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SCIENCES SUP

Cours et exercices corrigés

SCIENCES SUP

ANALYSE COMPLEXE

POUR LA LICENCE 3

Patrice Tauvel

P. TAUVEL

Licence 3 • CAPES

ANALYSE COMPLEXE POUR LA LICENCE 3

Patrice Tauvel

COURS

9 782100 500741

ISBN 2 10 050074 0

ANALYSE COMPLEXE

POUR LA LICENCE 3

www.dunod.com Les fonctions holomorphes d'une ou plusieurs variables complexes interviennent dans plusieurs branches des mathématiques et aussi dans d'autres disciplines scientifiques, en particulier en physique. L'étude de ces fonctions est relativement ancienne et constitue toujours un domaine de recherche actif. Elles mettent en valeur la position privilégiée de l'analyse complexe, située entre la géométrie différentielle, la topologie, l'analyse fonctionnelle et l'analyse harmonique. Cet ouvrage présente l'ensemble des notions d'analyse complexe habituellement abordées en Licence. Afin que le livre soit très autonome, les premiers chapitres reprennent, avec démonstrations, les résultats classiques concernant les séries entières. Des exercices corrigés illustrent le cours et permettent au lecteur de faire le point sur les connaissances acquises. Cet ouvrage est principalement destiné aux étudiants de troisième année de Licence de mathématiques. Il s'adresse aussi aux candidats au CAPES ou à l'Agrégation et aux élèves des

écoles d'ingénieurs.

12345678

1 er cycle2 e cycle3 e cycle

LICENCEMASTERDOCTORAT

MATHÉMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

SCIENCES DE L'INGÉNIEUR

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

SCIENCES DE LA TERRE

PATRICE TAUVEL

est professeur à l'université de Poitiers.

ANALYSE COMPLEXE

POUR LA LICENCE 3

lim Tauvel Page I Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10 lim Tauvel Page II Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10

ANALYSE COMPLEXE

POUR LA LICENCE 3

Cours et exercices corrigés

Patrice Tauvel

Professeur à l'université de Poitiers

lim Tauvel Page III Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10

Illustration de couverture : digitalvision

Conseiller scientifique : Sinnou David

© Dunod, Paris, 2006

ISBN 2 10 050074 0

lim Tauvel Page IV Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10 1 1 1 1 1 1 1 1

Table des matiËres

AVANT-PROPOSXI

CHAPITRE 1 •S...RIES NUM...RIQUES

1.1 Notations et rappels1

1.2 Limite supérieure et limite inférieure2

1.3 Généralités sur les séries numériques4

1.4 Séries à termes positifs6

1.5 Convergence absolue8

1.6 Règles de Cauchy et de d"Alembert10

1.7 Séries alternées11

1.8 Séries semi-convergentes12

1.9 Série produit13

1.10 Convergence associative ou commutative14

1.11 Intégrales et séries17

Exercices19

Solutions des exercices20

CHAPITRE 2 SUITES ET S...RIES DE FONCTIONS

2.1 Convergence simple23

2.2 Convergence uniforme24

2.3 Continuité25

2.4 Dérivabilité25

2.5 Intégrabilité27

1 1 1 1 1 1 1 1

VIAnalyse complexe pour la Licence 3

2.6 Séries de fonctions28

2.7 Convergence normale29

Exercices30

Solutions des exercices31

CHAPITRE 3 SÉRIES ENTIÈRES

3.1 Généralités35

3.2 Rayon de convergence36

3.3 Continuité et intégrabilité38

3.4 Dérivabilité39

3.5 Fonctions développables en série entière40

3.6 Quelques exemples42

3.7 Fonction exponentielle43

3.8 Fonctions circulaires et hyperboliques45

Exercices46

Solutions des exercices47

CHAPITRE 4 FONCTIONS ANALYTIQUES

4.1 Dé36nition des fonctions analytiques50

4.2 Principe du prolongement analytique52

4.3 Principe des zéros isolés52

Exercices54

Solutions des exercices54

CHAPITRE 5 FONCTIONS HOLOMORPHES

5.1 Rappels58

5.2 Conditions de Cauchy-Riemann59

5.3 Déterminations continues du logarithme62

5.4 Autres déterminations continues64

Exercices65

Solutions des exercices66

1 1 1 1 1 1 1 1

Table des matiËresVII

CHAPITRE 6 ANALYTICITÉ ET HOLOMORPHIE

6.1 Arcs et chemins67

6.2 Intégration complexe69

6.3 Indice71

6.4 Existence des primitives72

6.5 Analyticité des fonctions holomorphes77

6.6 Fonctions circulaires réciproques79

Exercices82

Solutions des exercices83

CHAPITRE 7 PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES

7.1 Inégalités de Cauchy et conséquences84

7.2 Principe du maximum85

7.3 Lemme de Schwarz et applications87

7.4 Suites et séries89

7.5 Holomorphie et intégration91

Exercices94

Solutions des exercices95

CHAPITRE 8 FONCTIONS MÉROMORPHES

8.1 Un point de topologie98

8.2 Singularités isolées99

8.3 Fonctions méromorphes101

8.4 Théorème des résidus102

8.5 Théorème de l'indice104

8.6 Théorème de Rouché106

8.7 Inversion locale107

8.8 Séries de fonctions méromorphes109

Exercices112

Solutions des exercices113

1 1 1 1 1 1 1 1

VIIIAnalyse complexe pour la Licence 3

CHAPITRE 9 PRODUITS INFINIS

9.1 Produits in36nis de nombres complexes116

9.2 Produits in36nis de fonctions holomorphes119

Exercices123

Solutions des exercices124

CHAPITRE 10 HOMOTOPIE ET HOLOMORPHIE

10.1 Homotopie et simple connexité126

10.2 Primitive le long d'un arc130

10.3 Indice132

10.4 Formule de Cauchy135

10.5 Séries de Laurent137

10.6 Les généralisations140

Exercices142

Solutions des exercices143

CHAPITRE 11 HOLOMORPHIE ET PARTIES LOCALEMENT FINIES

11.1 Produit canonique de Weierstrass145

11.2 Applications147

11.3 Idéaux150

Exercices152

Solutions des exercices153

CHAPITRE 12 REPRÉSENTATION CONFORME

12.1 Topologie154

12.2 Un résultat d'isomorphisme157

12.3 Conservation des angles159

Exercices160

Solutions des exercices162

CHAPITRE 13 QUELQUES GRANDS CLASSIQUES

13.1 Théorèmes de Picard164

13.2 Théorème de Runge169

Exercices176

Solutions des exercices177

1 1 1 1 1 1 1 1

Table des matiËresIX

CHAPITRE 14 FONCTIONS HARMONIQUES

14.1 Premières propriétés179

14.2 Représentation intégrale181

Exercices184

Solutions des exercices185

CHAPITRE 15 QUELQUES CALCULS D"INTÉGRALES

15.1 Quelques lemmes186

15.2 Quelques méthodes188

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES197

INDEX199

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Avant-propos

Les rÈsultats concernant la thÈorie des fonctions holomorphes díune ou plusieurs va- riables complexes sont trËs nombreux, car cíest une thÈorie relativement ancienne (et la recherchedansce domainedesmathÈmatiquesest toujourstrËs active).Pouraborder

cette thÈorie, líÈtudiant aura intÈrÍt ‡ procÈder par Ètapes. Ce livre peut Ítre vu comme

la premiËre de ces Ètapes. Donnons quelques explications ‡ ce sujet. Les connaisances pour aborder la lecture de líouvrage sont plutÙt modestes. En ce qui concerne la topologie, on ne demande de connaÓtre que les propriÈtÈs ÈlÈmentaires des compacts et des connexes de C. Pour líintÈgration, ‡ líexception díun complÈment

donnÈ au chapitre 7 (et qui níest pas utilisÈ dans la suite de líouvrage), on nía utilisÈ

que les propriÈtÈs ÈlÈmentaires de líintÈgrale au sens de Riemann. En ce qui concerne

le calcul diffÈrentiel, il níest quasiment utilisÈ que la notion díapplication diffÈren-

tiable. Il en rÈsulte quíun Ètudiant de troisiËme annÈe de Licence dispose de toute la

matiËre nÈcessaire pour aborder la lecture du livre. Donnons quelques dÈtails quant ‡ son contenu.

Les chapitre

s1‡3constituent des rÈvisions concernant un programme usuel de Li-

cence. On y traite de sÈries numÈriques, de sÈries de fonctions, et de sÈries entiËres. Il

nous semble en effet opportun de rappeler les points essentiels concernant ces notions (par exemple la dÈ36nition du rayon de convergence díune sÈrie entiËre). Le chapitre4 traite des fonctionsanalytiques. Bien que ne prÈsentant aucunedif36cultÈ, on obtientdÈj‡des rÈsultatsimportants(principeduprolongementanalytique,principe des zÈros isolÈs). Au chapitre 5, on gÈnÈralise la notion de dÈrivabilitÈ au cas des fonctions díune va- riable complexe. Il est aussi question des dÈterminations continues de líargument, un point qui sera essentiel dans díautres chapitres. 1 1 1 1 1 1 1 1

XIIAnalyse complexe pour la Licence 3

Le chapitre 6 est fondamental. On y montre qu'une fonction est dérivable (on dit aussi holomorphe) si et seulement si elle est localement développable en série entière. C'est là une énorme différence avec le cas réel déjà vu par l'étudiant. Dans les chapitres 7 et 8, on utilise la théorie de Cauchy locale pour obtenir les principales propriétés des fonctions holomorphes ou méromorphes. On y démontre, par exemple, la fameuse formule des résidus (dans des cas particuliers) qui permettra, et c'est parfois ce qui impressionne l'étudiant, de calculer des intégrales.

Les chapitres 9 et 11 sont consacrés à l'étude des produits in36nis. C'est une notion très

intéressante, mais aussi plus délicate que celle de série. Au chapitre 11, on montre en particulier l'existence de fonctions holomorphes ayant des zéros imposés. Au chapitre 10, on traite, dans un cadre plus général, des questions vues dans les cha- pitres 7 et 8. On introduit en particulier la notion d'homotopie (on essaie de déformer des courbes de manière continue). Le chapitre 12 est consacré d'une part à des questions topologiques (théorème de Montel) et d'autre part à la représentation conforme (théorème de Riemann). On y démontre en particulier à quelle condition deux ouverts de

Csont analytiquement

isomorphes. Au chapitre 13, on démontre trois résultats fameux : deux théorèmes de Picard et le théorème de Runge. Les deux premiers sont spectaculaires, le troisième est fondamen- tal en ce qui concerne l'approximation des fonctions. Au chapitre14, on aborde l'étude des fonctions harmoniquesde deux variablesréelles. Ces fonctions sont très utilisées dans de nombreux domaines scienti36ques. On prouve en particulier qu'une telle fonction est indé36niment différentiable. Le chapitre 15 donne quelques méthodes (en nombre très limité) de calculs d'inté- grales en utilisant la formule des résidus. Nous renvoyons cependant le lecteur à des livres d'exercices (ou à des séances de travaux dirigés) pour ce qui concerne ce point.

Comme nous l'avons déjà précisé, ce livre, qui se veut d'un niveau relativement élé-

mentaire, n'aborde que quelques aspects de la théorie des fonctions holomorphes. Nousn'avons en particuliertraitéque le cas des fonctionsholomorphesd'unevariable. Pour l'étudiant qui veut se spécialiser dans ce domaine, il peut être une introduction à des ouvrages de niveau plus élevé. Nous conseillons en particulier les livres [4], [6], [8], [9], [10] de la bibliographie. Signalons aussi que le contenu de cet ouvrage couvre entièrement la partie du pro- gramme de l'agrégation de mathématiques qui concerne les fonctions holomorphes. 1 1 1 1 1 1 1 1

Avant-proposXIII

Diagramme d'implication des différents chapitres : 1

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1 1 2

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1 1 3

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