Etude de branches infinies. 1 Démarche PDF

5. Études de fonctions

. Il y a deux asymptotes verticales (en vert) et une asymptote affine (en bleu). Remarquez que la fonction n'est

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes

Valeurs interdites et asymptotes verticales. Exemple 1.1 Etudier la fonction f(x) = Etudes de fonction avec asymptotes. R`egle des degrés Soit f(x) =.

Objectif du cours: Fonction tangente

Toujours des asymptotes à chaque ?/2. Chapitre 5.5. Étude de la fonction tangente de base. Elle possède des asymptotes. Cos ?/2 = 0.

FONCTIONS 3 Limites et asymptotes

ETUDE DE FONCTIONS. Partie 3 : Limites et asymptotes. Le but de ce chapitre est d'étudier la fonction aux « bornes » de son domaine de définition.

Comportement asymptotique

6 sept. 2011 7 Étude d'une fonction. 14. 7.1 Pland'étude . ... Remarque : On dit que la droite y = a est une asymptote verticale à la courbe de f.

Première S 2010-2011 Exercices Comportements asymptotiques

Exercices Comportements asymptotiques - études de fonction. 1. Exercice 1 : Recherche d'asymptote f est la fonction définie sur ]-2;+ ?[ par :.

Limites et asymptotes

Limites et asymptotes. I. Limites en l'infini. 1) Limite infinie à l'infini. Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type

6. Études de courbes paramétrées

coordonnées des points de la courbe sont exprimées en fonction d'un paramètre L'asymptote verticale est une droite qui a pour équation x = a.

Etude des fonctions - AlloSchool

II) BRANCHES INFINIES. 1) Asymptote verticale (rappelle). Définition : Si la fonction vérifie l'une des limites

Etude de branches infinies. 1 Démarche

La fonction f n'admet alors pas d'asymptote horizontale en +? et l'on doit poursuivre l'étude pour étudier de plus pr`es le comportement de f(x) autour de

Etude de branches innies.

1 Demarche

Etant donnee une fonctionf:R!R, l'etude de ses branches innies a pour objectif de comprendre en details le comportement def(x) quandxtend vers +1ou1. La premiere chose a faire est donc de calculer lim x!+1f(x). On peut alors donner une premiere interpretation des dierents resultats que l'on peut obtenir pour ce calcul. On distingue prin- cipalement deux types de resultats possibles. (Remarque : ici, on travaillera autour de +1, mais l'on pourrait faire exactement la m^eme chose autour de1). Premier cas.Cette limite est nie : limx!+1f(x) =`2R: On conclue alors que la courbe admet uneasymptote horizontaled'equationy=`en +1 et l'etude est terminee.

Exemples :

f(x) =1x ; g(x) =xex; h(x) =2x2+ 1x 2+ 3 Second cas.Cette limite est innie : limx!+1f(x) = +1: La fonctionfn'admet alors pas d'asymptote horizontale en +1et l'on doit poursuivre l'etude pour etudier de plus pres le comportement def(x) autour de +1. Intuitivement, le calcul de limx!+1f(x) nous dit dans ce cas la quef(x) grandit quandxgrandit. Les questions qui se pose a ce moment la sont : \a quelle vitesse granditf(x)? Grandit-elle plus vite ou moins vite quex?" La encore, un calcul de limite va pouvoir nous aider a repondre : pour comparer la croissance def(x) et celle dex, on calcule limx!+1f(x)x Le comportement de la fonctionfautour de +1dependra alors du type de reponse obtenu mais contrairement a tout a l'heure, on distingue ici trois types de reponses possibles (et non plus deux).

Soit lim

x!+1f(x)x = 0:Dans ce cas,f(x) grandit moins vite quex.

Exemples :

f(x) = ln(x); g(x) =px; h(x) =x2+ 12 px3: 1 On dit que la courbe defadmet une branche parabolique d'axe (Ox).

Soit lim

x!+1f(x)x = +1. Dans ce cas,f(x) grandit plus vite quex.

Exemples :

f(x) =ex; g(x) =x2; h(x) =x4+ 2x31x 2+ 4: On dit que la courbe defadmet une branche parabolique d'axe (Oy).

Soit lim

x!+1f(x)x =a2R. Dans ce cas, la vitesse de croissance def(x) est comparable a celle deaxquandxgrandit. Pour eectuer cette comparaison, on etudie une derniere limite : celle de la dierencef(x)axet on distingue deux cas :

Soi tlim

x!+1f(x)ax=b2Ret la courbe defadmet la droite d'equationy=ax+b pour asymptote oblique.

Exemples :

f(x) =x3+x+ 1x

2+ 4; g(x) =x(px

2+ 2xpx

2+ 1); h(x) =x2lnx+ 2x

Soi tlim

x!+1f(x)ax=1et la courbe defadmet une branche parabolique de directiony=ax.

Exemples :

f(x) =x+px; g(x) =x2lnx+ 1lnx ********************Resume :

1. Calcul de lim

x!+1f(x).- Si c'est un reel`, asymptote d'equationy=`.- Si c'est +1, passer a l'etape 2.2. Si le resultat precedent est +1, calcul de limx!+1f(x)x

.- Si c'est 0 ou +1, pas d'asymptote mais une branche parabolique.- Si c'est un reelanon nul, passer a l'etape 3.3. Si le resultat precedent est un nombre non nula2R, calcul de limx!+1f(x)ax.- Si c'est un reelb, la droite d'equationy=ax+best alors asymptote a la courbe def.- Si c'est +1, pas d'asymptote mais une branche parabolique d'axe oblique.2

2 Exercices

Exercice 1

Etudier le comportement asymptotique des fonctions suivantes. g(x) =cos(x)x ; h(x) =p9x4+ 3x31x 2+ 1:

Exercice 2

Etudier le comportement a l'inni des fonctions suivantes f:x7!2x3+x1x

2+ 1; g(x) =px

9+ 2xx

Exercice 3Soientfetgdenies par

f(x) = ln1 +xx ; g(x) =x+ 2ln1 +xx 1. Etudier le comportement defautour de +1. Donner l'equation de l'eventuelle asymp- tote. 2. A l'aide de la question precedente, etudier le comportement de la fonctiongen +1.

3 Complements

En realite, l'etude des branches innies d'une fonctionfpourrait se resumer a la question suivante : \Existe-t-il une fonction plus simple quefqui se comporte commefautour de +1?" Pour repondre a cela, on cherche donc une fonctiongplus simple telle que lim x!+1f(x)g(x) = 0: Dans la premiere partie, on se contente de comparerfavec des fonctions anes (i.e. des droites). Mais rien ne nous empeche de comparerfa des fonctions plus complexes. Exercice 4Montrer que les courbes associees aux fonctionsf:x7!px

4+ sin(x) etg:x7!x2

sont asymptotiques. Exercice 5Montrer que les courbes des fonctions suivantes sont asymptotiques. f(x) =ex+ex2 ; g(x) =exex2 3quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] Etude de branches infinies. 1 Démarche

Etude de branches innies.

1 Demarche

Exemples :

Soit lim

Exemples :

Soit lim

Exemples :

Soit lim

Soi tlim

Exemples :

2+ 4; g(x) =x(px

2+ 2xpx

2+ 1); h(x) =x2lnx+ 2x

Soi tlim

Exemples :

1. Calcul de lim

2 Exercices

Exercice 1

Exercice 2

2+ 1; g(x) =px

9+ 2xx

Exercice 3Soientfetgdenies par

3 Complements

4+ sin(x) etg:x7!x2