[PDF] Fonction logarithme neperien 1.5 corrigés exercices .

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fonction logarithme népérien

Table des matières

1 présentation et propriétés algébriques

2

1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2

1.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2

1.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4

1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5

1.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 6

2 dérivation

8

2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8

2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 12

2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 12

2.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 13

3 équations et Inéquations avec logarithme népérien

.19

3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 19

3.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 20

3.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 21

3.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 22

3.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 25

4 études de fonctions avec logarithme népérien

.34

4.1 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 34

4.2 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 36

5 logarithme d"une fonction :f=lnu

41

5.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 41

5.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 42

5.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 43

5.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 44

6 évaluations

46

6.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 46

6.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 48

6.3 corrigé devoir maison 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 50

6.4 corrigé devoir maison 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 54

6.5 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 56

6.6 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 58

6.7 évaluation 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 60

6.8 corrigé évaluation 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 61

6.9 évaluation 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 63

6.10 corrigé évaluation 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 65

6.11 corrigé évaluation 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 67

1

1 présentation et propriétés algébriques

1.1 activité

la fonction logarithme népérien notéelnassocie à tout nombrexde son domaine de définition ( à préciser

) un nombre notélnx( le logarithme népérien dex) donné par la calculatrice ou une table de logarithmes.

cette fonction est telle que, quels que soient les nombresxetyde son domaine de définition on a : ln(xy) =lnx+lny cette fonction transforme donc un produit de deux nombres enune somme. A. donner si possible et grâce à la calculatrice, les valeursdeln(-2),ln0,ln1,ln2,ln1

2,ln1000000

puis, proposer à priori un domaine de définition pour la fonctionln. B. quels que soient les nombresx >0ety >0la fonction logarithme est telle que :ln(xy) =lnx+lny

1. prendrex= 1ety= 1et trouver logiquement la valeur deln1

2. prendrex=y=aoùa >0et en déduire une autre écriture deln(a2)

3. prendrex=a2ety=aoùa >0et en déduire une autre écriture deln(a3)

4. généraliser àln(an)oùnest un entier eta >0

5. prendrex=y=⎷

a=a12oùa >0et en déduire une autre écriture deln(⎷a)

6. prendrex=aety=1

aoùa >0et en déduire une autre écriture deln(1a)

7. prendrex=aety=1

boùa >0etb >0, en déduire une autre écriture deln(ab)

8. a t-onln(a+b)etlna+lnbégaux pour toutes valeurs dea >0etb >0?

( prendre des valeurs simples deaetbpour voir )

9. a t-onln(a-b)etlna-lnbégaux pour toutes valeurs dea >0eta > b >0?

( prendre des valeurs simples deaetbpour voir )

10. déterminer à10-3près à la calculatrice un nombre e tel quelne= 1

1.2 corrigé activité

A. à la calculatrice :

ln(-2)n"existe pas (pas de logarithme pour un nombre négatif strict) ln0n"existe pas (pas de logarithme pour un nombre nul) ln1 = 0(annulation en 0) ln2?0,69 ln 1

2? -0,69

ln1000000?13,8(croissante très lente) à priori, le domaine de définition pour la fonctionlnest]0 ; +∞[=R+?. B. quels que soient les nombres x>0 et y>0 la fonction logarithme est telle que :ln(xy) =lnx+lny

1. pour x = 1 et y = 1 on a :

d"une part :ln(1×1) =ln1 +ln1 = 2ln1 d"autre part :ln(1×1) =ln1 donc2ln1 =ln1 donc2ln1-ln1 = 0 doncln1 = 0

2. pourx=y=aoù a>0 on a :

ln(a2) =ln(a×a) =lna+lna= 2lna

3. avecx=a2ety=aoù a>0, on a :

ln(a3) =ln(a2×a) =ln(a2) +ln(a) = 2lna+lna= 3lna

4.ln(an) =nlnaoù n est un entier et a>0

5. avecx=y=⎷a=a12où a>0 on a :

lna=ln(⎷ a×⎷a) =ln(⎷a) +ln(⎷a) = 2ln(⎷a) donc ln(⎷ a) =12lna

6. avecx=aety=1

aoùa >0 d"une part :ln(a×1 a) =ln(aa) =ln1 = 0 d"autre part :ln(a×1 a) =lna+ln(1a) donc :lna+ln(1 a) = 0 doncln(1 a) =-lna

7. avecx=aety=1

boùa >0etb >0: d"une part :ln(a×1 b) =ln(ab) d"autre part :ln(a×1 b) =ln(a) +ln(1b) =lna-lnb donc :ln(a b) =lna-lnb

8.ln(a+b)etlna+lnbne sont pas égaux pour toutes valeurs de a>0 et b>0

car poura= 1etb= 1on a : ln(a+b) =ln2d"autre partlna+lnb=ln1 +ln1 = 0 + 0 = 0etln2?= 0

9.ln(a-b)etlna-lnbne sont pas égaux pour toutes valeurs de a>0 et a>b>0

car poura= 2etb= 1on a : ln(a-b) =ln1 = 0d"autre partlna-lnb=ln2-ln1 =ln2-0 =ln2etln2?= 0

10. à la calculatrice, on a :

ln2,718?0,999etln2,719?1,0002 donc on peut prendree?2,718à10-3près tel que lne = 1

1.3 à retenir

définition 1 :(propriétés algébriques) (1) la fonction logarithme népérien associe à tout nombrex >0(positif strict) le nombre notélnxappelé logarithme népérien de x (2) quels que soient les nombresa >0,b >0et l"entier naturelnon a : ???ln(1) = 0????ln(e) = 1????ln(ab) =lna+lnb????ln(an) =nlna ???ln(⎷a) =12ln(a)????ln(ab) =lna-lnb????ln(1a) =-lna

Remarques

(a) il n"y a pas de formule générale pourln(a+b)ouln(a-b) c"est à dire : il existe des nombresaetbtels queln(a+b)?=lna+lnb en effet poura= 1etb= 1:ln(1 + 1) =ln2alors queln1 +ln1 = 0. il existe des nombresaetbtels queln(a-b)?=lna-lnb en effet poura= 2etb= 1:ln(2-1) =ln1 = 0alors queln2-ln1 =ln2?= 0.

1.4 exercices

exercice 1 : simplifier au maximum (a) A =ln(ab) +ln(a b)-ln(a2) +lne (b) B =ln(1 a) +ln(a4)-ln(a3) +ln1 (c) C =ln(a+b) +ln(a-b)-ln(a2-b2) (d) D =ln(e2) + 2ln(⎷ e)-ln(1e) +ln(2e) +ln(e2)-4 exercice 2 : écrire sous la forme d"une combinaison linéaire de logarithmes de nombres entiers premiers (a) A =ln(3×52 27)
(b) B =ln(25⎷ 5 9) (c) C =ln(2⎷ 3

3⎷2)

exercice 3 :

écrire sous la forme d"un seul logarithme

(a) A=2ln3-ln5 (b) B =3ln10 +ln0,08-5ln2 (c) C = 1

2ln4-3ln2

(d) D =2ln5-3ln2 +1

2ln100

exercice 4 : donner l"ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes (a)A(x) = (2x-1)ln(x+ 1) (b)B(x) = 5x-ln(4-x) (c)f(x) =ln(x2+ 2x) (d)f(x) =ln(x+ 2 x)

1.5 corrigés exercices

corrigé exercice 1 :

A =ln(ab) +ln(ab)-ln(a2) +lne

A =lna+lnb+lna-lnb-2lna+ 1

A =? ???0

B =-lna+ 4lna-3lna+ 0

B =? ???0

C =ln(a+b) +ln(a-b)-ln(a2-b2)

C =ln[(a+b)(a-b)]-ln(a2-b2)

C =ln[a2-b2]-ln(a2-b2)

C =? ???0

D =ln(e2) + 2ln(⎷

e)-ln(1e) +ln(2e) +ln(e2)-4

D =2lne+ 2×1

2lne-(-lne) +ln2-lne+lne-ln2-4

D =2×1 + 1 + 1-4 =?

???0 corrigé exercice 2 : écrire sous la forme d"une combinaison linéaire de logarithmes de nombre entiers premiers (a)ln(3×52

27) =ln(3×52)-ln27 =ln3 +ln(52)-ln(33) =ln3 + 2ln5-3ln3 =-2ln3 + 2ln5

(b)ln(25⎷ 5

9) =ln(25⎷5)-ln9 =ln25+ln(⎷5)-ln(32) =ln(52)+12ln5-2ln3 = 2ln5+0,5ln5-2ln3

= 2,5ln5-2ln3 (c)ln(2⎷ 3

3⎷2) =ln(2⎷3)-ln(3⎷2) =ln2 +ln(⎷3)-(ln3 +ln(⎷2))

=ln2 +1

2ln3-ln3-12ln2 = 0,5ln2-0,5ln3

corrigé exercice 3 :

écrire sous la forme d"un seul logarithme

(a)2ln3-ln5 =ln(32)-ln5 =ln9-ln5 =ln(9 5) (b)3ln10+ln0,08-5ln2 =ln(103)+ln0,08-ln(25) =ln1000+ln0,08-ln32 =ln(1000×0,08)-ln32 =ln80-ln32 =ln(80

32) =ln(4016) =ln(52)

(c) 1

2ln4-3ln2 =ln(41

2)-ln(23) =ln(⎷4)-ln8 =ln2-ln8 =ln(28) =ln(14)

(d)2ln5-3ln2 +1

2ln100 =ln(52)-ln(23) +ln(⎷100) =ln25-ln8 +ln10 =ln(258) +ln10

=ln(25

8×10) =ln(2508) =ln(1254)

corrigé exercice 4 : donner l"ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes (a)A(x) = (2x-1)ln(x+ 1) ln(x+ 1)n"existe que six+ 1>0 or :x+ 1>0??x >-1 donc :DA=]-1 ; +∞[ (b)B(x) = 5x-ln(4-x) ln(4-x)n"existe que si4-x >0 or :4-x >0??4> x donc :DB=]- ∞; 4[ (c)f(x) =ln(x2+ 2x) ln(x2+ 2x)n"existe que six2+ 2x >0 il suffit d"étudier le signe dex2+ 2xqui est un trinôme de la formeax2+bx+cavecc= 0 •annulations : (Δnon nécessaire, on metxen facteur) x

2+ 2x= 0??x(x+ 2) = 0??x= 0oux=-2

•signe :

x-∞-2 0+∞ x2+ 2x+ 0 - 0 + conclusion :DB=]- ∞;-2[?]0 ; +∞[ (d)f(x) =ln(x+ 2 x) ln(x+ 2 x)n"existe que six+ 2x>0 il suffit d"étudier le signe de x+ 2 xqui est une fraction rationnelle x-∞-2 0+∞annulations x- | - 0 +x= 0 x+ 2- 0 + | +x+ 2 = 0??x=-2 x+ 2 x+ 0 - || + conclusion :Df=]- ∞;-2[?]0 ; +∞[

2 dérivation

2.1 activité

A. voici une partie de la courbe de la fonction logarithme népérienf(x) =lnx. sont aussi représentées les droites tangentesD1enx= 1, D2enx= 2, D3enx= 3etD4enx= 4. de même que les droitesΔ1,Δ2,Δ3etΔ4respectivement parallèles àD1,D2,D3etD4. 012 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7 8 9xy

D1D2D3D4

C fΔ 1 2 3 4

1. rappeler ce que représente graphiquement le nombref?(1)et déterminer sa valeur en détaillant le calcul.

2. compléter le tableau de valeurs suivant grâce au graphique.

x1234 f?(x) calculs :

3. conjecturer alors une formule acceptable :f?(x) = (lnx)?=...

B. Etude des variations

1. A partir du signe de la dérivée, déterminer le sens de variation de f pour x>0

2. Donner un tableau de variation de f pour x > 0 signe de f"(x) compris.

C. représentation graphique

1. Compléter le tableau de valeurs à 0,1 près

x0,250,511,52345678 lnx0,41,11,61,81,92,1

2. Compléter le graphique

012 -1 -2 -3 -4 -51 2 3 4 5 6 7 y i x i

3. déterminer l"équation de la tangenteTà la courbe defenx= 1et construire cette tangente.

corrigé activité A. voici une partie de la courbe de la fonction logarithme népérienf(x) =lnx. sont aussi représentées les droites tangentesD1enx= 1, D2enx= 2, D3enx= 3etD4enx= 4. de même que les droitesΔ1,Δ2,Δ3etΔ4respectivement parallèles àD1,D2,D3etD4. 012 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7 8 9xy

D1D2D3D4

C fΔ 1 2 3 4

1. rappeler ce que représente graphiquement le nombref?(1)et déterminer sa valeur en détaillant le calcul.

f ?(1)est le coefficient directeur de la droiteD1, tangente à la courbe defau point d"abscissex= 1.

pour le déterminer, il suffit de calculer le coefficient directeur de la droiteD1donc deΔ1carD1//Δ1.

avec les pointsA(3;-3)etB(9;3), on a :a=f?(1) =yB-yA xB-xA=3-(-3)9-3= 1

2. compléter le tableau de valeurs suivant grâce au graphique.

x1234 f?(x)11 2 1 3 1 4 calculs : pourx= 2, surΔ2, avec les pointsA(3;-3)etC(9;0), on a :a=f?(2) =yC-yA xC-xA=0-(-3)9-3=12 pourx= 3, surΔ3, avec les pointsA(3;-3)etD(9;-1), on a :a=f?(3) =yD-yA xD-xA=-1-(-3)9-3=13 pourx= 4, surΔ4, avec les pointsA(3;-3)etE(7;-2), on a :a=f?(4) =yE-yA xE-xA=-2-(-3)7-3=14

3. conjecturer alors une formule acceptable :f?(x) = (lnx)?=1

x

B. Etude des variations

1. A partir du signe de la dérivée, déterminer le sens de variation de f pour x>0

f ?(x) =1 xpourx >0doncf?(x)>0pourx >0. (1>0etx >0donc1x>0) doncfest strictement croissante pourx >0

Remarque : pour l"annulation,1

x= 0??1 = 0ce qui est absurde doncf?(x) = 0n"a pas de solution etf?ne s"annule pas.

2. Donner un tableau de variation de f pour x > 0 signe de f"(x) compris.

x0 +∞ f?(x)|| + f(x)||?

C. représentation graphique

1. Compléter le tableau de valeurs à 0,1 près

x0,250,511,52345678 lnx-1,4-0,700,40,71,11,41,61,81,92,1

2. Compléter le graphique

012 -1 -2 -3 -4 -51 2 3 4 5 6 7 y i x i T

3. déterminer l"équation de la tangenteTà la courbe defenx= 1et construire cette tangente.

y=f?(1)(x-1) +f(1) avec f(1) =ln1 = 0 et f ?(1) =1 1= 1 donc y= 1(x-1) + 0 donc y=x-1

2.2 à retenir

propriété 1 :(dérivée ) (1) si????f(x) =lnxalors? ???f?(x) =1xpourx >0 (2) si????f=lnuoùuest une fonction dérivable alors? f?=u?upouru >0

2.3 exercices

exercice 5 : calculer la dérivée dans chaque cas. (a)f(x) = 3x+ 1 +lnx (b)g(x) = 2x2-1-4lnx(c)f(x) =-x+ 2 + 3lnx (d)h(x) = 6x3-10x2+ 20x-16 +1 x-6lnx exercice 6 : calculer la dérivée dans chaque cas (a)f(x) = 2x(1-lnx) (b)g(x) =x-lnx x(c)f(x) =x2(3-lnx) (d)g(x) =lnx2x+ 1 (e)g(x) =-x2+ 2(lnx)2quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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