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Intégration TD2

Intégrale de Lebesgue : outils de calculs

Préparation à l"agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org

On désigne par(X,A,μ)un espace mesuré.

L

1(μ)désigne l"ensemble des fonctions mesurables complexesfdéfinies surXvérifiant :

X |f|dμ <∞

1 Théorème fondamental du calcul :

Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l"intégrale de Riemann (on omet volontairement

les hypothèses pour l"instant) : "F(x) :=? x a f(t)dtdéfinit une primitive def» "f(b)-f(a) =? b a f?(t)dt»

Dans le cadre de l"intégrale de Riemann, pourfrégulière, ces résultats s"obtiennent aisément : la continuité

deffournit le premier, et l"existence d"une dérivée continue suffit au second.

La question est : l"intégrale de Lebesgue permet-elle d"étendre ces résultats, en relaxant les hypothèses

de régularité effectuées surf? La réponse est affirmative :Définition :(Absolue continuité)[1], p.178

On dit qu"une fonctionfdéfinie sur un segment[a,b], à valeurs dansC, estabsolument conti-nuesur[a,b]si, pour toutε >0il existeδ >0tel que pour toute famille disjointe d"intervalles]α1,β1[,]α2,β2[,...,]αn,βn[inclus dansIet vérifiant :

n i=1(βi-αi)< δ, on aitn?

i=1|f(βi)-f(αi)|< εThéorème :[1], p.174 et suivantes1.Si f?L1loc(R)alorsFest presque partout dérivable, et, presque partout :F?(x) =f(x).2.Si f:R→Rest absolument continue, alors elle est dérivable presque partout,f??L1locet :

f(b)-f(a) =? b a f?(t)dt.Remarque :

La preuve de ce théorème est trop longue pour être abordée en TD ou présentée en développement. Cepen-

dant le résultat est important et peut être mentionné dans les leçons portant sur l"intégration, à condition

de préciser qu"il estADMISsi on ne sait pas le démontrer. Le théorème de Rademacher, non énoncé ici,

traite le cas des fonctions lipschitziennes (c"est donc un cas particulier du théorème précédent) et peut

éventuellement servir de développement (difficile). 1

2 Intégrales à paramètre :

2.1 Énoncés :

Dans les théorèmes de régularité qui suivent,(E,d)est un espace métrique. On considèref:E×X→C,

et on note :

F(t) :=?

f(t,x)dμ(x).Théorème :(continuité sous le signe intégral) [2], p.138

Soita?E. Si :(i)Pour tout t?E,x?→f(t,x)est mesurable.(ii)Pr esquep artout(en x),t?→f(t,x)est continue ena.(iii)Il existe g?L1(μ)telle que, pour toutt?E:

????∂f∂t F ?(t) =?

X∂f∂t

(t,x)dμ(x)Remarque :Le théorème précédent est en fait un corollaire d"un résultat plus général dans lequel la

dérivabilité supposée et obtenue se limite à un seul point. L"hypothèse de domination se fait sur le taux

d"accroissement dans ce cas là; on la retrouve d"ailleurs ici grâce au théorème des accroissements finis.Théorème :(Intégration à paramètre complexe) [3], p.94SoitAun borélien deRd,Ωun ouvert deC. SoitF: Ω×A→Cvérifiant :(i)Pour tout z?Ω, l"applicationx?→F(z,x)est mesurable.(ii)Pour pr esquetout x?A, l"applicationz?→F(z,x)est holomorphe dansΩ.(iii)Pour tout c ompactK?Ωil existe une fonctionuK?L1(A)telle que

f(z) =? A

F(z,x)dxest holomorphe surΩet toutes ses dérivées s"obtiennent par dérivation sous le signe intégral.2

2.2 Exercices :

Exercice 1 :Taupin"s style[7], p.200

Calculer l"intégrale :

0arctan(πx)-arctan(x)x

dx Indication :On utilisera l"expressionarctan(z) =z? 1 0 arctan?(sz)dset l"égalité, valable pour toutz >0: arctan(z) + arctan(1z ) =π2 Exercice 2 :Transformée de Fourier de la Gaussienne[4], p.227-228

Prouver que la fonction

z?-→? R eitze-t2/2dt est entière.

En déduire la transformée de Fourier de la Gaussiennet?→e-t2/2en admettant la valeur de l"intégrale

de Gauss : R e-t2/2dt=⎷2π Indication:On pensera au théorème des zéros isolés.

Exercice 3 :Une intégrale semi-convergente

Le but de cet exercice est de démontrer que les intégrales? A

0sin(x)x

dxconvergent, lorsqueA→+∞,

bien que l"intégrande ne soit pas intégrable surR+. On parle d"intégrale semi-convergente, ou d"intégrale

impropre. 1.

V érifierque la fonction x?→sin(x)x

n"est pas intégrable surR+. 2.

On considère :

F(t) :=?

0sin(x)x

e-txdxetG(t) :=? t

0sin(x)x

dx (a) V érifierque Fest bien définie et même de classeC1surR?+et en donner une expression sur ce domaine. (b) Mon trerque Gadmet une limite finie en+∞, i.e. qu"il s"agit bien d"une intégrale impropre. (c) En considéran tles in tégralestronquées ? A

0sin(x)x

e-txdx, établir pourt >0:

0sin(x)x

e-txdx=? 0

G(u/t)e-udu

(d) En déduire la v aleurde l"in tégraleimpropre

0sin(x)x

dx. 3

3 Fubiniseries :

3.1 Énoncés : [2], p.221-222Théorème :(Fubini-Tonelli)

Soientf: (X×Y,A?B)→R

+une fonction mesurable,μetνdeux mesuresσ-finies respectivementsur(X,A)et(Y,B). Alors :(a)L esfonctions p artoutdéfinies x?→?

Yf(x,y)ν(dy)ety?→?

Xf(x,y)μ(dx)sont respectivementAetB-mesurables.(b)

X×Yf dμ?ν=?

X? Y f(x,y)ν(dy)?

μ(dx) =?

Y? X f(x,y)μ(dx)?

ν(dy).(Ces égalités ont lieu dansR

+.)Théorème :(Fubini-Lebesgue)

Sous les mêmes hypothèses que le théorème précédent, en supposant cette fois-cif?L1(μ?ν), àvaleurs dansC, on a :(a)μ(dx)presque partout,y?→f(x,y)?L1(ν),ν(dy)presque partout,x?→f(x,y)?L1(μ)(b)x?→?

Y f(x,y)ν(dy)?L1(μ)ety?→? X f(x,y)μ(dx)?L1(ν), ces fonctions étant définies respec-tivementμ-p.p. etν-p.p.(c)

X×Yf dμ?ν=?

X? Y f(x,y)ν(dy)?

μ(dx) =?

Y? X f(x,y)μ(dx)?

ν(dy).3.2 Exercices :

Exercice 1 :Exemple

Soitf: (X,A)→R+mesurable.

Montrer que :?

X f dμ=? 0

μ(f > t)dt.

Exercice 2 :Contre-exemple[2], p.223

Soitf(x,y) := 2e-2xy-e-xy.

Montrer que :

1 0? R +f(x,y)dxdy?=? R 1 0 f(x,y)dydx

Exercice 3 :[2], p.230, Attention à la faute!

On rappelle que pour toutf?L1(R), la transformée de Fourier defest définie surRparˆf(t) :=? R f(x)e-itxdx. (a) Calculer, p oura >0, la transformée de Fourier dex?→e-a|x|. (b) Soien ta >0etfala fonction définie surRpar :fa(t) :=? Re -itx1 +x2e-a|x|dx.

Montrer quefa(t) =?

Raa

2+ (y+t)2e-|y|dy

(c) En déduire la trans forméede F ourierde x?→11+x2. Indication:On pourra utiliser le changement de variable :s=y+ta 4

4 Changements de variables :

4.1 Le cas élémentaire :Théorème :[2], p.25

Soit??C1([α,β],R)etf?C0(?([α,β])), alors : f(?(u))??(u)du=? ?(α)f(x)dx4.2 Le cas général : Théorème :(Changement de variables) [2], p.239-240

Soit?unC1-difféomorphisme entre deux ouvertsΔetDdeRd. Alors pour toutf?L1(D), on al"égalité :

D f(x)dx=?

f(?(u))|J?|(u)duRappel :Le JacobienJ?est le déterminant la différentielle de?. On peut se souvenir de la formule de

changement de variable en pensant au cas de la dimension1: x=?(u) =?dx=??(u)duen dimension1 x=?(u) =?dx=|J?|(u)duen dimensionn

4.3 Coordonnées polaires surR2: [2], p.245

On considère le difféomorphisme :

?:R?+×]-π,π[→R2-(R-× {0}) (r,θ)?→?(r,θ) := (rcos(θ),rsin(θ)) CommeR+× {0}est de mesure de Lebesgue nulle, on a, pourf?L1(R2): R

2f(x)dx=?

R

2-(R-×{0})f(x)dx=?

r=0?

4.4 Exercices :

(a)

Mon trerque ?

[0,1]2dxdy1-xy=? n≥11n 2. (b) (i) Appliquer le c hangementde v ariableu= (x+y)/2,v= (y-x)/2à l"intégrale précédente pour obtenir : 1/2 u=0? u v=0dudv1-u2+v2+? 1 u=1/2? 1-u v=0dudv1-u2+v2 (ii) Exercice 2 :Volume de la boule euclidienne unité deRd:[2], p.246 1.

A vecla con ventionv0= 1, obtenir la relation :

v d=vd-2? -1)dxdy 5

2.En d éduire,après ê trepassé en p olaire,la form ulegénérale du v olumede la b ouleunité en d imension

d:

Si dest pair :vd=πd2

d2 si dest impair :vd=2dπd-12 (d-12 )!d!.

Références

[1] W. R udin.Analyse réelle et complexe (3ième éd ition). [2] Marc Briane, Gilles P agès.Théorie de l"in tégration(4ième édition). [3]

É. Amar, É .Matheron. Analyse complexe.

[4]

I. Stew art.Complex Analysis.

[5] (1983), 59-60. [6] Aigner, Ziegler. Raisonnemen tsdivins (Pro ofsfr omthe Bo ok),Springer. [7] É. Leitc hnam.Exe rcicesCorr igésde Mathématiques des concours X/ENS, T omeAnalyse. 6quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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