. On additionne 7 ensuite tous ces moments d"inertie en posant l"intégrale : J =Z 0 dmr2=Z 0m` drr2=m` Z 0 r2dr=m` 33
=m`23 Moment d"inertie de solides homogènes autour de leur axe de symétrie Cylindre creux homogène de rayonRde masse totalem:J =mR2Cylindre plein homogène de rayonRde masse totalem:J =12 mR2Sphère pleine de rayonRde massem:J =25 mR28

II. Moment d"une force

1. Moment d"une force par rapport à un point

SoitMle point d"application d"une force~F.

SoitOun point quelconque.

On définit

~MO(~F)le moment enOde la force~Fpar~

MO(~F) =!OM^~FDimensionnellementk~MO(~F)kest homogène à une force multipliée par une longueur. Cela

correspond également aux dimensions d"une énergie mais en unité SI, le moment d"une force s"exprime généralement en N.m.

Le moment enOde la force sera nul si

- la force s"applique au pointOlui-même (M=O) ~Fest colinéaire à!OM: la droite définie parMet~Fpasse parO(force centrale).

Propriété :

MO0(~F) =!O0M^~F

!O0O+!OM)^~F !O0O^~F+~MO(~F)~

MO0(~F) =~MO(~F) +!O0O^~F9

2. Moment d"une force par rapport à un axe orienté

a) DéfinitionSoit un axe.

SoitOun point quelconque de.

Soit~uun vecteur unitaire colinéaire à l"axe .Le sens de~udéfinit l"orientation de l"axe.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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