[PDF] À propos des ondes de la cuve à ondes

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Vol. 97 - Mars 2003 Christophe LAGOUTE

BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS441

À propos des ondes de la cuve

à ondes

par Christophe LAGOUTE

Lycée Bellevue - 31400 Toulouse

c.lagoute@infonie.fr

RÉSUMÉ

L'étude de la dispersion des ondes à la surface d'un fluide conduit à des résultats très différents selon les conditions expérimentales (houle, bassin, cuve à ondes...). En

effet, le milieu peut être ou non dispersif, et la célérité des ondes peut croître ou décroître

avec la longueur d'onde. Cet article propose un inventaire des différentes situations pos- sibles et analyse le cas particulier des cuves à ondes de lycée. Les mesures de longueurs d'ondes effectuées conduisent à la valeur de la tension superficielle de l'eau.

1. INTRODUCTION

Le nouveau programme de physique de la classe de terminale scientifique, en vigueur

dès la rentrée 2002, comporte une partie conséquente d'étude des phénomènes ondula-

toires. De nombreux domaines de la physique peuvent être mis à contribution pour obser- ver en travaux pratiques deux propriétés fondamentales des ondes : la propagation et la

diffraction. Les notions de longueur d'onde, de fréquence et de célérité se dégagent à par-

tir d'expériences réalisées en acoustique sonore ou ultrasonore, mais aussi en optique et en mécanique dans les milieux matériels continus solides ou fluides. Le programme incite

par ailleurs à présenter des exemples de milieux dispersifs, et suggère à cet effet l'utili-

sation de cuves à ondes. C'est ce dernier point qui a retenu notre attention. On trouve des cuves à ondes dans presque toutes les collections de matériel des

lycées. On peut aussi en construire à coût réduit (moins de 20 e) selon le plan donné par

M. G YR[1], à l'usage des élèves. Outre son prix, ce modèle de cuve s'avère particuliè- rement intéressant : il permet de faire varier la hauteur d'eau dans des proportions consé- quentes, mais surtout, de mesurer des longueurs d'ondes grâce à un dispositif d'éclairage stroboscopique synchronisé sur le mécanisme pneumatique de production des ondes. On

évite ainsi les difficultés liées à la dérive inertielle des éclairages stroboscopés mécani-

quement, couramment utilisés. Les résultats présentés dans cet article ont été obtenus à

l'aide d'une cuve inspirée de ce plan. La cuve à ondes permet d'observer une catégorie particulière d'ondes : les ondes de surface, encore appelées ondes d'interface. Elles sont le plus souvent dispersives, et for- ment la houle à la surface des mers et des océans. En observant attentivement la houle

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depuis un rivage, il est possible de se rendre compte du caractère dispersif du milieu en remarquant que les ondes de grandes longueurs d'ondes se propagent plus rapidement que les ondes de courtes longueurs d'ondes. En tentant de reproduire ce phénomène dans une cuve à ondes de quelques décimètres, on peut être surpris d'observer le contraire : les ondes de courtes longueurs d'ondes ont les célérités les plus grandes ! Ce fait est d'autant plus surprenant, que l'on trouve dans certains manuels de terminale la relation

λπvg/2

=, conforme à la houle, mais qui ne s'applique pas aux cuves à ondes... Commençons par rappeler les principaux résultats du modèle théorique simplifié des ondes de gravité superficielles. Pour plus de détails, on pourra se reporter aux annexes ou aux références [2 à 4].

2. ONDES SUPERFICIELLES

Considérons l'eau contenue dans une cuve à ondes. Sur les bords de la cuve, une plage en feutre est disposée sur laquelle l'eau vient d'affleurer pour limiter la réflexion des ondes. Les hypothèses sont les suivantes : (1)le milieu est supposé infini (pas d'effets de bords) ; (2)la hauteur d'eau H est uniforme dans la cuve ; (3)la masse volumique 0 de l'eau est constante (fluide incompressible) ; (4)la pression atmosphérique p 0 en tout point situé au-dessus de la surface est uniforme et constante ; (5)les mouvements du fluide sont petits (approximation linéaire) ; (6)l'écoulement est irrotationnel (pas de tourbillon) et unidimensionnel (ondes planes) ; (7)la viscosité est négligée ; (8)la tension superficielle est négligée. L'ensemble est placé dans le champ de pesanteur terrestre d'intensité g = 9,81 N.kg 1-

Le problème se modélise à l'aide de :

♦l'équation d'Euler, qui décrit la dynamique de l'écoulement ; ♦l'équation de continuité qui traduit la conservation de la masse ; ♦l'écriture des conditions aux limites : annulation de la composante verticale de champ des vitesses au fond de la cuve et identification en surface à la vitesse ascensionnelle d'un point de l'interface ; ♦la continuité de la pression en surface. On montre alors (cf.annexe 1) que le vecteur d'onde des ondes de surfaces est relié à la célérité (ou vitesse de phase) des ondes par : vgkth(kH) =(1) où le vecteur d'onde k est relié à la longueur d'onde par

πλk2/=.

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Deux cas limites se présentent :

♦Pour les ondes de très grandes longueurs d'ondes, ou en eaux peu profondes (

λ>>H

ou << 1kH),th(kH) kH., le milieu n'est pas dispersif car v est indépendant de λ.

En effet, la relation (1) devient :

gHv .(2) ♦Pour les ondes de très courtes longueurs d'ondes, ou en eaux profondes ( <<λHou >> 1kH),1th(kH)., le milieu est dispersif et l'on retrouve les propriétés de la houle :

πλgg

2kv .=(3)

En utilisant les variables sans dimension

v/ gH et /H, on peut représenter gra-

phiquement ce résultat (cf.figure 1). La célérité obtenue par le modèle croît avec la longueur

d'onde. Figure 1 :Évolution de la vitesse de phase en fonction de la longueur d'onde, pour les ondes de gravité superficielles.

3. MESURES DANS LA CUVE À ONDES

Soumettons ce modèle à l'épreuve de l'expérience. La cuve à ondes utilisée est de

confection " artisanale » [1]. Un dispositif pneumatique alimenté par un générateur basses

fréquences, produit des ondes planes, de fréquence fréglable. Un oscilloscope numérique

est utilisé pour contrôler la qualité des signaux électriques d'alimentation et mesurer f.

Pour trois hauteurs d'eau différentes

H 1 = 1 mm,H 2 = 5 mm et H 3 = 2 cm, nous avons mesuré les longueurs d'ondes dans un domaine de fréquences variant de 20 à 100 Hz. Par définition, la vitesse de phase se calcule selon :

λvf

=(4) Les résultats sont représentés sur la figure 2 (cf.page ci-après). On observe que les trois séries de mesures se confondent aux courtes longueurs d'ondes. Aux longueurs d'ondes

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supérieures à 5 mm, les données relatives à la profondeur d'eau H = 1 mm se détachent des autres. Remarquons que les points de mesures dans cette région sont entachés d'er- reurs plus importantes : le nombre total de longueurs d'ondes comptées sur la longueur de la cuve est plus faible, ce qui limite la précision des mesures. Par ailleurs, il convient d'être prudent quand au respect de l'hypothèse 5 du modèle. Il est donc nécessaire de

limiter l'amplitude des oscillations afin d'assurer la linéarité en milieu très peu profond.

La profondeur d'eau pourtant explicitement présente dans l'équation 1, ne semble influen-

cer les mesures qu'aux très faibles profondeurs. Par ailleurs, la célérité mesurée décroît

au lieu de croître, contredisant le résultat théorique ! Figure 2 :Mesure des vitesses de phase dans une cuve à onde pour plusieurs hauteurs d'eau. Le modèle s'avère défaillant, et la relation λπvg/2 =inapte à décrire le phéno- mène ondulatoire observé dans la cuve.

4. RIDES CAPILLAIRES

Le modèle des ondes superficielles doit être revu. Une approximation trop sévère

dans le cas de la cuve à ondes a été faite : nous avons négligé les effets de la tension

superficielle (ou capillarité). Révisons le modèle précédent en introduisant la tension superficielle, ce qui revient à abandonner l'hypothèse (8). Au franchissement de l'interface air-eau, les actions méca- niques dues à la tension superficielle produisent une discontinuité de la pression donnée par la loi de Laplace [5] :

ΔγpR=(5)

où γest la tension superficielle du fluide. Pour de l'eau pure à 20 °C,γ=73 mN.m 1-

L'étude théorique donne (cf.annexe 2) :

γρvgk

kth(kH) 02 J LKKN POO (6)

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Si l'on compare ce résultat à l'équation 1, on observe que g est remplacé par le fac- teur

γρgk/

2 0 +qui dépend de la longueur d'onde. Comparons l'importance relative des deux termes, g pour les effets gravitationnels et

γρk/

2 0 pour les effets capillaires : kg g 4 l 02 022
c2 ==J LKKN

POO(7)`

avec : g229 81 100073 10l m 1,7cm 03 c .==rtcr (8)

La longueur caractéristique

l c est appelée longueur d'onde capillaire. Ainsi, aux courtes longueurs d'ondes, la propagation des ondes de surface est domi- née par la tension superficielle. Les ondes obtenues sont appelées rides capillaires. Notons que les effets relatifs de la tension superficielle dans v 2 diminuent comme λl/ 2 et devien- nent négligeables aux grandes longueurs d'ondes. Le domaine des ondes de gravité ne commence qu'au-delà de la longueur d'onde capillaire. Or l'observation d'ondes de lon- gueurs d'ondes supérieures à quelques centimètre n'est pas des plus confortable dans une cuve à onde. Les éclairages stroboscopiques correspondants ont des périodes de l'ordre de la seconde et plus ! Représentons sur la figure 3a (cf.page ci-après) l'évolution de la vitesse de phase pour une profondeur d'eau conséquente H=2m qui va nous permettre de mener plus aisément la discussion. Remarquons qu'il est nécessaire de préciser la profondeur d'eau H, même en variables sans dimension, puisque la relation (6) en dépend : v HH HH12 2gHl th 22c2
mmr rm J LKK e N POO o(9) L'échelle de la figure est logarithmique, et nous avons conservé les variables sans dimension. On observe que la courbe présente un minimum qui peut être évalué en remarquant que πth(2 /X) 1.pour X < 3 (en effet :,3097πth(2 / ).). En effet, si l'on suppose cette condition réalisée, et en posant /XH=m, la relation (9) devient : v HXl X12gH c 222
r J LKKN POO (10) et on trouve que le minimum est pour /XlH c ., c'est-à-dire pour une longueur d'onde λl c ., précisément égale à la longueur d'onde capillaire. La vitesse de phase est alors /vlg c .r . Lorsque >>Hl c (cas de la figure 3a) on distingue nettement trois domaines :

λ<< l

c : domaine des rides capillaires,v décroît ; >>λl c : domaine des ondes de gravité superficielles,v croît ; >>λH: domaine des ondes non dispersives.

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Sur la figure 3b, les vitesses de phases sont données pour différentes profondeurs (de 1 mm à 2 m). On observe que le minimum disparaît lorsque la profondeur H devient inférieure à environ 5 mm. L'approximation précédente n'est alors plus valable puisque l/H 1,7.10 / 5.10 3,4 > 3 c23 Il est intéressant de cerner le domaine expérimental accessible par les cuves à ondes " standards », c'est-à-dire des cuves pour lesquelles : <<10 10mmetH10Dans ces conditions :

λ10 22-
et l'on obtient : (/ )//HH HH v HH HH1 2 2 1 2 2l th gH l th maxmaxmaxmax min minminmin22 22c
2 c 2 mmr rm m mr rm J LKKKJ LKK J LKKKJ LKKN POOON POO N POOON POO (11) En pratique, la fréquence de l'éclairage stroboscopique ne doit pas être trop basse. Un minimum d'environ 10 Hz s'impose, afin que la persistance des images sur la rétine assure des conditions d'observations convenables. Dans le cas des cuves à ondes envisa- gées, le dispositif pneumatique de production des ondes impose une autre limitation due à la bande passante du haut-parleur, dont l'ordre de grandeur est d'environ 20 Hz. La limitation basse en fréquence se situe donc autour de 15 Hz. Le domaine correspondant est grisé sur la figure 3b. Quelle que soit la profondeur H accessible à la cuve, la vitesse de phase décroît avec la longueur d'onde. Les ondes observées sont des rides capillaires. Quant aux ondes de gravité superficielles, elles sont inobservables dans des cuves " stan- dards » contenant de l'eau.

Figure 3a :Évolution de la vitesse de phase

en fonction de la longueur d'onde pour un cas typique où

H2m>>l

c =.Figure 3b :Évolution de la vitesse de phase en fonction de la longueur d'onde pour différentes profondeurs.

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