[PDF] Examen de biostatistiques L3 MIV

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Examen de biostatistiques

L3 MIV

M. Bailly-Bechet & H. Haned

5 juin 2009

Documents de cours et TD uniquement autorises.

Echanges interdits. Cal-

culatrices inutiles mais autorisees. Duree de l'epreuve : 2h. Cette epreuve est divisee en deux parties. Il est fortement recommande de traiter le plus completement possible une des deux parties, plut^ot que de cher- cher a repondre aux questions de maniere eparpillee. Il n'est theoriquement pas possible pour un etudiant de niveau L3 de terminer cet examen en 2h, choisissez-donc une partie et concentrez-vous dessus. Les resultats proposes peuvent ^etre employes m^eme s'ils n'ont pas ete demontres.

1 Quelques developpements sur le2et l'independance

1.1 Loi du2

1. D onnezla d enitiond'une v ariabledu 2andegres de liberte. 2. S oitXune variable aleatoire du2andegres de liberte etYune variable aleatoire du2apdegres de liberte. Ces deux variables sont independantes. Quelle loi suit la variable aleatoireX+Y? Demontrez votre reponse. 3. Ra ppelezla form ulede l'esp erancemath ematiqued'une v ariablea leatoire

Xsuivant une loi de probabiliep(X=x) =p(x).

4. D emontrezque l'esp eranced'une v.a. du 2a 1 degre de liberte vaut

1 (on rappelle la formule de l'integration par parties :Rb

au0v= [uv]b aRb auv0). 1

5.Q uep ouvez-vousen d eduiresur l'esp eranced'une v.a. du 2andegres

de liberte? Il n'est pas necessaire de demontrer ce resultat, une justi- cation sura.

1.2 Independance

Soient deux variables aleatoires discretesnon independantes,XetY. La valeur deYest dependante de celle deX; en eet on a :

X= 0p(X= 0) =12

(1)

X= 1p(X= 1) =12

(2) Y=1( p(Y=1jX= 0) =23 p(Y=1jX= 1) =13 (3) Y= 1( p(Y= 1jX= 0) =13 p(Y= 1jX= 1) =23 (4) On rappelle la formule de l'esperance d'une variable aleatoireYcondi- tionnee a une autre v.a.X:

E(Y) =X

X=xp(x) X

Y=yyp(yjx)!

(5) 1.

D emontrerque E(X) =12

etE(Y) = 0. 2. Ecrivez la table des valeurs de la v.a.X+Y, c'est a dire l'ensemble de toutes les valeurs possibles deX+Yet la probabilie associee. 3. C alculerE(X+Y).A-t-on l'egaliteE(X+Y) =E(X)+E(Y)? Celle-ci serait-elle vraie si les variablesXetYetaient independantes? 4. D ela m ^emefa con,calculer E(XY).A-t-on l'egaliteE(XY) =E(X)E(Y)? Celle-ci serait-elle vraie si les variablesXetYetaient independantes? 2

2 Fonctions de repartition et test du maxi-

mum

2.1 Statistique du maximum

On va denir une statistique, celle dite du maximum. Celle-ci consiste a regarder la valeur la plus elevee dans un echantillon, et a determiner la probabilite qu'une telle valeur soit obtenue en tirantnvariables avec une loi donnee. SoitXune v.a. continue denie pour toutes les valeursx >0, de densite de probabilitep(x). 1. Q uelleest la probabilit ed'obten ir,sur un tirage de la v.a. X, une valeur xk? 2. C ommentapp elle-t-on egalementcette quan tite?En d eduirela proba- bilite d'obtenir une valeurx > k. Ces calculs se font en fonction de p(x), inconnue pour le moment. 3. S il'on eectue main tenant2 tirages ind ependantsde la v.a. Xet que l'on ne garde que le maximum, quelle est la probabilite que les deux valeurs tireesx1etx2soient inferieures a une valeurkdonnee? En deduire que :

P(max(x1;x2)k) = (F(k))2;(6)

avecF(X) la fonction de repartition deX. 4. G eneralisezcette form uleau cas de ntirages, pour calculerP(max(xi;i= 1::n)k).

2.2 Test du maximum

A l'aide de ce qui a ete fait dans la partie precedente, on va chercher a caracteriser les proprietes d'un test, le test du maximum. Le but de ce test est de comparer la loi de probabilite suivie par la v.a.Xa une loi de referencep0(x) (on pourrait de facon identique comparer leurs fonctions de repartition). Pour cela on procede a un test unilateral. On tirenvaleurs independantes d'une variable aleatoireX, et on n'en garde que la valeur maximalexmax. On compare la valeurxmaxa la valeur maximale attendue (suivant la loi de probabilite de referencep0), avec un risque, noteez, pour tester l'hypothese : 3 H

0: X suit la loi de densitep0(7)

H

1: X ne suit pas la loi de densitep0(8)

Sixmaxz, on accepteraH0; sinon on rejetteraH0au prot deH1. L'idee intuitive derriere ce test est que si l'on conna^t la loip0a laquelle on veut comparer notre echantillon, on peut facilement calculer la probabilite qu'une valeur donnee soit le maximum d'un echantillon, et ainsi realiser le test.Par souci de simplicite, on neglige ici la possibilite quexmaxsoit trop petit par rapport a la valeur attendue et que l'on doive rejetterH0pour cela. 1.

Expliq uezp ourquoizest solution de l'equation :

(F0(z))n= 1;(9) avecF0(x) la fonction de reparition correspondant a la densite de pro- babilitep0(x). On va supposer pour la suite que la loip0est une loi exponentielle de pa- rametrea. Sa densite de probabilite estp0(Z=z) =aeaz, aveca >0. 2. Si Zsuit une loi exponentielle de parametrea, montrer que l'on a : z =1a lnn ;(10) en employant l'approximation (1)1n = 1n , approximation qui n'est valable que pourpetit. 3. Q uellesera alors la v aleurseuil du test comparan tun echantillonde

5 valeurs a la loi de probabilite exponentielle de parametrea= 2, au

risque 5%? 4. En con clusion,q uelsson t,selon v ous,les d efautsde ce test du maxi- mum? Quels en sont les avantages pratiques? 4quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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