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Le produit scalaire dans le contexte de la géométrie plane

Programme de mathématiques de première générale

Le calcul vectoriel et le produit scalaire permettent une approche de la géométrie différente de celle des Anciens sans doute puissante

PRODUIT SCALAIRE ET GEOMETRIE REPEREE

24 avr. 2021 Première générale – spécialité mathématique ... Produit scalaire et géométrie repérée ... Calculer le produit scalaire suivant : .

Chapitre 12 - Produit scalaire (partie 2)

Dans ce chapitre nous allons poursuivre l'étude géométrique (du produit scalaire) Le lien entre droites et calcul vectoriel s'effectue via la notion de ...

Cours 1ère spécialité

Le lien entre droites et calcul vectoriel s'effectue via la notion de vecteur notre étude de la géométrie du plan à l'aide du produit scalaire.

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. APPLICATIONS. DU PRODUIT SCALAIRE. I. Calculs d'angles et de longueurs. 1) Calculs d'angles.

Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel I Produit scalaire (de

Le produit scalaire de deux vecteurs et noté Disposition pratique (calcul matriciel) : (Ux Uy Uz) ... En géométrie (dans un repère orthonormé).

Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE

Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE. Exercice 1 : on considère le carré de centre et de côté 8. Calculer les produits scalaires suivants :.

Le produit scalaire quelle histoire

Calcul portant diversement sur les objets géométriques. Signification physique mécanique

Chapitre12

Produitscalaire(par tie2)

Danscechap itre,n ousallonspoursuivrel'étude géométrique(du produits calaire)enta méeplus

tôtdans l'annéetoute nfaisantlelienavecles notionsvu esencla ssedeseconde(vecteu rdirecteu r, équationcartésiennesdedro ites).Anouveau,danscequisu it,nou smunironsleplan d'unrepère (O, i, j);lescoordonnéesdespointsquenousallonsconsidérerparlas uiteserontexp riméesdans cerep ère.

12.1Rap pelssurlesdroitesetlesv ecteursdi recteurs

Voicidebrefs rappel sconcernantles droitesdansleplan.

12.1.1Equati oncartésienned'unedroi te

Définition12.1.1.Touteéquatio ndelaforme

(E):ax+by+c=0 avec(a,b,c)#R 3 estappelé eéquationcartésien ned'unedroite. Proposition42.Atoutedroite(d)duplan ilestpos sibl ed'associerun eéquationcartésienneoù leco uple(a,b)$=(0,0)etré ciproquement. Remarque.1.U nedroite(d)peutadmettreplusieursreprésentationscartésiennes.

2.Le séquationsc artésiennespeuvents'éc riresousformed'équationréduitededroite:

y=mx+p oùm#Restlecoe !cientdirecteu rdeladroiteetp#Restl'o rdonnéeàl'origine. •Si( d)estparallèleàl'axe(Oy)alors(d)auneéquationdelaforme x=k aveck#R. 101

102CHAPITRE12.PRODUITS CALAIRE(PAR TIE2)

12.1.2Vecte urdirecteur

Leli enentredro itesetcalculvector iels'e"ectueviala notiondevecte urdire cteur. Définition12.1.2.Unv ecteurdirecteurd'unedr oite(d)estunvect eurdont ladirectionest pa- rallèleàcellede(d). Remarque.Enpart iculier,siAetBsontdespoi ntsappart enantàladroite(d)alorslevecteur AB estunvect eurdirect eurde(d).Ra ppelonségalementlefaitsuiv ant:si uestunvect eurdirect eur de(d)alorsk uaveck#R l'estégalem ent. Voyonsàprésentde que llemanièreilestpossi bled'o btenirunve cteurdirecteuràpartir d'une

équationcartésiennededroi te.

Proposition43.Soit(d)unedro itedupland'équatio ncartés ienneax+by+c=0,avec (a,b,c)#R 3 ,alors u(!b;a)estunvect eurdire cteurde(d). Remarque.Iles tmêmeposs ibled'avoirl acaractérisationsuivant edespointsMappartenantàla droite(d).

M#(d)%&

uet

AMsontcolin éaires.

avec uunve cteurdirecteurdeladroit eetA#(d). Exemple12.1.1.Dansunrepè re,dét erminonsuneéquationc artésiennedeladroite(d)définie parlep ointA(!1;1)etd evecte urdirec teur u(3;2).

Puisque

uestunv ecteurdir ecteurde(d),c elasignifiequ ecettedroiteadmetuneéqu ation cartésiennedelaforme(E):2 x!3y+c=0pouruncertainc#R.Deplus,lepointA#(d) dontsescoo rdonnéesvéri fientl'équation(E).Au trementdit,2'(!1)!3'(!3)+c=0d'oùc=5. Enfin,voiciunec onditiondeparallé lismeent redeuxdroitesàpartirdeleursvecteursdirecteurs. Proposition44(Conditiondeparallélisme).Deuxdroit essontparallèlessietse ulementsi leurs vecteursdirecteurss ontcolinéaires. Remarque.Cetteconditi onpeutsevérifieràl'aidedudé terminant: det( u, v)= xx yy =xy !yx. Lorsquecelui-civaut0, lesvecteursimpliqués sontcolinéaires.

12.1.RAPPEL SSURLESDROITES ETLESVECTEURS DIRECTEU RS103

Exemple12.1.2.1.Con sidéronslesdroitessuivantes: d:4x!6y+1=0etd :!6x+9y+3=0 Alors u=(6;4)dirigedet v=(!9;!6)di riged .Deplus,det( u; v)=!36+36!2=0, ainsilesvecte urssontcolin éairesetlesdroitessontdonc parallèles.

2.Con sidéronslesdroitessuivantes:

d:2x!y!3=0etd :!x!y+3=0 Alors u=(1;2)dirigedet v=(1;!1)di riged .Deplus,det( u; v)=!1!2=!3$=0, ainsilesvect eursnesontp ascolinéairesetlesdroitesson tdoncsécantes.SoitA(x;y)lepoint d'intersectiondecelles-ci,déterminonscesco ordo nnéesenrés olvantlesystèmesuivant

2x!y!3=0

!x!y+3=0

2x!y!3=0

2'(!x!y+3)=2'0

2x!y!3=0:L

1 !2x!2y+6=0:L 2 Observonsàprésentquel'addit ion(membreàmembre)del aligneL 1 aveclalign eL 2 supprime lav ariablexdel 'équationetpermetdetrouverlava leurdey.Ene"et, (2x!y!3)+( !2x!2y+6)=0%&!3y+3=0%&y=1.

Ainsi,ensubstituan tlaval eurdeydanslal igneL

1 (parexemp le),nousendéduisonsque

2x!1!3=0%&x=2.

Remarque.Lamét hodeemployéesurledeux ièmeexempleporteleno mde"pivotdeGau ss»et

permetderésoudre simple mentdessystèmesd'équati onslinéaires.L'avantaged ecetteprocédure

estquel leesttrèsrobusteet segénéra lisefacil ementàdessystèmespluscomplex es(3inconnue s,

troiséquation sparexemple). Exercicesàtraiter:7,9,15 (qu estionsaetb)page266et17page267(danslaq ue stion1, remplacezlemotperpendiculairesparséc antes).

104CHAPITRE12.PRODUITS CALAIRE(PAR TIE2)

12.2Droi teetproduitsc alaire

Ense conde,vousavezétudiélan otiondeparall élismeàl'aidedev ect eursdirecteurs.Plustôt

dansl'a nnée,nousavonsrencontrél anotion deproduitscalairequi permetd'abord erlanotion d'anglesdroit.Nousallo nsmaintenantvoir commentre lierproduitscalair eetdroites.

12.2.1Vecteu rnormalàunedroite

Définition12.2.1.Direqu'unv ecteurnonnul

nestnorm alàunedroite(d)signifiequelevecteur nestorth ogonalàtoutvecteurdirecteur ude(d). Remarque.Encon séquencedececi,ilestpossiblede reformule r,entermesvect oriels,desnotions degé ométrieducollège: 1.S i nestunvect eurnorm alà(d)et uunve cteurdirecteurde(d),no usavons nestunvect eurdirect eurdetoutedro ite(d )perpendiculaireà(d). uestunvect eurnorm alàtoutedroi te(d )perpendiculaireà(d).

2.Soi ent(d)et(d

)deuxdroitesayantrespectivement net n pourvecteu rsnormaux, uet u pourvecteu rsdirecteurs.Ilestéléme ntairedevérifierlespropriétéssuivantes. d(d n· n =0%& u· u =0%& net u sontcoliné aires u=(3;2) estunv ecteurdir ecteur.Iln'estpa sdi!ciledevéri fierqueleve cteur n=(2;!3)e stunvecte ur normalàcettedroit e. Exerciceàtraiter:exercice18page27 9et58pa ge282.

12.2.2Vecte urnormaletéquationdedroi te

Nousavion sdéterminédeséquatio nscartésiennesdedroitesàl'aidedevecteurdirecteur,nous allonsvoirqu'il estpossibl edefairedemêmeàl 'aided'unv ecteurnormal . Proposition45.Unedr oite(d)apo uruneéquatio ncartésien nedelaformeax+by+c=0(avec a$=0oub$=0)sietseulementsi n=(a,b)estunve cteurnor malà(d).

12.2.DRO ITEETPRODUITSCALAIRE 105

Remarque.Voiciquelques conséquencesdecetteprop osition.Soient(d)et(d )deuxdroitesadmet- tantleséqu ationscarté siennesrespectives: (d):ax+by+c=0et (d ):a x+b y+c =0.

1.(d)((d

)%&aa +bb =0%& n· n =0.Autrementdit,lesdroitessont perpendiculairessietseulementsileursvecteur snorma uxsontorthog onaux.

2.(d)//(d

)%&ab !ba =0%&det( n; n )=0.Autrementdit,lesdroitessont parallèlessietseulementsileur svecte ursnorm auxsontcolinéaires. Cege nredeconsidérat ionspe rmetnotammentdedéterminerlesco ordonnéesd'unprojetéor- thogonal. Exemple12.2.2.SoientA(!4;4)unp ointdup lanet(d)unedroited'équationcartésienne!2x+ (d). Lebu testlesuiv ant:no usallo nsdéterminerl'équationcar tésiennedeladroite(AH),no us PuisqueHestlep rojetéo rthogonaldeAsur(d),l esdroites( AH)et(d)sontperpendiculaires. Enpart iculier,toutvecteurnormalà(d)seraunvecteurdirecteurde(AH).Or n=(!2;5)est unv ecteurnormalà(d),il dirige donc(AH).

Puisque

ndirige(AH),no ussavonsquec ettedroiteadmetuneéq uationcarté siennede la forme

5x+2y+c=0av ecc#R.

PuisqueA#(AH),no ussavonségal ementque

5x A +2y A +c=0%&!20+8 +c=0%&c=12. Remarque:nousaurionspu ob tenirdirecte mentl'équationcartésiennede(AH)enrem arquant lefa itsuivant:siM(x,y)#(AH)alors AMet nsontcoliné aires(puisque ndirige(AH)).quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Chapitre12

Produitscalaire(par tie2)

12.1Rap pelssurlesdroitesetlesv ecteursdi recteurs

12.1.1Equati oncartésienned'unedroi te

Définition12.1.1.Touteéquatio ndelaforme

2.Le séquationsc artésiennespeuvents'éc riresousformed'équationréduitededroite:

102CHAPITRE12.PRODUITS CALAIRE(PAR TIE2)

12.1.2Vecte urdirecteur

équationcartésiennededroi te.

M#(d)%&

AMsontcolin éaires.

Puisque

12.1.RAPPEL SSURLESDROITES ETLESVECTEURS DIRECTEU RS103

2.Con sidéronslesdroitessuivantes:

2x!y!3=0

2x!y!3=0

2'(!x!y+3)=2'0

2x!y!3=0:L

Ainsi,ensubstituan tlaval eurdeydanslal igneL

2x!1!3=0%&x=2.

104CHAPITRE12.PRODUITS CALAIRE(PAR TIE2)

12.2Droi teetproduitsc alaire

12.2.1Vecteu rnormalàunedroite

Définition12.2.1.Direqu'unv ecteurnonnul

2.Soi ent(d)et(d

12.2.2Vecte urnormaletéquationdedroi te

12.2.DRO ITEETPRODUITSCALAIRE 105

1.(d)((d

2.(d)//(d

Puisque

5x+2y+c=0av ecc#R.

PuisqueA#(AH),no ussavonségal ementque