[PDF] Chapitre 3.1c – La nature ondulatoire de la lumière : interférence en

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Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 1

Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Chapitre 3.1c - La nature ondulatoire de la lumière : interférence en deux dimensions

L'interférence

L'interférence est la superposition de deux ondes de même longueur d'onde. Lorsque la superposition s'additionne complètement, on dit que l'interférence est constructive. Lorsque la superposition se soustrait complètement, on dit que l'interférence est destructive. L'interférence peut être également partiellement constructive et partiellement destructive. Cela se produit à tout coup si les deux ondes n'ont pas la même amplitude. Le type d'interférence dépendra de la différence de phase φΔ entre les deux ondes lors de leur superposition. Interférence en deux dimensions à deux sources à différentes positions pour quatre longueurs d'onde. Le critère de l'interférence constructive et destructive Soit deux émetteurs E1 et E2 de même fréquence f tel que fπω2= et ck/ω= ayant la même phase φ émettent un signal ayant pour but d'être mesuré en un point

P de l'espace (représentation en 2D) :

()φω+-=tkzAE11sin ()φω+-=tkzAE22sin avec ()()2 1p2

1p1yyxxz-+-=

()()2 2p2

2p2yyxxz-+-=

P z1 z2 (x1, y1) (x

2, y2) (x

p, yp)

À un

temps t

En exploitant l'identité trigonométrique

+=+2cos2sin2sinsinBABABA, on constante que le signal E mesuré au point P sera égal à l'équation suivante :

21EEE+= ⇒ ()()φωφω+-++-=tkzAtkzAE21sinsin

+-++-=2cos2sin2 +-+=2cos222sin2

2121zzktzzkAEφω

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 2 Note de cours rédigée par : Simon Vézina On constante ainsi que Bien que la valeur de ()tzzEE,,21= est une fonction du temps t, mais aussi de la position ()PP,yx du point P. En analysant la structure mathématique de ()tzzE,,21, nous constatons que le terme

222sin

21φωtzzk

(terme qui dépend de la position du point P et du temps) dépendra du temps et de la position du point P, mais que le terme 2cos 21zzk
(terme qui ne dépend que de la position du point P)

ne dépendra que du point P. Ainsi, nous pouvons analyser la superposition 2 scénarios particuliers où il

y aura interférence constructive et destructive des deux ondes

1E et 2E :

Interférence constructive (λδm=)

()12cos21±= -zzk ⇒ (){ }...,,0,...2

21π=-zzk

⇒ ()πmzzk=-2

21 (Zmε)

⇒ ()πmzzk221=- ⇒ ( )πλπmzz2221=- (λπ/2=k) ⇒ λδm= (21zz-=δ)

P interférence

constructive

Interférence destructive (λδ

+=21m) ()02cos21= -zzk ⇒ () 2 12 2

21π+=-mzzk (Zmε)

⇒ ()()π1221+=-mzzk ⇒ ( ) ( )πλπ12221+=-mzz (λπ/2=k) +=21m (21zz-=δ)

δ = λ/2

P interférence destructive où δ : Différence de marche des deux ondes au point P (m) m : Multiple entier de longueur d'onde λ : Longueur d'onde produite par les des sources dans le milieu (m) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 3

Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Interprétation d'un schéma d'interférence en deux dimensions

En deux dimensions, on représente un front d'onde par une ligne de couleur (blanche) et la crête de

l'onde y est associée. Le creux de l'onde est situé entre deux fronts d'onde consécutive.

Source d'onde progressive

à deux dimensions :

Patron d'interférence de deux sources d'onde progressive

à deux dimensions :

Lorsqu'il y a superposition d'onde, l'addition peut donner : (point rouge : source d'onde) Deux crêtes superposées ⇒ blanc + blanc = très blanc ⇒ interférence constructive • Deux creux superposées ⇒ noir + noir = très noir ⇒ interférence constructive Crête et creux superposées ⇒ blanc + noir = gris ⇒ interférence destructive • Autre ⇒ interférence partielle

Ligne verte : ligne constructive

Ligne jaune : ligne destructive

Différence de marche

Lorsqu'on effectue la superposition de deux ondes en phase à un endroit quelconque P de l'espace, les

deux ondes n'ont pas parcourues la même distance r. Elles seront donc décalées spatialement par une

différence de marche

12rr-=δ

où

δ : Différence de marche des deux ondes au

point P (m)

1r : Distance entre la source #1 et le point P (m)

2r : Distance entre la source #2 et le point P (m)

Dans ce calcul, δ représente un retard spatial de la source #2 par rapport à la source #1, car nous

effectuons le calcul

12rr-. On peut également faire le calcul 12rr-=δ.

Si 0>δ, alors la source #2 est en retard. Si 0<δ, alors la source #2 est en avance.

δ = r2 - r1

P r2 r1 #1 #2 Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 4

Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Situation 2 : Interférence constructive. Dans le plan xy, deux sources qui émettent des ondes radio en phase sont placées sur l'axe y à 1 m de part et d'autre de l'origine (schéma ci-contre). En ajustant l'oscillateur qui alimente les sources, on peut faire varier la longueur d'onde entre

25 cm et 50 cm. Considérons le point P situé en (x = 5 m; y = 0) et le

point Q situé en (x = 5 m, y = 3 m). On désire déterminer pour quelle(s) longueur(s) d'onde il y a interférence constructive aux points P et Q. Q x (m) y (m) r1 r2 5 3 1 -1

Puisque les distances r1 et r2 sont identiques pour les deux sources au point P, il y aura interférence

constructive pour n'importe quelle longueur d'onde. Ainsi : acceptéesvaleurstoutes =λ (Interférence constructive à P)

Évaluons les distances r

1 et r2 pour les deux sources au point Q :

292522

1=+=r ⇒ m385,51=r

414522

2=+=r ⇒ m403,62=r

À l'aide de la différence de marche et de la définition de l'interférence constructive, évaluons les

longueurs d'onde acceptables : λδm= ⇒ λmrr=-12 (Différence de marche, 12rr-=δ) ⇒ ()()λm=-385,5403,6 (Remplacer valeurs num.) ⇒ 018,1=λm (Simplification numérique) ⇒ m

018,1=λ (Interférence constructive à Q)

Pour avoir une interférence constructive au point Q, il faut satisfaire l'équation précédente. Pour différentes valeurs m, nous pouvons associer une longueur d'onde : 1 =m : 1

018,1=λ ⇒ m018,1=λ " exclue »

2 =m : 2

018,1=λ ⇒ m509,0=λ " exclue »

3 =m : 3 4 =m : 4 Puisque l'interférence constructive se produit pour n'importe quelle longueur d'onde au point

P, les

longueurs d'onde qui sont des solutions de notre problème sont les suivantes : {}m339,0,m254,0=λ Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 5

Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Différence de marche avec des sources asynchrones Lorsqu'il faut évaluer la différence de marche à un point

P de deux sources identiques non

synchronisées, l'équation de la différence de marche δ précédente n'est plus valide. Par contre, nous pouvons apporter une correction mineure.

Si les deux sources ne sont pas synchronisées, c'est qu'une source a commencé à émettre des ondes

avant l'autre. Puisque le calcul

12rrs-=δ représente un retard spatial de la source #2 par rapport à la

source #1, le retard total δ sera influencé également si la source #2 a émis avant ou après la source #1. Il y aura une différence de marche supplémentaire associée à la désynchronisation : tsδδδ±= et 12rrs-=δ, tvtΔ=δ

Source #2 en

retard temporellement sur la source #1 tsδδδ+= Source #2 en avance temporellement sur la source #1 tsδδδ-= δs P r2 r1 #1 #2 tδ : Onde rouge en avance : Onde bleu en retard P r2 r1 #1 #2 δs tδ : Onde rouge en retard : Onde bleu en avance où δ : Différence de marche totale des deux sources au point P (m) sδ : Différence de marche spatiale des deux ondes au point P (m) tδ : Différence de marche temporelle au point P (m)

1r : Distance entre la source #1 et le point P (m)

2r : Distance entre la source #2 et le point P (m)

v : Vitesse de propagation de l'onde (m/s) tΔ : Durée de la désynchronisation (s) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 6

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Différence de marche avec déphasage intrinsèque Lorsque deux sources de même longueur d'onde ne sont pas identiques, la forme du sinus de l'onde émise par la première source peut être différente de la forme du sinus de l'onde émise par la deuxième source. Par exemple, une source peut émettre un sinus et l'autre source peut émettre un cosinus. Ces deux ondes sont quand même identiques à un déphasage près de 2/

πradian.

Nous pouvons utiliser la règle suivante afin de convertir un déphasage intrinsèque angulaire (en radians) en une différence de marche intrinsèque (en mètres) : r2 #2 02≠φ r1 01=φ #1

0À=t

P À t = 0, les deux oscillateurs ne sont pas en phase ce qui génère une différence de phase intrinsèque.

λπφδ2

Δ=i

où φΔ : Déphasage intrinsèque angulaire (rad) 12φφφ-=Δ

π2 : Cycle complet angulaire (rad)

iδ : Différence de marche intrinsèque (m)

λ : Cycle complet spatial (m)

L'équation générale de la différence de marche De façon générale, nous pouvons définir la différence de marche totale

δ grâce à :

Différence de marche spatiale Différence de marche temporelle Différence de marche intrinsèque

12rrs-=δ tvtΔ=δ λπφδ2

Δ=i

La différence de marche totale sera la somme de ces trois influences. Cependant, il faut faire attention au signe

de la différence de marche temporelle et de la différence de marche intrinsèque afin de bien

évaluer si ces deux dernières influences avancent ou reculent l'onde de la source #2 par rapport à l'onde

de la source #1 : itsδδδδ±±=

Application de l'interférence :

Casque écouteur antibruit (reproduction du bruit ambiant déphasé par π)

Palme rotative d'un hélicoptère de combat Apache (réduction du bruit de l'appareil par interférence).

Antenne pour téléphonie cellulaire (réduction de l'émission dans le ciel par interférence).

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 7

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Situation 4 : Interférence avec sources déphasées. On modifie le montage de la situation 1 afin de retarder la source du haut (la source 1, situé en y = +1 m) de 2/π rad par rapport à la source du bas. On désire déterminer pour quelles valeurs de λ on a de l'interférence constructive au point Q. Q x (m) y (m) r1 r2 5 3 1 -1 Évaluons la différence de marche spatiale au point

Q : ( m385,51=ret m403,62=r)

12rrs-=δ ⇒ ()()385,5403,6-=sδ ⇒ m018,1=sδ

Évaluons la différence de marche temporelle. Puisque quelle est présentement exprimée en radians,

effectuons la conversion en mètres :

λπφδ2

t t= ⇒ ()λππδ2 2/= t ⇒ 4/λδ=t Évaluons notre différence de marche totale. Puisque la source

1 est en retard, c'est équivalent de dire

que la source

2 est en avance :

itsδδδδ±±= ⇒ tsδδδ-= ( 0=iδ, tδ- car #2 en avance) ⇒ 4/018,1λδ-= (Remplacer valeurs numériques)

Évaluons les longueurs d'onde

λ admissibles pour une interférence constructive :

λδm= ⇒ λλm=

-4018,1 (Remplacer valeurs num.) +=41018,1m (Ajouter 4/

λ des deux côtés et factoriser λ)

41018,1

m

λ (Isoler λ)

Nous avons les valeurs admissibles suivantes entre 25 cm et 50 cm pour m = 3 et m = 2: {}m452,0,m313,0=λ Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 8

Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Situation A : Recherche d'un site où il y

a interférence destructive. Considérons deux sources ondulatoires #1 et #2 alignées selon un axe y et séparées par une distance d. On place à une distance x des deux sources un écran plan aligné parallèlement à l'alignement des deux sources tel qu'illustré sur le schéma ci- contre. P d r1 r2 y x axe central #1 #2 y = 0

On désire (a) déterminer une expression mathématique permettant d'évaluer la différence de marche δ

entre la source #1 et #2 pour une point y situé sur l'écran où y = 0 correspond à δ = 0, (b) déterminer

une expression mathématique associée à une coordonnée y où il y aura interférence destructive pour une

onde longueur d'onde λ et (c) isoler y dans l'expression trouvée en (b). À l'aide du théorème de Pythagore, nous pouvons établir que ( )22

12/dyxr-+= et ( )22

22/dyxr++=

ce qui nous donne la différence de marche 12rr-=δ correspond à l'expression ( )( )22222/2/dyxdyx-+-++=δ . (a)

Pour obtenir un site y où il y a interférence destructive pour la longueur d'onde λ, il faudra satisfaire

l'équation +=21m .

En remplaçant la différence de marche

δ, nous obtenons

+=-+-++212/2/2222mdyxdyx . (b)

Malheureusement, les multiples solutions pour y qui dépendent de Nm? ne peuvent pas être obtenues

facilement car l'équation en (b) ne permet pas d'isoler y.quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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