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JOURNAL DE PHYSIQUE

Colloque C6, supplément au nO1O, Tome 44, octobre 1983 page C6- 79 ANALYSE DE LA GENERATION D'ONDES DE RAYLEIGH PAR EFFET PHOTOTHERMIQUE

D. Royer et E. Dieulesaint

Laboratoire d'Acoustoélectricité, Université Pierre et Marie Curie,

10, rue Vauquelin, 75231 Paris Cedex 05, Frmce

Résumé - La méthode analytique proposée pour interpréter les résultats

d'experiences de génération d'ondes de Rayleigh, en particulier sur cristaux piézoélectriques, est basée sur

1 a relation de réci proci té complexe. El le est

appliquée

à une expérience sur un cristal de niobate de lithium dans laquelle les ondes sont excitées par

un réseau de sources thermiques.

Abstract

- The analysis proposed to interpret the results of Rayleigh wave

generathn experiments is based on the complex reciprocity relation. It is applied to an experiment on a piezoelectric crystal of lithium niobate. The

waves were exci ted by an array of thermal sources.

1NTRODUCTION.

Des ondes de Rayleigh ont été engendrées dans des solides en chauffant leur surface [1,2,3]. Une technique consiste à "éclairer" le solide, à travers un masque, par

un faisceau laser dont l 'intensité est modulée de façon à chauffer périodique- ment une série de zones (figure

1). Fig. 1. Génération d'ondes de Rayleigh par effet photothermique. L : faisceau laser, A0 : modulateur acousto-optique, 0 : oscillateur, M : masque, A : absorbant, R : ondes de Rayleigh, T : transducteur à élec- trodes en forme de peignes, C : cmstal de niobate de lithium, S : sortie. L'objet de cette communication est de proposer une méthode analytique apte à

interpréter les résultats expérimentaux en particulier ceux obtenus avec un cristal piézoélectrique de niobate de

1 ithium [21.

ANALYSE.

Pour calculer l'amplitude du déplacement

ui de 1 'onde de Rayleigh engendrée par effet photothermique,nous utilisons 1 a relation de réciprocité complexe [41 en la

généralisant au cas où les sources sont d'origine thermique. Cette relation entre Article published online by

C6-80 JOURNAL DE PHYSIQUE

deux solutions des équations du champ élastique et du champ électrique dans le même milieu suppose que le comportement de celui-ci est linéaire et non dissipatif.

En

choisissant pour une des solutions le mode de Rayleigh libre et en décomposant la solution forcée (créée par les sources) sur la base des modes de propagation libres, il est possible, compte tenu des relations d'orthogonali té entre ces modes d'expri- mer la puissance élastique émise sous forme d'ondes de Rayleigh.

Etant donné la définition du tenseur des déformations

Skl et du tenseur des

di

1 atations thermiques Bkl

au aul lk+-) =s ~(ax, ax, kl + Bk1 nous écrivons en régime sinusoïdal (tii = iwui) 1 'équation du mouvement, 1 'équation

de Poisson et les deux équations d'état d'un milieu piézoélectrique. Ces équations relient le déplacement de matière

(ui), les contraintes mécaniques (T. .), le poten- 1J tiel et 1 'induction électriques (9, Di) aux sources extérieures mécaniques (densité de force Fi), électriques (densité dedcharge pe) et thermiques (élévation de tempé- rature

6) à 1 'aide des constantes élastiques ( c;jkl), piézoélectriques (ejkl) et

S diélectriques (E~~) du matériau : en posant uij = cijkl Bkl et 6. J = e jkl B kl (1) *(RI, Pour faire apparaître un invariant, contractons 1 a première équation avec ui quantité complexe conjuguée du déplacement de 1 'onde de Rayleigh, la seconde *(R) avec la troisième avec - ax: et la dernière avec = - E*(~) ax: j puis J J additionnons membre à membre. En posant il vient aul a S(R)+~.~*(R) l+F.U*(R)-p 9*(R)+BS* = - pi .~*(~)+c~ - - - E s E*(~) ,, [T. .U

IJ i J 11 e R

1 ijkl axk ax jk k j

j j Si le milieu n'est pas dissipatif, les tenseurs caractéristiques c!jkl, ejki et E' sont réels. Le second membre de 1 'équation précédente est invariant dans 1 'opé- j k ration de conjugaison et de permutation des solutions. Après soustraction, celui-ci disparaît. Puisque 1 'onde de Rayleigh est un mode de propagation libre, i .e. sans source (F!~)= e(R)= O), il vient 1 Pe Décomposons la solution cherchée ui sur la base des modes libres de surface ui=0u!m)(x2)exp i(wt-kmx3) se propageant selon x3 : ui(x,,x3,t) = 8 am(x3)?u:m)(x2) exp i (ut - kmx3) Les sources sont uniquement thermiques (Fi=p,=O), l'équation 3 se réduit à

Comme les amplitudes des modes de surface sont nulles pour x2=m et que les condi- tions aux limites imposent pour

x, = O : ( ~~i~) = O (surface mécaniquement 1 i bre) (surface non chargée et << E~~) il vient en intégrant de x2 =O à l'infini : a g pmR ax; [am(x3)ei(k~-km)x3] = - k 4 sic dx, (4) avec Compte tenu de la relation d'orthogonalité des modes libres [51 :

P, = O si m#R et P=PR si m=R

RR la sommation sur m se réduit à un seul terme est le flux de puissance, transporté par un faisceau d'ondes de Rayleigh de largeur uni té. Comme les amplitudes du déplacement et du potentiel de l'onde de Rayleigh sont proportionnelles à (pRlw)ln et ne dépendent que de la variable sans dimension X2=kRx2 (R)(~2)

11 = 1 "

1 (%)'l2exp i (ut - kRx3)

aR( x2 1 a a il vient, d'après l'expression 2, avec - = O et - = - ikR : axl ax3

JOURNAL DE PHYSIQUE

i/2 sR = - ikR(PR/w) SR(X2) exp i(wt - kRxs) (8) en introduisant la fonction Aux fréquences de quelques dizaines de MHz, le nombre d'onde thermique Y2 p = (iwpC/K) est très grand devant le nombre d'onde acoustique kR = u/VR (C et K

sont respectivement la chaleur spécifique et la conducti bi li té thermique du maté- riau). La diffusion thermique transversale est négligeable, si bien que la distri- bution de température est de la forme

où

f(x3) est une fonction sans dimension qui traduit la répartition du flux lumi- neux de densité de puissance

Po par unité de surface.

En reportant les expressions 8 et 10 dans la relation 6 et en intégrant sur x3 il apparaft la transformée de Fourier F(kR) de f(x3) et comme » kR

Si le réseau de longueur L et de largeur w est constitué de N traits absorbants de largeur a et de période d (figure 2)

Fig. 2. Fonction de répartition spatiale des sources. A la fréquence de synchronisme fo=VR/d, telle que kRd=2i7 et si a=d/2 :

1 kRF(kR) l=2N si bien que, d'après la relation 11, la densité de puissance acoustique,

par unité de largeur,émise dans chaque direction sous forme d'ondes de Rayleigh est

Le rendement en puissance, compte tenu de

1 a bidi rectionnalité,

est indépendant de la fréquence et proportionnel à NPo. Lg-poJgnJjgl-clgcJrfqgg accompagnant 1 'onde de Rayleigh dans le cristal piézo-

électrique

4 = aR4(R) a pour amplitude sur la surface, d'après 7 et 11 :

C1est,pratiquement, la différence de potentiel en circuit ouvert aux bornes du transducteur récepteur.

APPLICATION

AU NIOBATE DE LITHIUM

Les seules composantes non nulles des tenseurs

a. et ô. définis par les rela- 1 j I tions 1 sont pour ce cristal appartenant à la classe 3m

D'après les caractéristiques des ondes de

R~leigh (coupe Y, propagation selon Z)

données par Slobodni k et al [61 les constantes intervenant dans 1 'expression 9 de

SR ont pour valeurs sur la surface x2 = O

au usR)= 1,78. 1om6 , Y&- = i .0,60.10-~ et mR = 1,451.104L-1750 (unités SI) soit ISR(o) 1 = 4,42. Dans les conditions de 1 'expérience [21(P0 = 103W/m2, f0=10,6 MHz, N=10) et avec les constantes du niobate de lithium (~=4640kg/m~, C=645 J kg-' K-') , la différence de potentiel aux bornes du transducteur récepteur, calculée

à l'aide de la formule 12 :

I@(o)l = 1,6 vV

est en bon accord avec la valeur mesurée (de l'ordre du UV).

REFERENCES.

1 - LEE R. and WHITE R.M., Appl. Phys. Lett., 2 (1968) 12.

2 - ASH E.A., DIEULESAINT E. and RAKOUTH H.,Electron. Lett., 2 (1980) 470.

3 - VEITH G. and KOWATSCH M., Appl. Phys. Lett., (1982) 30. 4 - AULD B., "Acoustic Field and Waves in Solids", vol 2,Wiley (1973) 161 5 - Réf. 4, p. 158

6 - SLOBODNIK A.J., CONWAY E.D. and DELMONICO R.T., "Microwave Acoustic Handbook" Vol

1A AFCRL Report no 73-0597. Air Force Cambridge Research Labs., Bedford, Mass., USA (1973) 402.

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