[PDF] –Texte– Agrégation limitée par diffusion interne

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es Rennes I {Epreuve de modelisation - Agregation Externe de Mathematiques {2008-2009.Page n1.{Texte{

Agregation limitee par diusion interne1 Le phenomene observe Un f^ut de dechets radioactifs est enterre secretement dans le Cantal. Au bout de quelques annees, il devient poreux et laisse echapper son contenu. Pour eviter une conta- mination excessive, on a dispose des pieges a particules qui capturent la premiere particule qui passe dessus mais deviennent ensuite inertes (une nouvelle particule passe dessus sans ^etre arr^etee). On suppose que le milieu est isotrope : une particule radioactive se deplace de la m^eme maniere dans toutes les directions. Cette particule continuera a se deplacer tant qu'elle passe sur des pieges qui ont deja ete actives et est capturee par le premier piege libre qu'elle rencontre. On souhaite conna^tre la forme typique des zones qui seront contaminees par cette fuite. Pour modeliser l'evolution de la region polluee, on introduit le modele de croissance suivant. On assimile l'espace aZdoudvaut 1, 2 ou 3 selon le nombre de dimensions que l'on souhaite prendre en compte. Deux elementsxetydeZdsont dits voisins, et nous noteronsxy, si jxyj1=jx1y1j++jxdydj= 1: On suppose le f^ut place a l'origine, que l'on note 0. Sur chaque point du reseau est dispose un piege. NotonsA0le singletonf0g. Quel sera le premier piege active? Il s'agit de l'un des 2demplacements voisins de l'origine. On modelise donc la trajectoire d'une particule radioactive sortant du f^ut par une marche aleatoire simple symetrique surZdissue de 0 et arr^etee lorsqu'elle sort deA0. On noteA1l'ensemble aleatoire compose de 0 et du point ou la particule est sortie. Il est evident que, pour toutxvoisin de 0,A1est egal af0;xgavec probabilite 1=2d. On itere ensuite le procede.Etant donne un ensembleAnZd, on considere une marche aleatoire symetrique (Sk)k>0issue de 0 arr^etee lorsqu'elle sort deAn. On denit alorsAn+1comme l'ensemble des elements deAnet du point ou est sortie la marcheS. On obtient ainsi une suite (An)n>0d'ensembles aleatoires. La proposition suivante regroupe quelques proprietes evidentes de cette suite. Proposition 1.1.La suite(An)n>0est croissante au sens de l'inclusion. Le cardinal de A nvaut exactementn+1. Pour toutn2N, soitxetydeux elements deAn, alors il existe x

0;:::;xmelements deAntels quex0=x,xm=yetxixi+1pouri= 0;:::;m1.

On pourrait dire que l'ensembleAnestconnexe par arcdansZd.

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es Rennes I {Epreuve de modelisation - Agregation Externe de Mathematiques {2008-2009.Page n2. On souhaite a present etudier le comportement asymptotique de la suite (An)n. On etudie en detail le cas de la dimension 1. Un resultat en dimension 2 est donne a la n du texte.

2 Le modele unidimensionnel

On suppose que la propagation se fait selon un axe horizontal. On se place donc dans le cas oud= 1. L'ensemble initialA0est le singletonf0gpuisA1est egal af0;1gavec probabilite 1=2 etf1;0gavec probabilite 1=2 etc. NotonsGn= minAnetDn= maxAn. L'ensembleAnest de la formeAn=fGn;Gn+ 1;:::;Dn1;Dng. Puisque le cardinal deAnestn+ 1, on aDnGn=n. Ainsi,Anest caracterise parXn=Dn+Gnet, en particulier, D n=Xn+n2 etGn=Xnn2 Les accroissements (Xn+1Xn)n>0ne peuvent prendre que les valeurs1 ou 1. Plus precisement,Xn+1=Xn1 si la marche issue de 0 atteintGn1 avantDn+ 1, et X n+1=Xn+1 si la marche issue de 0 atteintDn+1 avantGn1. On peut obtenir la loi de cette suite de variables aleatoires en s'appuyant sur un resultat tres classique rappele ici. Proposition 2.1.SoitSune marche aleatoire simple surZissue de 0 et soitaetbdeux entiers distincts, le premier negatif, le second positif. On noteTi= inffn>0; Sn=ig pouri=a;betT=Ta^Tb. Alors,TaetTbsont nis presque s^urement,Test integrable et

P(T=Ta) = 1P(T=Tb) =bbaetE(T) =ab:

Demonstration.C'est le probleme classique de la ruine du joueur.La proposition ci-dessous montre que la suite (Xn)n>0est une cha^ne de Markov in-

homogene surN, c'est-a-dire une cha^ne de Markov dont la matrice de transition depend du temps. Proposition 2.2.La suite(Xn)n>0est une cha^ne de Markov inhomogene surNissue de 0 dont les transitions sont decrites par les relations suivantes : pouri6n, P(Xn+1=i1jXn=i) =n+ 2 +i2(n+ 2)etP(Xn+1=i+ 1jXn=i) =n+ 2i2(n+ 2): Demonstration.SiXn=ialorsDn= (i+n)=2 etGn= (in)=2. La probabilite P(Xn+1=i1jXn=i) est donc egale a la probabilite que la marche aleatoire simple issue de 0 atteigne (in)=21 avant (i+n)=2 + 1.4 mai 2009. Copyright c

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es Rennes I {Epreuve de modelisation - Agregation Externe de Mathematiques {2008-2009.Page n3. Remarque2.3.LorsqueXnest strictement positif,Xn+1Xna une probabilite plus forte de valoir -1 que de valoir +1. La tendance s'inverse lorsqueXnest strictement negatif. On peut donc penser que le processus aura davantage tendance a revenir en 0 qu'une marche aleatoire simple symetrique (dont l'accroissement vaut plus ou moins 1 avec probabilite 1=2).

3 La convergence presque s^ure

On etablit ici le premier resultat (relativement intuitif) de convergence en temps long pour le processusX.

Proposition 3.1.X

nn p:s:!n!10: L'idee de la preuve est de rendre rigoureuse l'intuition de la remarque 2 .3 en co mparant (de maniere deterministe) une trajectoire deXet une trajectoire de la marche aleatoire simple. La proposition 3. 1 est u nco rollairei mmediatd ut heoremesu ivant.

Theoreme 3.2.Le processus(jXnj)n>0est une cha^ne de Markov inhomogene et(jXnj=n)nconverge vers 0 presque s^urement.

Demonstration.En discutant les valeurs deXn, on a facilement quejXn+1j= 1 sijXnj= 0 et, que, sijXnj>0, jXn+1j=8 >:jXnj 1 avec probabilite12 +jXnj2(n+ 2); jXnj+ 1 avec probabilite12 jXnj2(n+ 2): On va construire a present deux processus (Yn)n>0et (Zn)n>0dont les lois respectives sont celles de (jXnj)net celle de la valeur absolue d'une marche aleatoire simple issue de

0 tels que, presque s^urement, pour toutn2N, 06Yn6Zn. C'est ce que l'on appelle le

couplage. Pour cela, on se donne une suite (Un)n>0de variables aleatoires independantes et identiquement distribuees de loi uniforme sur [0;1] et on pose :Y0=Z0= 0 et pour n>0, Y n+1=( Y n+ 21fUn<(n+s+Yn)=2(n+s)g1 siYn>0;

1 siYn= 0;

et Z n+1=( Z n+ 21fUn<1=2g1 siZn>0;

1 siZn= 0:

Il est clair que les deux processus ci-dessus ont bien les lois annoncees et queY06Z0. De plus, si 0< Yn6Znalors, par construction,Yn+16Zn+1. Enn, si 0 =Yn6Znalors,

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es Rennes I {Epreuve de modelisation - Agregation Externe de Mathematiques {2008-2009.Page n4. Z npeut ^etre nul et dans ce cas,Yn+16Zn+1ouZn>2 carZnetYnont m^eme parite. Ceci assure le resultat. Enn, (Zn=n)nconverge presque s^urement vers 0 en vertu de la loi forte des grands nombres.4 La convergence en loi

On s'interesse a present aux

uctuations deXn=nautour de sa limite. L'objet de cette section est de donner des elements de preuve du resultat suivant.

Proposition 4.1.X

npn

L!n!1N(0;1=3):

Remarque4.2.La vitesse de convergence en loi est la m^eme que pour la marche aleatoire simple et la loi limite est encore gaussienne. Pourtant sa variance est plus petite que dans le cas identiquement distribue. Cela provient de la tendance auto-stabilisatrice de cha^ne X. Avant d'attaquer toute preuve de ce resultat, on peut se poser la question du com- portement des premiers moments deXn=nquandntend vers l'inni. On remarque tout d'abord queXnest centree. En fait, tous les moments impairs deXnsont centres. Que se passe-t-il pour le moment d'ordre 2? Pourn>0, on a E

X2n+1jFn=n+sXn2(n+s)(Xn+ 1)2+n+s+Xn2(n+s)(Xn1)2

12 (Xn+ 1)2+ (Xn1)2Xn2(n+s)(Xn+ 1)2(Xn1)2 = 1 + n+s2n+sX2n: Notonsxn(2) =E(X2n). En prenant l'esperance dans la relation ci-dessus, on obtient la relation suivante : x n+1(2) = 1 +n+s2n+sxn(2):

Une simple recurrence permet d'ecrire

x n(2) = 1 +1(n+s)(n+s1)n1X k=1(k+s)(k+s1) +s(s1)(n+s)(n+s1)x0(2) et de conclure que (xn(2)=n)n>0converge vers 1=3. On pourrait de m^eme montrer que , pour toutk>0, la suite (xn(2k)=nk)n>1admet une limite(2k) quandntend vers l'inni et que la suite ((2k))k2Nest solution de (0) = 1 et(2k+ 2) =2k+ 13 (2k):(1)

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es Rennes I {Epreuve de modelisation - Agregation Externe de Mathematiques {2008-2009.Page n5. Proposition 4.3.La seule mesure dont les moments impairs sont nuls et les moments pairs verient(1)est la loiN(0;1=3). Un peu plus de travail (et un contr^ole plus n) permettrait de deduire de cette conver- gence des moments deXn=pnla convergence en loi une mesure gaussienne centree de variance 1=3. Un autre moyen d'etablir la convergence annonce est d'utiliser un raisonnement base sur le theoreme limite central pour des martingales de carre integrable. Proposition 4.4.Le processus(Mn)n>0deni parMn= (n+ 1)Xnest une martingale de carre integrable qui verie E (Mn+1Mn)2jFn= (n+ 2)2X2n:

On associe aMle processus (< M >n)ndeni par

< M >

0= 0 et< M >n+1=< M >n+E(Mn+1Mn)2jFn:

Proposition 4.5.Le processus< M >possede les proprietes suivantes : il est cr oissant, il est pr evisible: < M >nestFn1mesurable, {(M2n< M >n)nest une martingale, il v erie< M > nn

3p:s:!n!113

Demonstration.Les trois premiers points sont evidents. Pour le troisieme, on remarque que < M > n=n33 n1X k=0X

2k+o(n3):

De plus

1n 3n1X k=1X 2k61n n1X k=1X 2kk 2: PuisqueXn=nconverge vers 0 presque s^urement, le lemme de Cesaro fournit le resultat annonce.Rappelons le theoreme limite central pour les martingales de carre integrable (que l'on admettra). Theoreme 4.6.Soit(Mn)nune martingale de carre integrable et soit(an)nune suite reelle, positive, deterministe croissante vers l'inni. On poseMn:=MnMn1et on suppose que

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I lexiste >0deterministe tel quea1nnP!n!+1.

2.

P ourtout " >0,1a

nn X k=1E(M2kIfjMkj>"pa ngjFk1)P!n!+10(condition de Linde- berg).

Alors, on a

1pa nM nL!n!+1N(0;)et si >0pa nM n nL!n!+1N(0;1): Ce resultat permet d'obtenir la convergence en loi de la proposition 4 .1 . On ne cher- chera pas a demontrer que la condition de Lindeberg est satisfaite dans le modele present.

5 Le modele d'agregation limitee en dimension deux

On se place a present surZ2. Comme en dimension 1, on imagine que la forme limite de l'ensemble aleatoire doit ^etre relativement reguliere puisque la marche aleatoire issue de l'origine aura"tendance»a atteindre l'ensemble aleatoireAcnen des points qui ont beaucoup de voisins dansAn. Le theoreme suivant montre que c'est eectivement le cas : l'ensembleAnressemble a la boule euclidienne de volume comparable. Theoreme 5.1.Pour tout" >0, avec probabilite 1, il existen0tel que, pour toutn>n0, B

0;(1")rn

AnB

0;(1 +")rn

ouB(0;r)designe le disque dansR2centre en l'origine et de rayonr.

6 Suggestions

1. O np ourrap resenterl em odeleet d emontreren p articulierl ap roposition 1 .1 2.

O np ourrad emontrerl ap roposition

2. 2 3. O np ourras' interesser ad es elementsd el ap reuved el ap roposition 4 .1 . On pourra par exemple montrer la convergence du moment d'ordre 2 ou demonter la proposition 4.3 4.

O np ourrad emontrerl esp ropositions

4. 4 et 4 .5 5. O np ourrai llustrerp arl as imulationl esp ropositions 3. 1 et 4 .1 6. O np ourrai llustrerp arl asi mulationl et heoreme 5 .1 e tfa irel el iena vecl esr esultats en dimension 1.

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-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

20Fig.1 { Une realisation deA1000.

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