[PDF] Chapitre IV : Propagation dondes sonores dans les fluides 1. Le son

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Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes"1

Ondes sonores dans les

uides Chapitre IV : Propagation d'ondes sonores dans lesuides

Objectifs :

Mise en équation de la propagation d'ondes sonores dans lesuides.

Aspect énergétique.

1. Le son

Nous rappelons ici les principales propriétés du son dans lesuides. Les ondes sonores : ne se propagent que dans des milieux matériels (pas dans le vide) ;

sont de petites vibrations de ce milieu qui se propagent grâce au couplage entre ledéplacementet lasurpressionau

sein duuide ;

sinusoïdales (fonction du temps de periodeT) possèdent une période spatiale(longueur d'onde) liée àTpar une

relation compatible avec l'équation de d'Alembert :=cToucest la célérité de l'onde dans le milieu (par exemple

c340m.s 1 dans l'air).

2. Equation de propagation

2.1. Position du problème

2.1.1. Cas général

Le référentiel d'étude est supposé galiléen.

Nous supposons que leuide est toujours en équilibre thermodynamique local. Nous pouvons alors dé,nir localement sa

températureT(r,t). Aurepos, l'état duuide est caractérisé par sa masse volumique 0 , sa pressionP 0 et sa vitessev 0 nulle.

Une onde acoustique correspond à la propagation d'une perturbation de cet état. L'état duuide est alors décritlocalement,

au pointr, à l'instantt, par la masse volumique(r,t), la pressionP(r,t)et la vitessev(r,t)(nous nous plaçons en

descriptioneulériennepour décrire leuide).

Pour cette étude nous disposons de :

l'équation de conservation de la masse ; l'équation du mouvement ; le bilan énergétique (application du1 er principe de la thermodynamique) ; l'équation d'état duuide.

La résolution exacte du système précédent à six inconnues (masse volumique(r,t), pressionP(r,t), températureT(r,t)et

vitessev(r,t))estdi0cile et nous e1ectuons quelques hypothèses simpli,catrices.

2.1.2. Hypothèse thermodynamique simpli catrice

Dans la pratique, la propagation des ondes sonores dans unuide estfaiblement amortie. Nous pouvons alors négliger les

phénomènes dissipatifs : conduction thermique et viscosité. Dans la suite nous supposerons donc l'écoulementisentropique

Grâce à cette hypothèse nous pouvons exprimer la masse volumique duuide en fonction de sa pression et ainsi "oublier"

les deux dernières équations du paragraphe 2.1.1. .

La propagation d'ondes ne modi,e que faiblement les paramètres du milieu : les variations relatives de masse volumique et

de pression sont faibles.

Nous posons :

0 =variation de la masse volumique duuide ; p=PP 0 =variation de pression ousurpression acoustique; S 1 V V P S =coe0cient de compressibilité isentropique. et nous avons|| 0 et|p|P 0 ,d'où S =1 V VP S =1 P S 1 0 PP 0 1 0 p

Une onde acoustique dans un

uide est une propagation de petits mouvements isentropiquespour lesquels la surpression acoustiquep=PP 0 et la variation de la masse volumique du uide= 0 sont faibles et liées par la relation : 0 S p Physique des ondes. Chapitre IV : Propagation d'ondes sonores dans lesuides2

2.1.3. Approximation acoustique : linéarisation des équations

Comme nous l'avons déjà mentionné précédement (§ 2.1.2.) l'onde acoustique ne modi,e que faiblement l'état duuide.

Comme nous l'avons fait pour la relation=

0 S pnous utilisons cette hypothèse pour linéariser les équations ; cette approximation est appeléeapproximation acoustique.

Equation de conservation de la masse

L'équation de conservation de la masse s'écrit t+divj=0avecj=v 0 t+div(( 0 +)v)=0 t+( 0 +)divv+grad( 0 .v=0 t+ 0 divv+divv+grad().v=0 t+ 0 divv=0 - car 0 0 div(v)+divv 0 divv t+ 0 divv+grad().v=0 - et nous pouvons également négligergrad().vdevant t : nous allons le véri,er dans le cas d'une onde sonore monochromatique de périodeTet de longueur d'onde=cT: avec les hypothèses précédentes t T etgrad().v v= Tvc ;sivcalorsgrad().v t

Equation du mouvement

La viscosité duuide est négligée, l'équation du mouvement est donc l'équation d'Euler :

v t+\b v.grad v =gradP+f V la force volumique statiquef V (f V =gpar exemple) est compensée par le gradient de pression statiqueP 0 gradP 0 +f V =0. L'équation d'Euler s'écrit alors v t +\b v.grad v =gradpsoit au premier ordre : 0 v t=gradp

Dans l'approximation linéaire (

0 etvc), l'évolution d'un uide parcouru par des ondes sonores est caractérisée par les équations suivantes : t 0 divv=0 (I): équation de conservation de la masse, 0vt =gradp(II): équation du mouvement (équation d'Euler), 0 S p(III): caractère isentropique des transformations.

2.2. Equations couplées

Avec l'équation(III)nous pouvons éliminerde l'équation(I): t+ 0 divv=0( 0 S p) t+ 0 divv=0p t=1 S divv

La propagation d'ondes sonores dans un

uide est possible grâce au couplage entre la vitessevet la

surpression acoustiquepqui se traduit par le système d'équations di/érentielles couplées :

p t 1 S divv(IV) v t 1 \b 0 gradp(V) Physique des ondes. Chapitre IV : Propagation d'ondes sonores dans lesuides3

2.3. Ecoulement potentiel

Le rotationnel appliqué à l'équation(V)donne : v t=1 0 gradprotv t =rot 1 0 gradp \brotv t=1 0 rotgradp=0 rotv=cste

Le rotationnel devest ainsi indépendant du temps et donc égal à sa valeur moyenne, elle même supposée nulle car le

mouvement est vibratoire : rotv=rotv t =rot[\bv t ]=0 (r,t)tel quev=grad

L'équation du mouvement(V)s'écrit alors :

v t=1 0 gradpgrad t=1 0 gradpgrad t =grad 1 0 p t=1 0 p+f(t)

le potentiel des vitesses est dé,ni à une fonction du temps près (choix de jauge), nous pouvons donc le choisir de façon à

avoirf=0.

Pour une onde acoustique l'écoulement du

uide est irrotationnel: il existe un potentiel des vitesses (r,t)tel quev=grad. La surpression est alors : p= 0 t

2.4. Equation de d'Alembert

(IV)p t=1 S divv=1 S divgrad=1 S d'après le paragraphe précédent : p= 0 tpt= 0 2 t 2 en éliminant p t nous obtenons : 0 2 t 2 =1 S 2 t 2 1 0 S =0

Par application du gradient nous obtenons :

2 t 2 1 0 S =0grad 2 t 2 1 0 S grad =0 2 \bgrad t 2 1 0 S graddivgrad=0 2 v t 2 1 0 S graddivv=0 2 v t 2 1 0 S \b v+rotrotv =0 2 v t 2 1 0 S v=0 Par application de la dérivée partielle par raport au temps nous obtenons : 2 t 2 1 0 S =0 2 \b t t 2 1 0 S t =0 2 \b p \b 0 t 2 1 0 S p 0 =0 2 p t 2 1 0 S p=0 Physique des ondes. Chapitre IV : Propagation d'ondes sonores dans lesuides4

La propagation des ondes acoustiques dans un

uide est régie par l'équation tridimensionelle de d'Alembert, véri ée par le potentiel des vitesses, par le champ des vitessesvet par celui des surpressionsp: 1 c 2 2 t 2 =0; v 1 c 2 2 v t 2 =0; p 1 c 2 2 p t 2 =0 oùc, la vitesse de propagation du son, est donnée par : c= 1 \b 0 S \b P S

2.4. Equation de d'Alembert - Méthode rapide

Il est possible de retrouver les équations de propagation plus rapidement sans utiliser le potentiel des vitesses ; d'après le

paragraphe 2.2. : v t=1 0 gradpetp t=1 S divv divv t =1 0 div\bgradp etgradp t =1 S grad(divv) (divv) t=1 0 pet\bgradp t=1 S grad(divv)=1 S vcarrotrotv=0 en e1et, en procédant comme au paragraphe 2.3. : v t=1 0 gradprotv t =rot 1 0 gradp \brotv t=1 0 rotgradp=0 rotv=cste

0=rotrotv=grad(divv)

vsoitgrad(divv)= v nous obtenons alors : (divv) t=\b Sp t t=1 0 pet\bgradp t= 0vt t=1 S v 2 p t 2 1 0 S p=0et 2 v t 2 1 0 S v=0

Remarque : cette méthode permet de retrouver les équations de propagation mais il nous manque le lien(p,v):v=grad

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