Analyse 3
Ce cours porte sur le calcul différentiel des fonctions de plusieurs va- riables. On commence par y établir les propriétés algébriques géométriques et
Support de Cours dAnalyse 3 avec Exercices Corrigés
Exercice 2.6.2. Etudier la nature (Convergence Simple et Uniforme) des suites de fonctions suivantes : a) ? fn : R+ ?? R x
Exercices Corrigés Statistique et Probabilités
d. Tracez l'histogramme et la boite à moustaches de cette distribution. Correction de l'exercice 3. Montant x 1000 ni xi.
Exercices corrigés de Comptabilité générale - 2020/21
Corrigés. 114. PARTIE 3. L'analyse comptable des opérations de fin d'exercice. Thème 10 L'inventaire intermittent. 125. 1 – Évaluation du stock final.
?????? / ??????? ?????? TITRE
MF/08/3. Algébre 1 rappls de cours et exercices avec solutions. Baba hamed Analyse 3 (cours et 500 exercices corrigés ) 2 année. JM
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours ainsi que des exercices corrigés. Alors n'hésitez plus : manipulez
Corrigés des exercices du livre et en ligne
DSCG 3. Corrigés des exercices du livre et en ligne de l'architecture de valeur pour analyser les processus et procéder à une veille ... 3 500
Exercices corrigés dAnalyse financière
Cet ouvrage présente 43 exercices d'Analyse financière avec des corrigés 3 – Variation des stocks – Entreprise de production ... produits en cours :.
Mathématiques financières EXERCICES CORRIGES
Correction : Vf = 500 000 × 1055 ? 638 140
Support de Cours d’Analyse 3 avec Exercices Corrig´es
1 2 D´e?nitions et Propri´et´es 5 Remarque 1 2 1 1 Cette d´e?nition peut constituer un premier crit`ere donnant une condition a la fois n´ecessaire et su?sante de convergence des s´eries num´eriques dit
Analyse 3 - Université de Montréal
Analyse 3 Notes de cours Andr´e Giroux D´epartement de Math´ematiques et Statistique Universit´e de Montr´eal Mai 2004
Universit´e de B´ejaia
Facult´e des Sciences Exactes
D´epartement de Recherche Op´erationnelle
Support de Cours d"Analyse 3
avec Exercices Corrig´esPropos´e par :
M meAOUDIA n´ee RAHMOUNE FaziaB´ejaia, juin 2015
Avant-propos
Ce polycopi´e est une partie du programme officiel du module d"Analyse 3 destin´e prin-cipalement aux ´etudiants en deuxi`eme ann´ee licence math´ematiques appliqu´ees, mais peut
´eventuellement ˆetre utile pour les ´etudiants en deuxi`eme ann´ee licence math´ematiques,
sciences techniques, informatique (dans le cadre du syst`eme L.M.D.), et toute personne souhaitant connaˆıtre les techniques de calcul des sommes infinies dans le cas continu et dans le cas discret. Le niveau math´ematique requis est celui de la premi`ere ann´ee Licence M.A, M.I ou encore S.T. Le contenu de cette mati`ere est la base de toute introduction `a l"analyse math´ematique. Elle est consid´er´ee comme suite logique ou encore une extension directe des deux mati`eres Analyse 1 et Analyse 2 vues en premi`ere ann´ee. Elle permet `a l"´etudiant d"acqu´erir le maximum de techniques math´ematiques n´ecessaires pour la plupart desmati`eres ´etudi´ees le long de son cursus, `a savoir : Analyse num´erique, probabilit´es et
statistiques, programmation math´ematique et optimisation, processus al´eatoires et files d"attente...etc. Ce polycopi´e comporte trois chapitres principaux, o`u sont expos´ees les notions de s´eries num´eriques, de suites de fonctions et de s´eries de fonctions. Chaque chapitre se termine par quelques exercices corrig´es permettant de contrˆoler l"acquisition des notions essentielles qui ont ´et´e introduites. Je ne saurais pas terminer cet avant-propos sans un grand hommage plus personnel `ames coll`egues enseignants ayant expertis´e s´erieusement ce polycopi´e. Je souhaite remercier
´egalement et tout particuli`erement nos lecteurs. Enfin, des erreurs peuvent ˆetre relev´ees,
pri`ere de les signaler `a l"auteur. 1Table des mati`eres
Avant-propos 1
Table des mati`eres 1
Avant Propos 3
1 Les S´eries Num´eriques 4
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 D´efinitions et Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Suite des Sommes Partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 S´erie G´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Condition N´ecessaire de Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Op´erations sur les S´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.5 Crit`ere de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.6 Convergence Absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 S´eries `a Termes Positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Crit`eres de Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 S´eries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Crit`ere de Comparaison `a une S´erie de Riemann . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Crit`eres d"´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Crit`ere Int´egrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Crit`eres de Convergence des S´eries `a Termes Quelconques . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Crit`ere de Comparaison `a une S´erie G´eom´etrique . . . . . . . . . . 16
1.5.2 R`egle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 R`egle de d"Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.4 D"autres Crit`eres de Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2Avant Propos 3
1.5.5 Crit`ere d"Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 S´eries Altern´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Produit de deux S´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Les Suites de Fonctions 32
2.1 Convergence Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Crit`ere de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Convergence Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Convergence Uniforme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Propri´et´es de la fonction limite d"une suite de fonctions . . . . . . . . . . . 36
2.5.1 La continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.2 L"int´egrabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.3 La d´erivabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Les S´eries de Fonctions 49
3.1 Crit`ere de Convergence Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 Condition N´ecessaire de Convergence Simple . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2 Crit`ere de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Convergence Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Conditions N´ecessaires de Convergence Uniforme . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Crit`ere Uniforme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Crit`ere de Convergence Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Crit`ere Uniforme d"Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Propri´et´es des Sommes des S´eries de Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.1 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.2 Int´egrabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.3 D´erivabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Bibliographie 70
Chapitre 1
Les S´eries Num´eriques
1.1 Introduction
Etant donn´ee une suite num´erique (Un)n?Nde nombres r´eels, on sait alors que la somme d"un nombre fini de ses termes est finie. Mais ce n"est pas toujours le cas quand on passe `a un nombre infini de termes. On se propose alors de donner un sens `a l"expression n≥0U n. Il est ainsi naturel de former les sommes partiellesSn=U0+U1+U2+...+Unet d"´etudier la limite de la suite (Sn)n?N. En notantS= limn→+∞Sn, si cette limite existe,
on convient de poserS=+∞? n=0U net de dire queSest la somme de la s´erie? n≥0U n. Ce chapitre est consacr´e aux conditions n´ecessaires et suffisantes de la convergence dela suite (Sn)n?Net `a la g´en´eralisation des propri´et´es connues sur les sommes finies.
1.2 D´efinitions et Propri´et´es
1.2.1 Suite des Sommes Partielles
D´efinition 1.2.1.Soit (Un)n?Nune suite num´erique de nombres r´eels ou complexes. On appelle une s´erie de terme g´en´eralUn, not´ee? n≥0U n, la suite des sommes partielles (Sn)n?N d´efinie parSn=U0+U1+U2+...+Un. Si cette suite est convergente vers une limiteS, on dira que la s´erie n≥0U nest convergente et a pour somme la valeurSet nous ´ecrivons alorsS=+∞? n=0U n. Dans le cas contraire, on dira que la s´erie? n≥0U nest divergente. 41.2 D´efinitions et Propri´et´es 5
Remarque 1.2.1.1. Cette d´efinition peut constituer un premier crit`ere donnant une condition `a la fois n´ecessaire et suffisante de convergence des s´eries num´eriques, dit crit`ere des suites des sommes partielles.2. Si la suite (Un)n≥kn"est d´efinie qu"`a partir d"un certain rangk, il en est de mˆeme
pour la suite des sommes partielles qui lui est associ´ee donn´ee parSn=n? m=kU met donc mˆeme pour la s´erie en question et l"on ´ecrit n≥kU n. Exemple 1.2.1.Pour la s´erie de terme g´en´eralUn=1n(n+ 1),?n≥1, la suite des sommes partielles qui lui est associ´ee est donn´ee par : S n=n? p=1U p=n? p=11p(p+ 1)=n? p=1? 1p -1p+ 1? = 1-1n+ 1→1 quandn→+∞. Ainsi, la suite (Sn)n≥1est convergente vers 1. Par cons´equent, la s´erie? n≥11n(n+ 1)est aussi convergente de sommeS= 1.Exemple 1.2.2.Pour la s´erie de terme g´en´eralUn=⎷n+ 1-⎷n,?n≥1, la suite des
sommes partielles qui lui est associ´ee est donn´ee par : S n=n? p=1U p=n? p=1(⎷n+ 1-⎷n) =?⎷n+ 1-1?→+∞quandn→+∞. Ainsi, la suite (Sn)n≥1est divergente, ce qui entraˆıne la divergence de la s´erie? n≥1(⎷n+ 1- ⎷n).D´efinition 1.2.2.Soit?
n≥0U nune s´erie num´erique r´eelle ou complexe convergente, de sommeS. Alors, son reste d"ordreNnot´eRNest donn´e par : RN=S-SN=?
n≥0U n-n=N? n=0U n=? n≥N+1U n Th´eor`eme 1.2.1.Si une s´erie num´erique r´eelle ou complexe? n≥0U nest convergente alors son reste d"ordreNconverge vers z´ero.Preuve 1.2.1.Pour d´emontrer ce r´esultat il suffit de consid´erer l"´egalit´e suivante :
RN=S-SN=?
n≥0U n-n=N? n=0U n=? n≥N+1U n et de faire un passage `a la limite des deux cot´es.1.2 D´efinitions et Propri´et´es 6
1.2.2 S´erie G´eom´etrique
D´efinition 1.2.3.On appelle s´erie g´eom´etrique de raisonKdeRou deCet de premier termeU0toute s´erie de terme g´en´eralUn= (K)nU0pourU0?= 0. Examinons de pr`es les conditions de convergence d"une telle s´erie. Pour cela, on d´efinit d"abord la suite des sommes partielles (Sn)n?Nqui lui est associ´ee, donn´ee par : S n=n? p=0U p=n? p=0(K)pU0=U0?1-Kn+11-K? ;?K?= 1 Il est clair que la suite (Sn)n?Nconverge si|K|<1. Dans ce cas, on dira que la s´erie g´eom´etrique n≥0U nest convergente et a pour somme la valeurS=U01-K.Si|K|≥1, alors la suite (Sn)n?Nest divergente, ce qui entraˆıne la divergence de la s´erie
g´eom´etrique n≥0U n.Exemple 1.2.3.1. La s´erie de terme g´en´eralUn=e-nest une s´erie g´eom´etrique de raison
K=e-1<1, donc convergente.
2. La s´erie de terme g´en´eralUn= 2nest une s´erie g´eom´etrique de raisonK= 2>1, donc
divergente. Remarque 1.2.2.Il faut prendre garde de ne pas confondre l"´etude de la s´erie? n≥0U n avec celle de la suite (Un)n?N. En effet, reprenons l"exemple (1.2.2) o`u la s´erie? n≥1U n=n≥1(⎷n+ 1-⎷n) ´etait divergente, bien que la suite (Un)n?Nsoit convergente vers z´ero.
Remarque 1.2.3.La nature d"une s´erie, en terme de convergence ou de divergence, est une propri´et´e asymptotique. Autrement dit, si on modifie un nombre fini de termes, ceci ne va pas influencer la nature de la s´erie en question. En effet, on a bien n≥0U n=p? n=0U n+ n≥p+1U n. Sachant que la sommep? n=0U nest finie, alors la nature de la s´erie? n≥0U n, mais non pas sa somme, d´epend uniquement de celle de la s´erie n≥p+1U n. Remarque 1.2.4.Comme on peut bien le constater, le crit`ere de la suite des sommes par-tielles associ´ee est loin d"ˆetre facile `a appliquer, car il demande explicitement l"expression
1.2 D´efinitions et Propri´et´es 7
analytique exacte de celle-ci, chose qui n"est pas toujours facile `a d´eterminer. En effet, il suffit de consid´erer par exemple la s´erie harmonique n≥11n . Pour rem´edier `a ce probl`eme, il a fallu concevoir d"autres crit`eres qui nous permettent de juger de la nature d"une s´erie num´erique sans autant passer par l"expression analytique de la suite des sommes partiellesqui lui est associ´ee. Ces crit`eres peuvent constituer soit une condition n´ecessaire de conver-
gence, ou bien une conditioin suffisante ou encore une condition `a la fois n´ecessaire et suffisante .1.2.3 Condition N´ecessaire de Convergence
Th´eor`eme 1.2.2.Pour qu"une s´erie num´erique? n≥0U nsoit convergente, il est n´ecessaire, mais pas suffisant, que son terme g´en´eralUntende vers z´ero, quandntend vers l"infini.Autrement dit,
n≥0U nConverge=?limn-→+∞Un= 0.Preuve 1.2.2.Supposons que la s´erie?
n≥0U nest convergente et montrons alors que son terme gn´en´eralUntend vers z´ero. Soit (Sn)n?Nla suite des sommes partielles associ´ee `a la s´erie n≥0U n. AlorsSn=n? p=0U petSn-1=n-1? p=0U p. Ainsi,Sn-Sn-1=Un. Or, si la s´erie n≥0U nconverge ceci est ´equivalent `a dire que la suite (Sn)n?Nconverge versS.Autrement dit, on aura d"une part lim
n-→+∞Sn=S(existe, finie et unique). D"autre part, lim n-→+∞(Sn-Sn-1) = limn-→+∞Un= 0. Ce qui ach`eve la d´emonstration.Exemple 1.2.4.On a d´ej`a vu que la s´erie?
n≥1(⎷n+ 1-⎷n) est divergente bien que son terme g´en´eral tende vers z´ero. Exemple 1.2.5.On va voir un peu plus loin, que la s´erie? n≥11n dite s´erie harmonique est aussi divergente bien que son terme g´en´eral tend vers z´ero.1.2.4 Op´erations sur les S´eries
D´efinition 1.2.4.Soient?
n≥0U net? n≥0V ndeux s´eries. La s´erie somme est la s´erie de terme g´en´eralWn=Un+Vnet on ´ecrit+∞? n=0U n++∞? n=0V n=+∞? n=0(Un+Vn).1.2 D´efinitions et Propri´et´es 8
De mˆeme, le produit de la s´erie
n≥0U npar le nombre r´eel ou complexeλest une s´erie de terme g´en´eralλUnet on ´ecritλ+∞? n=0Uquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48[PDF] analyse affiche publicitaire nespresso
[PDF] analyse biochimique sanguine
[PDF] analyse biochimique sanguine pdf
[PDF] analyse chimique méthodes et techniques instrumentales modernes pdf
[PDF] analyse clientèle segmentation
[PDF] analyse comparative littérature
[PDF] analyse complexe cours et exercices corrigés pdf s3
[PDF] analyse complexe exercice corrigé
[PDF] analyse complexe exercice corrigé pdf
[PDF] analyse complexe livre
[PDF] analyse complexe master 1
[PDF] analyse complexe usthb
[PDF] analyse comptable des opérations de lentreprise exercice
[PDF] analyse comptable des opérations de lentreprise pdf