Cours dAutomatique
28. 6. 2017 Ce cours d'Automatique s'inscrit dans le cadre de la deuxi`eme année de ? cycle ingénieur ? de l'´Ecole Nationale Supérieure d'Ingénieurs ...
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2`eme année d'IUT de Mesures Physiques. Cours. Un premier pas en Automatique. Olivier BACHELIER. Courriel : Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr.
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Cours d"Automatique de la licence professionnelle
"Technologies avanc´ees appliqu´ees aux v´ehicules"
Olivier Bachelier
E-mail : Olivier.Bachelier@esip.univ-poitiers.fr
Tel : 05-49-45-36-79; Fax : 05-49-45-40-34Sensibilisation `a des concepts de l"AutomatiqueR´esum´eCe cours, initialement dispens
´e au sein du D´epartement de G´enie Electrique et Informatique Industrielle del"IUT de Poi-
tiers, s"adresse `a l"origine aux´etudiants de la licence professionnelleTechnologies avanc´ees appliqu´ees aux v´ehicules.
Ces derniers ne se destinant pas
`a une´etude approfondie des concepts de l"Automatique, le pr´esent document aborde rapidement les bases de la repr´esentation fr´equentielle, l"analyse et la commande des syst`emes lin´eaires. L"´el`eve int´eress´e
par plus ample information est invit ´e`a consulter quelques ouvrages [2,4,6,10,11,3,13,12,1,5,7]. Certaines parties de ce document sont inspir´ees de [8,9], voire franchement emprunt
´ees. Ce cours correspond`a un volume horaire d"en- viron huit heures, c"est pourquoi certains points classiques ne sont pas abord ´es. Les notions fondamentales sont´etudi´ees bri`evement et quelques approfondissements, justifications ou calculs sont renvoy´es en annexe`a l"adresse de l"´etudiant
motiv´e par la discipline.
Connaissances pr
´ealables souhait´ees :int
´egrales,´equations diff´erentielles, calcul complexe.1 SENSIBILISATION`A DES CONCEPTS DE L"AUTOMATIQUETable des mati `eres1 Introduction `a l"Automatique4 1.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2 Notion de syst
`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.3 Notion de boucle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.4 Quelques exemples concernant la boucle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.4.1 Douches collectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.4.2 Douche personnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.4.3 Mitigeur thermostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.4.4 R
´etroviseur`a r´eglage de position´electronique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.5 Cadre de travail. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.6 N´ec´essit´e d"une r´egulation´etudi´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.7 M´ethodologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2 Mod ´elisation... de l"´equation diff´erentielle`a la fonction de transfert102.1 Pr
´esentation du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.2 Obtention de l"
´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.3 Transform
´ee de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
2.4 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.5 Notion de causalit
´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162.6 Association de fonctions de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.7 Fonctions de transfert en boucle ferm
´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 3 R´eponses des syst`emes lin´eaires17
3.1 D´efinition de la r´eponse d"un syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
3.2 R´eponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
3.3 R´eponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
3.3.1 R
´eponse indicielle d"un syst`eme canonique de premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
3.3.2 R
´eponse indicielle d"un syst`eme canonique de deuxi`eme ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
3.3.3 Remarque sur les p
ˆoles des syst`emes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213.3.4 Remarque sur les z
´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223.3.5 Remarque sur les mod
`eles d"ordre´elev´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223.4 Les r
´eponses fr´equentielles ou harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
3.4.1 D
´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
3.4.2 Lien avec la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
3.4.3 Diagramme de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
3.4.4 Lieu de Black ou de Nichols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
3.4.5 Lieu de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
4 Stabilit
´e des syst`emes lin´eaires continus26
4.1 D´efinition g´en´erale et intuitive de la stabilit´e d"un´etat d"´equilibre ou d"un syst`eme. . . . . . . . . . . .27
4.2 Influence sur le comportement entr
´ee/sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274.3 Crit
`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
4.4 Crit
`ere du revers pour la stabilit´e d"un syst`eme boucl´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2 5 R´eglage des syst`emes boucl´es29
5.1 Principe de la commande par retour unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
5.2 R´egulation proportionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
5.2.1 Influence deAsur la stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
5.2.2 Influence deAsur la rapidit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
5.2.3 Influence deAsur la pr´ecision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
5.2.4 Influence deAet des int´egrateurs sur une erreur due`a une perturbation. . . . . . . . . . . . . .32
5.3 R´egulateur PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
6 Conclusion34
Annexes35
A Point de fonctionnement et caract
´eristique statique35
B Principe de superposition37
C A propos de la transform
´ee de Laplace37
C.1 Quelques transform
´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37C.2 Remarques sur la transform
´ee de Laplace inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 D D´emonstration de la formule de Black40
E Expression du gain statique40
F Influence des p
ˆoles sur la r´eponse d"un syst`eme41
F.1 Pˆoles distincts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
F.2 Pˆoles multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
G Fonction de transfert et r
´eponse harmonique43
H A propos du diagramme de Bode45
H.1 Quelques r
`egles simples de construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
H.2 Construction du diagramme de Bode associ
´e au mod`ele complet du moteur. . . . . . . . . . . . . . . .49 I Perturbation en1/pqet position des int´egrateurs49J Calcul d"un r
´egulateur par compensation de pˆole50
J.1 R´egulateur PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
J.2 R´egulateur PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
J.3 R´egulateur PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
K M´ethodes de Ziegler-Nichols52
K.1 M´ethode de la r´eponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
K.2 M´ethode de la juste oscillation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
K.3 Commentaires sur les deux m
´ethodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54L Filtrage de l"effet d
´eriv´e55
R´ef´erences bibliographiques56
Index56
3 SENSIBILISATION`A DES CONCEPTS DE L"AUTOMATIQUE1 Introduction `a l"Automatique Cette partie resitue un peu le cadre de ce cours, propose les d ´efinitions pr´eliminaires`a l"´etude et met en´evidence les points qui seront abord´es par la suite.
1.1 D´efinition
La d´efinition de l"Automatique que propose le "Petit Robert" est assez explicite sur ce que peutˆetre l"Automatique mˆeme
si sa simple lecture ne suffit pas pour analyser les grandes tendances de cette vaste discipline. La voici :
Automatique :ensemble desdisciplines scientifiques1et des techniques utilis´ees pour laconception et l"emploi des
dispositifs2qui fonctionnentsans l"intervention d"un op´erateur humain3.
On peut revenir sur les trois expressions soulign
´ees de cette d´efinition.1.disciplines scientifiques :ceci sugg`ere que l"Automatique requiert quelques activit´es th´eoriques afin de r´ealiser :-une mod
´elisation math´ematique d"un dispositif.-une analyse de ses propri´et´es sur la base du mod`ele .-la conception d"une loi de commande toujours sur la base du mod
`ele.2.conception et emploi de dispositifs :ceci rel`eve en fait de la mise en oeuvre pouvant faire intervenir des disciplines
telles que l" ´electronique, l"informatique...3.sans l"intervention d"un op ´erateur humain :cette derni`ere expression fait apparaˆıtre la notion de syst`emes automa- tis´es qui permettent :-d"am
´eliorer les performances d"un dispositif, son confort (exemples : climatisation, direction assist´ee).-d"am
´eliorer la s´ecurit´e (exemples : pilote automatique, freinage ABS).Ne sont g
´en´eralement abord´es dans un cours d"Automatique que les aspects 1 et 3. Le point 2 est g´en´eralement sp´ecifique
au dispositif ´etudi´e et ne n´ecessite souvent pas l"expertise r´eelle d"un automaticien.1.2 Notion de syst
`emeEn Automatique, la notion de syst
`eme est incontournable. La d´efinition qu"en donne l"automaticien se rapproche de celle classique emprunt´ee`a la physique. G´en´eralement, le syst`emeest un dispositif qui fonctionne en interaction avec son
environnement g´en´erant un ensemble de ph´enom`enes. Certaines grandeurs physiques de l"environnement agissent sur le
syst `eme. Elles sont appel´ees entr´ees. D"autres ´emanent du syst`eme et agissent sur l"ext´erieur. Elles sont appel´ees sorties.Les signaux associ
´es aux entr´ees sont g´en´eralement not´es par la lettreuet les signaux associ´es aux sorties par la lettrey.
Les entr
´ees d"un syst`eme peuventa prioriˆetre modifi´ees. Il peut´egalement exister des entr´ees qui´echappent au contrˆole
et qui ne peuvent ˆetre modifi´ees. Elles sont appel´ees perturbationset sont not´eesd. La figure1symbolise ce formalisme.
Fig. 1Syst`eme comprenantmentr´ees,psorties etrpertubations4Dans la pratique, un syst
`eme peut correspondre`a un dispositif m´ecanique,´electronique, chimique... et il est facile de
le diff´erencier de l"ext´erieur de mˆeme que de choisir quelles sont les entr´ees (exemples : une force ou un couple en
m´ecanique, une tension ou un courant en´electronique, la concentration d"un produit initial en chimie) ou les sorties (une
vitesse ou un couple en m ´ecanique, une tension ou un courant en´electronique, une concentration d"un produit final en chimie). Comme exemples de perturbations, on peut citer une force li ´ee aux frottements avec l"air, des tensions parasites, des concentrations de produits n´eglig´es ou d"impuret´es...
Il existe des syst
`emes qui ne sont pas physiques tels que des syst`emes´economiques et financiers et pour lesquels ce
formalisme peut paraˆıtre moins´evident. De tels syst`emes, mˆeme s"ils peuvent exister dans l"industrie automobile, ne se
rencontrent pas sur un v´ehicule.
1.3 Notion de boucle
Une notion fondamentale en Automatique est la notion de boucle que les´electroniciens (qui sont les premiers`a avoir
formalis´e cette notion) appellent contre-r´eaction. Le principe en est d"acqu´erir une information pr´esente sur les sorties et
de l"utiliser judicieusement pour modifier les entr ´ees. Le but de cette r´etro-action est d"obtenir un comportement souhait´e du syst`eme, c"est-`a-dire, des signaux de sortie satisfaisants. L"utilisation de la boucle r´esulte du fait que les automaticiens
ont constat´e que la modification convenable des sorties par une action sur les entr´ees, sans tenir compte des sorties,´etait
insuffisante.Pour mieux se rendre compte de l"int
´erˆet de la boucle, on peut prendre l"exemple d"une automobile (voir figure2) qui lors d"un trajet, fait apparaˆıtre des bouclages manuels (c"est le conducteur qui assure ces r´etro-actions lui-mˆeme) ou
automatiques (il est assist ´e par des dispositifs de s´ecurit´e ou de confort).Système àActionneurs
commanderCommande
MesuresPerturbations(vent, profil de la route)
(voiture)Sorties(trajectoire,
niveau de la caisse, vitesse) (capteurs, yeux) (Calculateur, cerveau)Spécifications sur le comportement
(tenue de route, oscillations de la caisse, vitesse désirée, confort, sécurité...)(suspension, mains, pieds)Entrées(action surle volant, les pédales)Fig. 2Boucles possibles correspondant au fonctionnement d"une voitureLorsqu"un automobiliste est au volant, la voiture, en interaction avec son environnement (dont le conducteur), peut
constituer un syst`eme avec de nombreuses boucles. Ainsi, lorsqu"un d´efaut de la route ou un coup de vent entraˆıne
un d´eplacement ponctuel lat´eral du v´ehicule (le syst`eme r´eagit`a une perturbation), alors l"oeil de l"automobiliste (entre
autres)luipermetdeprendreconsciencedud la trajectoire. Il s"agit l`a d"une boucle manuelle. De mˆeme, si un trou g´en`ere une oscillation violente sur l"altitude de la
caisse, une suspension active peut r ´eduire cet inconfort en agissant sur l"amortisseur. Ceci est une boucle automatique.Cette derni
`ere suit la plupart du temps un mod`ele math´ematique plus ou moins compliqu´e qui est appel´e loi de commande.
L"on dit aussi que le syst
`eme fonctionne en boucle ferm´ee.A la vue de cet exemple, on peut comprendre l"importance de la boucle. Elle peut permettre d"assurer deux activit
´es
essentielles en Automatique :5 -l"asservissementqui consiste `a faire en sorte que les sorties se comportent comme des r´ef´erences donn´ees (tout du moins autant que faire ce peut).-la r´egulationqui consiste
`a tenter de r´eduire l"effet des perturbations sur les sorties. Dans les deux cas, certaines performances sont souvent requises telles que :-la stabilit´e-le temps de r
´eponse-l"absence d"oscillations des sorties
-la pr´ecisionCes propri
´et´es seront mieux explicit´ees au cours des divers chapitres.1.4 Quelques exemples concernant la boucle
1.4.1 Douches collectives
Une douche collective est sch
´ematis´ee par la figure3.fixée a prioriTempérature de l'eau fixeRéservoir d'eau
à températureFig. 3Exemple de syst`eme en boucle ouverteL"entr´ee du syst`eme est la temp´erature de l"eau du reservoir. L"eau s"´ecoule dans le syst`eme et sort des pommes`a une
temp´erature (c"est la sortie) qui n"est pas modifiable. Aucune information sur cette temp´erature de sortie n"est utilis´ee au
niveau du r ´eservoir. Il s"agit donc l`a d"un syst`eme en boucle ouvertec"est- `a-dire sans boucle.1.4.2 Douche personnelle
Le fonctionnement d"une douche manuelle est lui repr´esent´e sur la figure4.
Réservoir
Arrivée
d'eau froideAction manuelle sur le mitigeurd'eau chaudeFig. 4Exemple de syst`eme en bouclage manuelLa personne prenant sa douche peut cette fois-ci jouer sur le mitigeur pour am
´eliorer la temp´erature de l"eau. En fonction de sa sensation, elle actionne les robinets jusqu"au confort souhait ´e. Cette boucle est donc manuelle et non automatique. La r´eponse en temp´erature d"un tel syst`eme, c"est-`a-dire l"´evolution de la temp´erature de sortie au cours du temps, est
g ´en´eralement de la forme donn´ee par la figure5. 6Température ambiante
Température souhaitée
oscillationsretard purtemps t°Fig. 5Evolution de la temp´erature de l"eau au cours du tempsLa temp´erature n"´evolue pas dans un premier temps car les tuyaux sont emplis d"eau`a temp´erature ambiante. On parle de
retard purdu syst `eme.Puis, en raison des manoeuvres successives de la personne sur les robinets, l"eau devient alternativement chaude et froide
jusqu"`a ce que la personne trouve un compromis satisfaisant. La dur´ee des oscillationsest d"autant plus longue que la
personne r ´eagit vivement et est maladroite.Remarque 1: en Ecosse, la strat ´egie pour´eliminer le retard pur et les oscillations consiste`a fixer la temp´erature souhait´ee`a la valeur de la temp´erature ambiante, ce qui a aussi l"avantage de satisfaire des crit`eres´economiques.1.4.3 Mitigeur thermostatique
Pour plus de confort, le particulier peut aujourd"hui installer, au niveau de sa douche, un mitigeur thermostatique qui
r´ealise un asservissement en temp´erature. Ce dispositif correspond`a une boucle automatique qui permet`a la fois de
diminuer le temps de r ´eglage (en´evitant les oscillations) et de faire des´economies d"eau (voir figure6).Mitigeur thermostatique
Consigne
Eau chaude
Eau froidet°
consigne ambiante t° t° tFig. 6Exemple de syst`eme avec boucle automatique1.4.4 R ´etroviseur`a r´eglage de position´electroniqueSupposons que deux personnes utilisent le m
ˆeme v´ehicule et que l"ordinateur de bord de ce dernier propose`a chacun de m´emoriser une position pour le r´etroviseur. Cette position est caract´eris´ee par deux angles et chacun de ces deux angles
doitˆetre`a la bonne valeur lorsque le conducteur demande sa position pr´ef´er´ee. La rotation du r´etroviseur est assur´ee
grˆace`a deux petits moteurs`a courant continu (un pour chaque angle). Le principe de r´eglage d"un angle en fonction de la
postion souhait´ee est donn´e par la figure7.
7Bloc de
commandeRétroviseur+ -tension tensionangle souhaité (exprimé par une tension)Moteur
capteurAmplificateuru y cangle réel en radians systèmeyFig. 7boucle automatique de r´eglage d"un angle de r´etroviseurOn note qu"il convient de ramener la sortie sur l"entr
´ee et de modifier l"excitation du moteur en fonction de l"´ecart entre l"angle souhait´e et celui obtenu. Pour calculer cet´ecart, il faut sp´ecifier la valeur souhait´ee par une tension et convertir
l"angle effectif en tension, ce qui est le r ˆole du capteur. Lorsque l"angle effectif est celui escompt´e, l"´ecart s"annule et le moteur assurant la rotation n"est plus command ´e. On verra plus tard que peuvent se cacher des blocs assez complexes derri `ere ce sch´ema de principe.Il faut noter que dans le cas d"un syst
`eme boucl´e, on distingue les entr´ees du syst`eme en boucle ferm´ee qui sont ap- pel´ees consigneset g
´en´eralement not´eesyc(t)(ici, la tension correspondant`a l"angle souhait´e) des entr´ees du syst`eme
en boucle ouverte (c"est-`a-dire le proc´ed´e compos´e ici de l"amplificateur, du moteur et du r´etroviseur) qui sont appel´ees
commandeset restent not´eesu(t)(ici, la tension d"induit du moteur).
On retrouve ce style de probl
`eme dans le cas de l"asservissement de l"inclinaison d"une antenne parabolique.1.5 Cadre de travail
On vient de voir que l"
´etude des syst`emes conduisait`a s"int´eresser`a des signaux d´ecrivant l"´evolution de grandeurs
physiques (les entr´ees et les sorties notamment). On distingue plusieurs automatiques selon la nature des signaux et des
mod `eles utilis´es.?Ainsi les signaux continus peuvent prendre toutes les valeurs dans un intervalle donn´e alors que d"autres signaux sont
susceptibles de prendre uniquement certaines valeurs bien d ´etermin´ees. Sur la base de cette diff´erence, on distingue l"Au- tomatique des syst `emes`a´ev´enements (ou´etats) continusde l"Automatique des syst `emes`a´ev´enements (ou´etats) discrets.Seul le cas des
´ev´enements continus sera envisag´e dans ce cours.?Une autre distinction tout aussi fondamentale se fait sur le temps. En effet, les signaux peuventˆetre d´efinis`a tout
instant du temps ou simplement connus `a des instants donn´es (on parle de signaux discrets, discretis´es, ou´echantillon´es comme sur la figure8.Système à
commanderCalculateur
Convertisseur
N. A. u(t) t u u021u012y,y,y
séquence,...u0,u1,u2séquence ty(t) ttyy 1 0 01 (Algorithme à déterminer)ConvertisseurA. N.Fig. 8Commande discr`ete8
Les signaux de sortie sont
´echantillon´es, c"est-`a-dire mesur´es et donc connus uniquement`a certains instants, et la s´equence
des´echantillons est obtenue sous forme num´erique en sortie d"un convertisseur analogique num´erique (CAN). Elle est
transmise`a un calculateur qui en d´eduit une s´equence de signaux de commande. Celle-ci est transform´ee par un conver-
tisseur num´erique analogique (CNA) qui restitue un signal`a temps continu sur l"entr´ee du syst`eme. Pour le calculateur,
l"ensemble constitu´e du syst`eme et des convertisseurs est vu comme un syst`eme`a temps discret (ou "syst`eme discret").
Dans ce cours, ne sera consid
´er´ee que l"Automatique des syst`emes`a temps continu(ou simplement des "syst `emes conti- nus") par opposition `a l"Automatique des syst`emes`a temps discret.?Il existe d"autres distinctions qui reposent sur le mod`ele math´ematique utilis´e pour d´ecrire le comportement du syst`eme.
Ce mod
`ele est obtenu soit par identification (on fait correspondre un mod`ele avec une structure donn´ee au comportement
entr´ees/sorties du syst`eme) ou, et ce sera le cas ici, par une utilisation judicieuse des´equations correspondant aux lois
de la physique r´egissant le comportement du syst`eme. L"on parle alors de mod´elisation du syst`eme. La plupart de ces
equations sont diff´erentielles et non lin´eaires. Cependant, il est souvent recommand´e de travailler dans une gamme de
valeurs autour d"un point de fonctionnement de telle sorte que les ´equations sont raisonnablement remplac¸ables par desequations diff´erentielles dites lin´eaires`a coefficients constants. Cette approximation permet donc de passer d"un mod`ele
non lin ´eaire`a un mod`ele lin´eaire. Bien que moins fid `ele`a la r´ealit´e, ce dernier facilite l"´etude et la commande du syst`eme, notamment gr ˆace`a un principe fondamental, celui de superposition(ou de s ´eparation), r´esum´e sur la figure9.Systèmey=a1y1+ay221au1 au22 linéaireFig. 9Principe de superpositionSi l"entr´eeu1entraˆıne la sortiey1et si l"entr´eeu2entraˆıne la sortiey2alors deux entr´eesα1u1etα2u2agissant simul-
tan´ement entraˆınent une sortiey=α1y1+α2y2(voir justification en annexeB). Ce cours est restreint
`a l"´etude des syst `emes lin´eaires.?Enfin, une derni`ere distinction est essentielle pour ce cours. Les syst`emes sont soient monovariables (une seule entr´ee,
uneseulesortie)soitmultivariables (plusieursentr´etudi´es.
En r´esum´e, ce cours concerne les syst`emeslin
´eairesmonovariablescontinus.
1.6 N ´ec´essit´e d"une r´egulation´etudi´eeLe but de ce paragraphe est de montrer qu"une r
´egulation simple, un bouclage simple, ne sont pas toujours suffisants pour commander un syst`eme. On suppose que l"on souhaite r´eguler, ou plutˆot asservir, la vitesse d"un ventilateur destin´e`a
refroidir un syst`eme´electronique`a l"int´erieur du v´ehicule. Le proc´ed´e est constitu´e tout simplement d"un petit moteur
excit ´e par une tensionuet entraˆınant la rotation du ventilateur comme le montre la figure10.uvMoteurFig. 10VentilateurOn souhaite quev, la vitesse angulaire du ventilateur, soit´egale`a une consigne donn´eevc. Pour ce faire, on adopte une
commande correspondant au sch´ema de la figure11.
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