Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur PDF

Fonctions Logarithmes Exercices corrigés

Fonction logarithme exercices corrigés http://laroche.lycee.free.fr. Partie A - Étude de la fonction f. 1. Montrer que pour tout réel x

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES

EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Par stricte croissance de la fonction logarithme sur ] [. 0;+? on déduit (. ) ... L'étude du signe de. ( ) 2.

Fonction logarithme neperien

1.5 corrigés exercices . 4 études de fonctions avec logarithme népérien. ... la fonction logarithme népérien notée ln associe à tout nombre x de son ...

Fonctions Logarithmes Exercices corrigés

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CORRIGES DES EXERCICES

CORRIGES DES EXERCICES. FONCTIONS LOGARITHMES. 2. P.G. 2006/2007 b. 1 2ln. : 3 ln x. g x x. ?. +. S. La fonction x S lnx est dérivable sur ]0 ; +?[ donc

Fascicule dexercices

Sommaire des exercices. 1. Logarithmes et exponentielles. 2. Dérivées et différentielles - Fonction d'une variable. 3. Etude de fonctions.

EXERCICES SUR LA FONCTION LOGARITHME EXERCICE 1 :

3°) Etude des variations de f . a) Calculer )(' xf pour x >0. b) Etablir que pour x ?0 on a

Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur

Est-ce le cas ? Étude d'une fonction exponentielle avec param`etre - Bac S Amérique du nord 2017 exercice 2. Soit f définie sur [?2

TRAVAUX DIRIGÉS N°1 - MATHÉMATIQUES

4. Tracer sommairement la courbe (C) et la tangente (T). Exercice 2. Etude d'une fonction contenant le logarithme népérien. Soit la fonction de la variable

Fonctions exponentielles et logarithmiques

Comme nous le verrons dans ce chapitre il y a une relation étroite entre la fonction exponentielle et la fonction logarithmique : l'une est la fonction

Fonction logarithme : Exercices

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Savoir calculer avec des logarithmes

Simplier les expressions suivantes :

a) ln6ln2 b) lne2c) ln1e xd)eln4 e)e2ln5f)eln3g) lnpeh) lnexResoudre des equations avec des logarithmes et exponentielles

Resoudre dansRles equations suivantes :

a) lnx= 4 b) ln(2x) = 0 c) lnx=1 d)e32x= 5 e) 2ex+ 10 = 6 f) 2lnx+ 6 = 0Resoudre dansRles equations suivantes : a) ln(2x+ 1) + lnx= 0 b) ln(2x)2lnx= 0 c) lnx2= (lnx)2

Equation avec des logarithmes - Piege classique!

On souhaite resoudre dansRl'equation : ln(6x2) + ln(2x1) = ln(x).

Clara arme que cette equation admet deux solutions. A-t-elle raison? Justier.Resoudre des inequations avec des logarithmes

Resoudre dansRles inequations suivantes :

a) ln(x)<2 b) ln 1 +2x lnx0 c) (lnx)2+ ln1x

0Resoudre dansR, les inequations suivantes :

a) ln(3x) 2 b) ln(lnx)<0Resoudre des inequations avec des exponentielles

Resoudre dansRles inequations suivantes :

a)ex>2 b) 4e3x0 c)e1x20 d)e2x2ex0Resoudre dansRles equations et inequations suivantes :

a) ln(x+ 1)ln(2x) = 0 b) ln(x+ 1)ln(2x)0 c) lnx+ ln(3x+ 2)>0Resoudre des equations avec des logarithmes en utilisant un changement d'inconnue

1) Resoudre dansR, l'equationX2+X6 = 0

2) En deduire les solutions des equations suivantes :

a)e2x+ex6 = 0 b) (lnx)2+ lnx6 = 0Signe d'une expression avec des logarithmes Determiner le signe des expressions suivantes sur l'intervalle I indique : a) 1lnxet I=]0;+1[ b) ln(1x) et I=] 1;1[ c) lnex et I=]0;+1[

Etudier une fonction avec des logarithmes

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) = ln(1 +x2).

1) Justier quefest derivable surRpuis determiner, pour toutxreel,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsurR.1

On considere la fonctionfdenie sur ]1;+1[ parf(x) =xlnx.

1) Justier quefest bien denie sur ]1;+1[.

2) Justier quefest derivable sur ]1;+1[ puis determiner, pour toutxde ]1;+1[,f0(x).

3) Determiner le tableau de variations defsur ]1;+1[.On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) = (lnx)2lnx.

1) Justier quefest derivable sur ]0;+1[ puis determiner, pour toutx2]0;+1[,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsur ]0;+1[.Dans chaque cas :

1) Justier que la fonctionfest derivable sur l'intervalle I indique.

2) Determiner la derivee defet le tableau de variations defsur I.

a)f(x) = ln(1ex) et I=] 1;0[ b)f(x) = ln2x

et I=]0;+1[ c)f(x) = ln(1 +ex) et I=RDans chaque cas, determiner la derivee defet le tableau de variations defsur l'intervalle I indique.

a)f(x) =1x + lnxet I=]0;+1[ b)f(x) =xlnxet I=]0;+1[

c)f(x) = ln(x26x+ 10) et I=Rd)f(x) =x2+ 5x3lnxetI=]0;+1[On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =e2x3x+ 1.

Determinerf0(x) pour toutxdeRpuis en deduire le tableau de variations defsurR.On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exe

3x+ 4.

1. Justier quefest bien denie surR.

2.Etudier les variations def.On considere la fonctionfdenie sur ]0;[ parf(x) = ln(sinx).

1. Justier quefest bien denie sur ]0;[.

2. Justier quefest derivable sur ]0;[ puis determiner, pour toutxde ]0;[,f0(x).

3. En deduire les variations de la fonctionfsur ]0;[.Limites et logarithme

Determiner les limites suivantes et indiquer les equations des eventuelles asymptotes : a) lim x!01lnxb) limx!+1ln2x c) lim x!+1xlnxx2+ 1 d) limx!0xlnxx2+ 1 e) lim x!1ln1 +exf) limx!+1ln1 +exg) limx!01lnxh) lim x!12 ln(1 + 2x)Determiner les limites suivantes et indiquer les equations des eventuelles asymptotes : a) lim x!+1xlnxx+ 1b) limx!+1xlnxx

2+ 1c) limx!+1ln2 +x5 +x2

d) lim x!2x>2ln2x2 +x e) lim x!+1lnx(lnx)2f) limx!0lnx(lnx)2g) limx!+1ln(1 +x)x

2h) limx!0ln(1 +x)x

22
L'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1lnxetlimx!0lnx

1) a) Completer : Six > :::alors lnx > A

b) Conclure.

2) On poseX=1x

a) Completer limx!0lnx= limX!:::::: b) Conclure.L'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1lnxx etlimx!+1lnxpx etlimx!0xlnx

1) On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) =xlnx

Etudier les variations def

b) En deduire que pourx >0, lnx < x c) Deduire du b) que pourx >0, lnx <2px d) Conclure.

2) On pose :X=px

a) Completer lim x!+1lnxpx = limX!:::::: b) En deduire lim x!+1lnxpx

3) On pose :X=1x

a) Completer limx!0xlnx= limX!:::::: b) Conclure.a) (un) est une suite geometrique de raisonq= 1:1 etu0=25 Determiner le plus petit entier naturelntel queun100. b) (un) est une suite geometrique de raisonq= 0:9 etu0= 20.

Determiner le plus petit entier naturelntel queun0:1.Dans chaque cas, determiner le plus petit entier naturelntel que :

a) 34
n

102b) 156

n >0:99 c) 5(1:2)n>103Probabilite et logarithme

1) Luc lance une piece non truquee.

Combien de fois doit-il lancer cette piece au minimum pour que la probabilite d'avoir au moins 1 pile soit superieure a 0.99

2) Lot lance un de non truque a 6 faces.

Combien de fois doit-il lancer ce de au minimum pour que la probabilite d'avoir au moins un six soit superieure a 0.999.

3) On place un capital a 4% par an en inter^ets composes.

C'est a dire qu'a la n de chaque annee, les inter^ets s'ajoutent au capital. Au bout de combien de temps, le capital aura-t-il double?

4) Michel achete des poissons dans un magasin.

La probabilite qu'un poisson vive plus de deux ans est de 0.1 3 Combien doit-il en acheter au minimum pour la probabilite d'en avoir

encore un vivant apres de 2 ans soit superieure a 0.99On considere les fonctionsfetgdenies sur ]0;+1[ parf(x) = lnxetg(x) = (lnx)2

On noteCfetCgles courbes representatives defetg.

Etudier les positions relatives deCfetCg.

2) Soit M et N les points deCfetCgd'abscissex.

Sur l'intervalle [1;e], pour quelle valeur dex, la distance MN est-elle maximale?On rappelle que pour tout reela >0,elna=a.

En deduire pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.On rappelle que pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.

1) Completer : Pour tout reela6= 0,a:::= 1

2) En deduire que pour tout reela >0,ln1a

=lna

3) En deduire que pour tous reelsaetbstrictement positifs,lnab

= lnalnbOn rappelle que pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.

1) Completer : Pour tout reela0,pa:::=a

2) En deduire que pour tout reela >0,lnpa=12

lnaOn rappelle que pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.

1) Demontrer que pour tout reela >0 et tout entier natureln,ln(an) =nlna.

2) Demontrer que la propriete du 1) reste vraie pour toutnentier negatif.On rappelle que pour tout reela >0,elna=a.

En deduire que la fonctionlogarithme neperienestcroissantesur ]0;+1[.

On rappelle que :

La fonction logarithme neperien est derivable sur ]0;+1[

Pour tout reelx >0,elnx=x

En deduire pour tout reelx >0,ln0(x) =1x

.On rappelle que la fonction logarithme neperien est derivable sur ]0;+1[.

En deduire quelimx!0ln(x+ 1)x

= 1.On veut demontrer par deux methodes que pour toutaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb

1) On rappelle que pour touta >0,elna=a.

En deduire pour que toutaetbstrictement positifs, ln(ab) = lna+ lnb.

2) Pour toutx >0, on posef(x) = ln(ax)ln(a)ln(x) ouaest un reel strictement positif.

a) Determinerf(1). b) Determinerf0(x). c) Conclure.4

Suite et logarithme

On considere la suite denie paru0= 4 et pour tout entier naturelnparun+1=pu n.

1) On a represente la courbe de la fonction racine carree.

Determiner graphiquement les 4 premiers termes de la suite (un).

2) Conjecturer le sens de variation de (un).

3) (un) semble-t-elle converger?

Si oui, conjecturer sa limite.

4) Demontrer que pour tout entier natureln:

1un+1un

5) Demontrer ce qui a ete conjecture au 3)

6) On posevn= lnun

a) Demontrer que la suite (vn) est geometrique et preciser sa raison. b) Exprimervn, puisunen fonction den. c) Demontrer la conjecture du 3) en utilisant la question 6 b). Equation avec parametre - nombre de solutions - probleme ouvert

On considere l'equation (E

1) :exxn= 0.

ouxest un reel strictement positif etnun entier naturel non nul.

1. Montrer que l'equation (E

1) est equivalente a l'equation (E2) : ln(x)xn

= 0.

2. Pour quelles valeurs denl'equation (E1) admet-elle deux solutions?Logarithme decimal

La fonction logarithme decimal, notee log est la fonction denie sur ]0;+1[ par logx=lnxln10

1. Determiner log1, log10, log100, log1000.

2. Quelle conjecture peut-on faire?

3. Demontrer que pour tous nombresaetbstrictement positifs :

a) log(ab) = loga+ logb. b) logab = logalogb.

4. Demontrer la conjecture du 2.

5. Determiner le sens de variation de la fonction log.

6. Le pH d'une solution mesure l'acidite d'une solution.

On denit le pH par pH =log[H+]

ouH+designe la concentration en ions hydrogene en moles par litre. a) Une solution est dite neutre lorsque le pH vaut 7. Determiner la concentration en ionsH+pour qu'une solution soit neutre. b) Une solution est dite acide lorsque le pH est inferieur a 7. Une solution a une concentration en ionsH+de 21011.

Cette solution est-elle acide?

c) Matthias arme que lorsque la concentration en ionsH+diminue, le pH augmente.

Est-ce vrai?Nombre de chires d'un entier naturel

Soientnetpdeux entiers naturels tels que 10n6p <10n+1. 1. D eterminerle nom brede c hiresdans l' ecritured ecimalede p. 2. Mon trerque n=E(logp) ou la fonctionEdesigne la fonction partie entiere. 3. A l'aide de la calculatrice, d eterminerle nom brede c hiresdans l' ecritured ecimalede 2

2018.5

On a trace la courbeCd'une fonctionfdenie sur ]0;+1[ et la tangente aCen A.On sait quef(x) = (ax+b)lnxou a et b sont des reels.

On cherche les valeurs deaetb.

1) A l'aide du graphique, determinerf(1),f(4) etf0(1) en justiant.

2) Determinerf0(x).

3) Montrer queaetbsont solutions du systeme :4a+b= 0

a+b=3

4) En deduire les valeurs deaetb.

5) Expliquer comment verier la coherence des resultats a l'aide d'une calculatrice.6

On a trace la courbe de la fonction logarithme noteeCdans un repere orthonorme (O;I;J).Soit M un point deCd'abscissex.

1) On considere le point M deCpour lequel la distance OM est minimale.

a) Placer approximativement le point M b) Quelle est alors la valeur dex? Tracer la tangenteTaCen M. c) Quelle conjecture peut-on faire concernantTet la droite (OM)?

2) On poseOM=pf(x) oux2]0;+1[

a) Determinerf(x) en fonction dex. b) Demontrer que pour toutx2]0;+1[,f0(x) =2x (x2+ lnx).

3) On noteu(x) =x2+ lnx.

Etudier les variations deu.

b) Determiner les limites deuen 0 et +1. c) Montrer que l'equationu(x) = 0 admet une solution unique. d) En deduire le tableau de signe deu(x). e) Exprimer lnen fonction de.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur

Fonction logarithme : Exercices

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Savoir calculer avec des logarithmes

Simplier les expressions suivantes :

Resoudre dansRles equations suivantes :

Equation avec des logarithmes - Piege classique!

Resoudre dansRles inequations suivantes :

0Resoudre dansR, les inequations suivantes :

Resoudre dansRles inequations suivantes :

1) Resoudre dansR, l'equationX2+X6 = 0

2) En deduire les solutions des equations suivantes :

Etudier une fonction avec des logarithmes

1) Justier quefest derivable surRpuis determiner, pour toutxreel,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsurR.1

1) Justier quefest bien denie sur ]1;+1[.

2) Justier quefest derivable sur ]1;+1[ puis determiner, pour toutxde ]1;+1[,f0(x).

3) Determiner le tableau de variations defsur ]1;+1[.On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) = (lnx)2lnx.

1) Justier quefest derivable sur ]0;+1[ puis determiner, pour toutx2]0;+1[,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsur ]0;+1[.Dans chaque cas :

1) Justier que la fonctionfest derivable sur l'intervalle I indique.

2) Determiner la derivee defet le tableau de variations defsur I.

3x+ 4.

1. Justier quefest bien denie surR.

2.Etudier les variations def.On considere la fonctionfdenie sur ]0;[ parf(x) = ln(sinx).

1. Justier quefest bien denie sur ]0;[.

2. Justier quefest derivable sur ]0;[ puis determiner, pour toutxde ]0;[,f0(x).

3. En deduire les variations de la fonctionfsur ]0;[.Limites et logarithme

2+ 1c) limx!+1ln2 +x5 +x2

2h) limx!0ln(1 +x)x

1) a) Completer : Six > :::alors lnx > A

2) On poseX=1x

1) On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) =xlnx

Etudier les variations def

2) On pose :X=px

3) On pose :X=1x

102b) 156

1) Luc lance une piece non truquee.

2) Lot lance un de non truque a 6 faces.

3) On place un capital a 4% par an en inter^ets composes.

4) Michel achete des poissons dans un magasin.

On noteCfetCgles courbes representatives defetg.

Etudier les positions relatives deCfetCg.

2) Soit M et N les points deCfetCgd'abscissex.

1) Completer : Pour tout reela6= 0,a:::= 1

2) En deduire que pour tout reela >0,ln1a

3) En deduire que pour tous reelsaetbstrictement positifs,lnab

1) Completer : Pour tout reela0,pa:::=a

2) En deduire que pour tout reela >0,lnpa=12

1) Demontrer que pour tout reela >0 et tout entier natureln,ln(an) =nlna.

2) Demontrer que la propriete du 1) reste vraie pour toutnentier negatif.On rappelle que pour tout reela >0,elna=a.

On rappelle que :

Pour tout reelx >0,elnx=x

En deduire pour tout reelx >0,ln0(x) =1x

En deduire quelimx!0ln(x+ 1)x

1) On rappelle que pour touta >0,elna=a.

2) Pour toutx >0, on posef(x) = ln(ax)ln(a)ln(x) ouaest un reel strictement positif.

Suite et logarithme

1) On a represente la courbe de la fonction racine carree.

2) Conjecturer le sens de variation de (un).

3) (un) semble-t-elle converger?

Si oui, conjecturer sa limite.

4) Demontrer que pour tout entier natureln:

1un+1un

5) Demontrer ce qui a ete conjecture au 3)

6) On posevn= lnun

On considere l'equation (E

1) :exxn= 0.

1. Montrer que l'equation (E

1) est equivalente a l'equation (E2) : ln(x)xn

2. Pour quelles valeurs denl'equation (E1) admet-elle deux solutions?Logarithme decimal

1. Determiner log1, log10, log100, log1000.

2. Quelle conjecture peut-on faire?

3. Demontrer que pour tous nombresaetbstrictement positifs :

4. Demontrer la conjecture du 2.

5. Determiner le sens de variation de la fonction log.

6. Le pH d'une solution mesure l'acidite d'une solution.

On denit le pH par pH =log[H+]

Cette solution est-elle acide?

Est-ce vrai?Nombre de chires d'un entier naturel