[PDF] Cours maths complémentaires la fonction dérivée

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Chapitre2

ContinuitŽetdŽrivation

2.1DŽr ivationdÕunefonctionetmonotonie

PourŽtudi erlesvariationsdÕunef onctionc ompliquŽe,ilestnŽ cessairededŽterminerlesign ede

lafo nctiondŽrivŽef ¥f (x)β0pourxγRsie tseulem entsilafonctionestcroissante sur R. ¥f (x)$0pourxγRsie tseulem entsilafonctionestdŽcroissan te surR. ¥f (x)=0pourxγRsiet seuleme ntsilafonctionestconstante surR.

Fonctionspolynomiales

Nousdevons donctreenmesurede calculerladŽ rivŽedÕun efonctiondonnŽe.Pourc ela,il convienttoutdÕabordd Õapprendreˆd Žriverlespuissancesdex. Proposition4.Letabl eausuivantfournitledom ainededŽÞnitionainsi queladŽr ivŽede fonctionsusuelles.

Fonction

Domaine

dŽÞnitionExpression

Domaine

dŽrivationDŽrivŽe constanteRf(x)=pRf (x)=0 identitŽRf(x)=xRf (x)=1 carrŽRf(x)=x 2 Rf (x)=2x cubeRf(x)=x 3 Rf (x)=3x 2 inverseR f(x)= 1 x R f (x)=% 1 x 2 racineR f(x)= xR f (x)= 1 2 x Remarque.Iles tutileder etenirlaformul esuiva ntequienglobelescasprŽcŽdents.SoitnγZ(avec n'=0)etf(x)=x n alors 13

14CHAPITRE2.CONTINUITƒETD ƒRIVATION

f (x)=nx n$1 expliquecommentdŽriverlas ommededeuxfoncti onsoucommentdŽ riverunefonctionmult ipliŽe parunecons ta nte. Proposition5(DŽrivŽedÕunesomme).Soientu,vdeuxfonctionsdŽ rivablesetaγR. 1. au =au 2. u+v =u +v

Voyonscelasurunp remierexemp le.

Exemple2.1.1.Auli eudeprŽsent erdeno mbreuxpointsthŽoriques,tra itonslÕexemplesuivanten dŽtail.Soitf(x)=x 3 %4x 2 montrentque f (x)=3x 2 %8x+3.

Ilfa utensuiterŽs oudref

(x)=0ˆlÕaidedeα(celui-civautα=64%36=28 =4(7>0.Il yadoncdeuxsolutionsx 1 4$ 7 3 etx 2 4+ 7 3 .Parsuite,nousavons x signedef (x) x 2 x 1+) +0%0+ Encon sŽquence,lafonctionfadmetlesvariati onssuivante s(ilestpossibledev ŽriÞerceciˆl a calculatrice): x f(x) x 2 x 1+) f(x 2 )f(x 2 f(x 1 )f(x 1 Remarque.Nousverro nsplustardcommentlÕutil isationdelac alculatricepermet dÕavoirunein- tuitionconcernan tleslimitesdelafonctionlorsquexα±). (x) etdr esserletableaudeva riatio nsdef);72p25(application).

2.1.DƒRI VATIONDÕUNEFONCTIONETMONOTON IE15

Fonctionexponentiellee tdŽrivation

Parmom ents,ilfaudratrecapable dedŽr iverdesfonctionsimpliquantlÕexponentielle.

Proposition6.Lafo nctionexponentielleexp:x*αe

x estdŽri vablesurRet(e x =e x pourtout xγR. Remarque.AtoutesÞnutiles,rappelonsquelquespropriŽtŽsalgŽbriquesdelÕ exp onentielle: e a (e b =e a+b e a e b =e a$b ;(e a b =e ab pourtouta,bγR. Cespro priŽtŽssontˆcompareraveccelle sdespuissanc esd e10. Lapl upartdutemps,nousauron sˆfai reunefonctionunp euplusco mplexequelasimple exponentielle. Proposition7.Soitu:RαRunefonc tiondŽrivablealors(e u(x) =u (x)e u(x) pourtoutxγR. Remarque.Finalement,cetteformulemontre justequepourdŽr iverx*αe u(x) ils uβtdesavoir dŽriverx*αu(x).

Exemple2.1.2.1.DŽ rivonsx*αe

$3x+4 .Iciu(x)=%3x+4doncu (x)=%3et(e $3x+4 %3e $3x+4

2.DŽ rivonsx*αe

x 2 .Iciu (x)=x 2 doncu (x)=2xet(e x 2 =2xe x 2 Exercicesˆtraiter:29(Q 3,Q4,Q6)page2;49(Q2,Q4)page22et48( Q1,Q2)page 22.

Nousaurons doncbesoindurŽsul tatsuivant.

Proposition8(DŽrivŽedÕunproduit).Soientu,vdeuxfonctionsdŽ rivablesetaγR.Alors uv =u v+uv Remarque.Enpart iculier,lorsquev=u,lepoint3nousassureque(u 2 )=u u+uu =2uu .Ilest primordialderetenirlesfaits suiv ants: ladŽ rivŽedÕunproduitnÕestp asleprodu itdesdŽrivŽesα

Voyonscelasurune xemple.

Exemple2.1.3.EtudionssurRlesvar iationsdef(x)=(3x+1)e x 2 .IlsÕagitdÕunproduit,posons alors u(x)=3x+1etv(x)=e x 2

Ainsiu

(x)=3etv (x)=2xe x 2 .Parsuite, f (x)=3e x 2 +(3x+1)2xe 2 =e x 2 (6x 2 +2x+3).

16CHAPITRE2.CONTINUITƒETD ƒRIVATION

Ilsu βtdՎtudierlesignedeladŽrivŽepourdŽterminerlesvariationsdelafoncti onf.Pour 2 %4(6(3=%68<0donc6x 2 +2x+3 e x 2 >0pourtoutxγR.

Nousavonsd oncmontrŽquef

(x)>0pourtoutxγR.Lafonctionfestdonc strictement croissantesurR.

2.1.1Fract ionrationnelles

Nousabord onsmaintenantlecasdesfrac tionsrationnelles.IlsÕagitsimplementdÕunquotient depo lyn™mes.ToutdÕabord,rappelonscom mentŽtudier lesignedÕu nquotient.

Exemple2.1.4.x*α

x+4 x$2

dedŽÞni tion,ledŽnominateurnÕapas ledroi tdՐtreŽgaleˆzŽro(val eurinterdite).Observon sau

x signedex+4 signedex%2 x+4 x$2 %)%42+) %0++ %%0+ +0%+ VoyonsˆprŽsentc omm entdŽriverunquotient .

SivnesÕ annulepas,

u v u v%uv v 2

Remarque.

ladŽ rivŽedÕunquotientnÕest paslequot ientdesdŽrivŽesα

TraitonsunexempledÕapp licat ion.

Exemple2.1.5.Soith(x)=

$12x+3 3x+1 nousvoyo nsquehestdŽÞn iesurR\{% 1 3 }.DŽterminonsensuiteh ,pourcelanousallonsutiliserla formulededŽrivation dÕunqu otientavec u(x)=%12x+3etv(x)=3x+1.

2.1.DƒRI VATIONDÕUNEFONCTIONETMONOTON IE17

Parsuit e,u

(x)=%12etv (x)=3cÕestpourq uoinousobtenons h (x)= %12((3x+1)%(%12x+3)(3 (3x+1) 2 %21 (3x+1) 2 <0. hestdon cunefonctioncr oissantes ur]%);% 1 3 [et]% 1 3

Exercicesˆtraiter:46p age22.

Equationsdetangentes

Parfois,ilvousseradema nderd edŽterminerl ՎquationdÕu neta ngenteˆunecourbeC f enu n pointdonnŽex 0 pourensuit efaireuneŽtudedeposit ionrelative(ent relacourbeetsatan gente). Avantdetrait erunex emple,rappelonscomme ntdŽte rminerlՎquationdÕunetangentee nunpoint. Proposition10.Soitf:RαRunefon ctiondŽrivableetx 0

γR.LՎquationdelatangenteT

x0 estdonn Žepar y=f (x 0 )(x%x 0 )+f(x 0 )pourtoutxγR. Exemple2.1.6.ReprenonslՎtudedelaf onctionf(x)=(3x+1)e x 2 dontladŽriv Ževaut f (x)=e x 2 (6xquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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