[PDF] Dérivation - Chapitre 5 11 nov. 2009 Chapitre 5.

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Dérivation

Chapitre 5

M. Delfour

Département de mathématiques et de statistique

Université de Montréal

11 novembre 2009

M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 1 / 119 Plan

1Fonctions différentiables ou dérivables

2Opérations sur les fonctions dérivables

3Extrema d'une fonction - la règle de Fermat

4Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy

5Règle de l'Hôpital

6Formule de Taylor

7Extrema d'une fonction

8Méthode de Newton

9Références

M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 2 / 119 DérivéesLe calcul différentiel et la notion de dérivée Lecalcul différentiela été créé auXVIIe siècle. La première idée du calcul différentiel et de la règle pour le calcul des extrema1 remontent à

Pierre Fermat2(1637).

La notion de

dérivéea vu le jour dans les écrits deLeibniz3(16844) et deNewton5 (1691) qui la nomme fluxionet qui la définit comme " le quotient ultime de deux accroissements évanescents ». La condition obtenue par Fermat pour l'extremum d'une fonction algébrique est donc en même temps généralisée par Leibniz sous la formef?(x) =0 en 1684. Cette condition est utilisée en 1691 dans la démonstration du

Théorème de Rolle6

qui mène et à la règle de L'Hôpitalen 16967.

1.Methodus ad disquirendam Maximam et Minimam, 1637.

2. Pierre Fermat, 17 août 1601 (Beaumont-de-Lomagne, France) - 12 janvier 1665.

3. Gottfried Wilhelm Leibniz, 1 juillet 1646 (Leipzig, Allemagne) - 14 novembre 1716.

4.

Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus,quae nec fractas nec irrationales quantitates

moratur, et singulare pro illis calculi genus (Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que les

tangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable de

calcul pour celles-ci), dans Acta Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.

5. Sir Isaac Newton, 4 janvier 1643 (Woolsthorpe-by-Colsterworth, Angleterre) - 31 mars 1728.

6. Michel Rolle, 21 avril 1652 (Ambert, France)- 8 novembre 1719 (Paris).

7. Guillaume François Antoine de l'Hôpital (1661-1704)

M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 3 / 119

DérivéesGottfried Wilhelm von Leibniz

FIGURE:Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)

est un philosophe, scientifique, mathématicien, diplomate, bibliothécaire et homme de loi allemand qui a écrit en latin, français et allemand. ll est envoyé en 1672 à Paris, en mission diplomatique. Il y reste jusqu'en 1676 et y rencontre les grands savants de l'époque : Huygens et Malebranche, entre autres. Il se consacre aux mathématiques et laisse à Paris son manuscrit sur la quadrature arithmétique du cercle . Il travaille également sur ce qui sera lecalcul infinitésimal. Il conçoit en 1673 une machine à calculerqui permet d'effectuer les quatre opérations, et qui inspirera bien des machines à calculer du XIXe et XXe siècle (Thomas de Colmar, Curta). Avant de rejoindre Hanovre, il se rend à Londres étudier certains écrits d' Isaac

Newton

, jetant, tous les deux, les bases ducalcul intégral et différentielen 1684 (Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quaenec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus). ?Pascaline : Blaise Pascal (1623-1662). M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 4 / 119

DérivéesSir Isaac Newton

FIGURE:Sir Isaac Newton (1643-1727)

Newton est un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais. Figure emblématique des sciences, il est surtout reconnu pour sa théorie de la gravitation universelle et, en mathématiques, la création, en concurrence avec Leibniz, ducalcul infinitésimal en 1691 (Leibniz, 1684). Il nommefluxionce qui deviendra la notion de

dérivée et la définit comme " le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».

Il est aussi connu pour la généralisation du théorème du binômeet l'invention dite de la méthode de Newtonpermettant de trouver des approximations d'un zéro (ou racine) d'une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles. M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 5 / 119 DérivéesFonctions différentiables ou dérivables La notion intuitive de dérivée est celle de droite tangente àune courbe régulière en un point donné. Comme il faut approcher ce point, elle n'a de sens qu'en un point d'accumulation du domaine de définition de la fonction et fait appel à la notion de limite du chapitre précédent.

Définition (Notion classique)

Soientf:D→Rune fonction etx0?intDunpoint intérieur. La fonctionfestdérivable au pointx0si la limite duquotient différentiel limx→x0f(x)-f(x0)x-x0existe.

On l'appelle

dérivéeet on la notera par f ?(x0),d dxf(x)˛˛˛˛ x=x0oudfdx(x0).

Lorsque

x0?intD, il existe un voisinageV(x0,ε)dex0contenu dansDet la dérivée ne dépend que du pointx0et def, mais pas du domaineD. SiD= [a,b], on parle de dérivée aux points de (a,b)en excluant les bordsaetbqui ne peuvent être approchés qu'en venant de la droite ou de la gauche. M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 6 / 119 DérivéesFonctions différentiables ou dérivables

Définition (Notion classique)

Soitf:D→Rune fonction etx0?intDunpoint intérieur. La fonctionfestdérivable au pointx0si la limite duquotient différentiel limx→x0f(x)-f(x0)x-x0existe.

On l'appelle

dérivéeet on la notera par f ?(x0),d dxf(x)˛˛˛˛ x=x0oudfdx(x0).

Exemple

La fonctionx?→x:R→Rest différentiable etf?(x) =1. La fonction x?→1/x:R\{0} →Rest différentiable etf?(x) =-1/x2.La fonctionx?→ |x|:R→R est différentiable sauf en 0 etf?(x) =-1, six<0 et+1 six>0. En effet, les suites {1/n}et{-1/n}tendent toutes deux vers 0, mais les quotients différentiels (1/n-0)/(1/n-0) =1 et(-1/n-0)/(1/n-0) =-1 ne convergent pas vers la même limite. M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 7 / 119 DérivéesFonctions différentiables ou dérivables Bien que ce ne soit pas une notion vraiment naturelle pour lecalcul différentiel, Labelle et Mercier introduisent une généralisation de la notion de dérivées des points intérieurs aux points d'accumulation.

Il faut se souvenir que

intD?D? ?x0?intD,?δ0>0 tel queV(x0,δ0)?D ?δ >0,V?(x0,δ)∩D?

V?(x0,min{δ,δ0})?=∅.

Comme D?D=intD?∂D, en généralisant à des points deD∩D?, on incluera des points frontières, c'est-à-dire les points deD∩∂D.

Définition (Labelle et Mercier, p. 126)

Soitf:D→Rune fonction etx0?D∩D?unpoint d'accumulation. La fonctionfest dérivableau pointx0si la limite lim x→x0 x?D f(x)-f(x0) x-x0existe.

On l'appelle

dérivéeet on la notera par f ?(x0),d dxf(x)˛˛˛˛ x=x0oudfdx(x0). M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 8 / 119 DérivéesFonctions différentiables ou dérivables

Définition (Labelle et Mercier, p. 126)

Soitf:D→Rune fonction etx0?D∩D?unpoint d'accumulation. La fonctionfest dérivableau pointx0si la limite lim x→x0 x?D f(x)-f(x0) x-x0existe.

On l'appelle

dérivéeet on la notera par f ?(x0),d dxf(x)˛˛˛˛ x=x0oudfdx(x0). Lorsquex0n'est pas un point intérieur, alors c'est un point frontière. Pour l'exemple D= [a,b], les dérivées en∂D={a,b}correspondront à ce que l'on appelle plutôt la dérivée à droitef?(a+)et ladérivée à gauchef?(b-): f ?(a+) =lim x→a+f(x)-f(a) x-a f ?(b-) =lim x→b-f(x)-f(b) x-b. Ici, le domaineD= [a,b]ne permet d'approcheraoubque d'un côté. M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 9 / 119 DérivéesFonctions différentiables ou dérivables

Définition (Labelle et Mercier, p. 126)

Soitf:D→Rune fonction etx0?D∩D?unpoint d'accumulation. La fonctionfest dérivableau pointx0si la limite lim x→x0 x?D f(x)-f(x0) x-x0existe.

On l'appelle

dérivéeet on la notera par f ?(x0),d dxf(x)˛˛˛˛ x=x0oudfdx(x0). Cette définition peut aussi être utilisée pour des fonctionsdéfinies sur des domaines du type D={1/n:?n?N} ? {0}, où 0 est le seul point d'accumulation et toutes les suites qui convergent vers 0 sont des sous-suites de{1/n}. Par exemple, x?→x2:D→R, dont la dérivée en 0 est f ?(0) =limn→∞(1/n)2-02

1/n-0=limn→∞1/n=0.

M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 10 / 119 DérivéesFonctions différentiables ou dérivables

Définition (Labelle et Mercier, p. 126)

Soitf:D→Rune fonction etx0?D∩D?unpoint d'accumulation. La fonctionfest dérivableau pointx0si la limite lim x→x0 x?D f(x)-f(x0) x-x0existe.

On l'appelle

dérivéeet on la notera par f ?(x0),d dxf(x)˛˛˛˛ x=x0oudfdx(x0). En invoquant la caractérisation de la limite par les suites,on a comme dans le cas de la continuité.

Théorème

•Soit f:D→Rune fonction et x0?D∩D?unpoint d'accumulation. f est dérivableau point x0 ?L?R,?{xn} ?D tel que xn?=x0et xn→x0,limn→∞f(xn)-f(x0) xn-x0=L. M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 11 / 119 DérivéesFonctions différentiables ou dérivables

Définition (Labelle et Mercier, p. 126)

Soitf:D→Rune fonction etx0?D∩D?unpoint d'accumulation. La fonctionfest dérivableau pointx0si la limite lim x→x0 x?D f(x)-f(x0) x-x0existe.

On l'appelle

dérivéeet on la notera par f ?(x0),d dxf(x)˛˛˛˛ x=x0oudfdx(x0). En invoquant la caractérisation de la limite par les suites,on a comme dans le cas de la continuité.

Théorème

•Soit f:D→Rune fonction et x0?D∩D?unpoint d'accumulation. ?f dérivable en x0?f continue en x0. M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 12 / 119 DérivéesFonctions différentiables ou dérivables

Théorème

•Soit f:D→Rune fonction et x0?D∩D?unpoint d'accumulation. ?f dérivable en x0?f continue en x0.

Démonstration.

Pour toutx?D,x?=x0,

f(x)-f(x0) =f(x)-f(x0) x-x0(x-x0)

»f(x)-f(x0)

x-x0-f?(x0)- (x-x0) +f?(x0)(x-x0) +|f?(x0)|" |x-x0|. ?x?D,0<|x-x0|< δ,»f(x)-f(x0)x-x0-f?(x0)- |f(x)-f(x0)|<`ε+|f?(x0)|´δ< ε etfest continue enx0. M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 13 / 119 Plan

1Fonctions différentiables ou dérivables

2Opérations sur les fonctions dérivables

3Extrema d'une fonction - la règle de Fermat

4Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy

5Règle de l'Hôpital

6Formule de Taylor

7Extrema d'une fonction

8Méthode de Newton

9Références

M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 14 / 119 DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables

On retrouve les 4 opérations de base.

Théorème

•Soit f,g:D→Rdeux fonctionsdérivablesen unpoint d'accumulationx0?D∩D?. (i)f+g est dérivable en x0et(f+g)?(x0) =f?(x0) +g?(x0). (ii)f g est dérivable en x0et(f g)?(x0) =f?(x0)g(x0) +f(x0)g?(x0). (iii)Si, pour tout x?D, g(x)?=0, f/g est dérivable en x0et "f g" (x0) =f?(x0)g(x0)-f(x0)g?(x0)g(x0)2

Théorème

•f:Df→Ret g:Dg→Rtel quef(Df)?Dg.

•f dérivableenx0et gdérivableenf(x0). ?La compositiong◦f de f et g,(g◦f)(x)déf=g(f(x)) :Df→Restdérivableen x0et (g◦f)?(x0) =g?(f(x0))f?(x0). M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 15 / 119 DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables

Théorème

•Soit f,g:D→Rdeux fonctionsdérivablesen unpoint d'accumulationx0?D∩D?. (i)f+g est dérivable en x0et(f+g)?(x0) =f?(x0) +g?(x0). (ii)f g est dérivable en x0et(f g)?(x0) =f?(x0)g(x0) +f(x0)g?(x0). (iii)Si, pour tout x?D, g(x)?=0, f/g est dérivable en x0et "f g" (x0) =f?(x0)g(x0)-f(x0)g?(x0)g(x0)2

Démonstration.

On passe par les suites.(i)est évident. On démontre(ii)et on laisse(iii)comme exercice. M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 16 / 119 DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables

Théorème

•Soit f,g:D→Rdeux fonctionsdérivablesen unpoint d'accumulationx0?D∩D?. (ii)f g est dérivable en x0et(f g)?(x0) =f?(x0)g(x0) +f(x0)g?(x0).

Démonstration.

(ii)On passe par les suites :fest dérivable au pointx0si et seulement si ?L?R,?{xn} ?Dtel quexn?=x0etxn→x0,limn→∞f(xn)-f(x0) xn-x0=L.

On a le quotient différentiel

(f g)(xn)-(f g)(x0) xn-x0=f(xn)g(xn)-f(x0)g(x0)xn-x0 =f(xn)g(xn)-g(x0) xn-x0+g(x0)f(xn)-f(x0)xn-x0 Par dérivabilité, les quotients différentiels convergentversf?(x0)etg?(x0)et, par continuité,f(xn)→f(x0). M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 17 / 119 DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables

Exemple

On a vu que pourf(x) =x,f?(x) =1. Par application directe de la partie(ii)du théorème x

2=f(x)f(x),?d

dxx2=f?(x)f(x) +f(x)f?(x) =2x.

Par induction, on suppose que

d dxxn=nxn-1 d'où x n+1=x xn?d dxxn+1=1xn+xddxxn=xn+x nxn-1= (n+1)xn.

?Toujours en utilisant les règles d'opération sur les fonctions dérivables, la dérivée

d'un polynôme d'ordren p(x)déf=anxn+···+a1x+a0,p?(x) =nanxn-1+···+a1. ?On peut, bien sûr, continuer à dériver... M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 18 / 119 DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables

Exemple

On a vu que pourf(x) =x,f?(x) =1. Par application directe de la partie(ii)du théorème x

2=f(x)f(x),?d

dxx2=f?(x)f(x) +f(x)f?(x) =2x.

Par induction, on suppose que

d dxxn=nxn-1 d'où x n+1=x xn?d dxxn+1=1xn+xddxxn=xn+x nxn-1= (n+1)xn.

?Toujours en utilisant les règles d'opération sur les fonctions dérivables, la dérivée

d'un polynôme d'ordren p(x)déf=anxn+···+a1x+a0,p?(x) =nanxn-1+···+a1. ?On peut, bien sûr, continuer à dériver... M. Delfour (Université de Montréal)Chapitre 5. Dérivation11 novembre 2009 18 / 119 DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables

Exemple (polynômes)

Toujours en utilisant les règles d'opérations sur les fonctions dérivables, la dérivée d'un

polynôme d'ordren p(x)déf=anxn+···+a1x+a0, p?(x) =nanxn-1+···+a1. ?On peut, bien sûr, continuer à dériver... p (2)(x)déf=d dx"quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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