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Mecanique Quantique III

Corriges des exercices et problemes

(extraits)

26 VI 2018

Claude ASLANGUL

A Anas, Margaux, Gaia...

et Ettore

L'aubepine en

eur fut mon premier alphabet (Rene CHAR)

Preface

Ce document est constitue de quelques extraits du tome III ou sont donnesin extensoles corriges des exercices et problemes proposes a la n de chaque chapitre de l'ouvrageMecanique Quantique, tomes I et II. Chaque probleme, dont l'enonce est reproduit dans une police dierente, est repere comme suit : le corrige21.2correspond au 2eexercice/probleme du chapitre 21, numerote

21.6.2 dans le livre de cours, puisqu'il y appara^t dans la section 21.6 ; la ligne de points

d'interrogation alternes marque la frontiere entre l'enonce et le corrige { que par facetie on pourra voir comme une cha^ne antiferromagnetique de spins ! Le rappel de l'enonce est motive par le desir de proposer un livre ferme sur lui-m^eme mais, inevitablement, il est fait reference a d'autres ouvrages, et aux deux tomes dont ce livre se veut la continuite 1; ainsi, la notation (II-19.210) renvoie a l'egalite (19.210) du tome II. Les calculs sont detailles a l'extr^eme an d'aider le lecteur dans les etapes inter- mediaires, au risque parfois d'une certaine inelegance : on trouvera des expressions qui se simplient a vue, mais dont l'ecriture, premiere et brute, permet de retrouver les dif- ferents elements y ayant conduit ; il n'est pas tres enrichissant de se bagarrer avec un facteur 2 en trop ou en moins, mais il est utile d'en saisir l'origine.

La diculte des problemes est tres variable, re

etant la progression du niveau de connaissances developpe dans les deux tomes. Certains d'entre eux sont de simples applications de cours, permettant de verier l'assimilation des points fondamentaux, en se livrant a un travail personnel peu co^uteux mais irremplacable. D'autres exigent la syn- these ou le rapprochement d'idees exposees ici et la, incitant a une re exion permettant de structurer la connaissance acquise en realisant la proximite de concepts disjoints au premier abord. Enn, certains problemes sont tires d'articles de recherche fondamentaux et/ou recents et sont, de ce fait, assez diciles. Sans surprise, leur corrige est long, et parfois laborieux, mais c'est le prix a payer pour rendre accessibles des travaux importants publies dans des revues que les etudiants sont trop peu incites a consulter. L'auteur espere ainsi avoir un peu contribue a rapprocher deux domaines de la litterature en physique, et avoir donne l'envie aux lecteurs hesitants de se familiariser avec un style de publication d'acces dicile, m^eme quand on est bien prepare par la lecture approfondie des ouvrages academiques.1 Les renvois correspondent aux editions 2016 du tome I et 2015 du tome II. viii L'un des objectifs a ete que l'ensemble de ces problemes soit d'inter^et pour un vaste public, de la troisieme annee de Licence aux deux annees de Master, voire a des doctorants. Ce spectre large aurait rendu caduque et sans inter^et toute classication de la diculte, et c'est pourquoi on y a nalement renonce. L'abord d'un probleme peut se jouer comme une petite aventure, image en reduction mais nullement reductrice, de l'audace dont Heisenberg t preuve en 1925, armant plus tard dans ses souvenirs qu'il faut parfois faire le\saut dans le vide".

Remerciements

Tout comme les deux tomes qui l'ont precede, ce recueil doit beaucoup a celles et ceux que j'ai eu la chance de c^otoyer, dans l'activite d'enseignement qu'ils ont en- richie par leur culture et leurs competences, ou dans la vie quotidienne au labora- toire par de precieuses discussions. Que l'on me permette de remercier a nouveau Alexia Aueves-Garnier, Stephane Boucard, Pierre Charles, Bertrand Delamotte, Del- phine Hardin, Thierry Hocquet,Eric-Olivier Le Bigot, Jean-Marie Maillard, Francoise Marsault, Dominique Mouhanna, Nicolas Sator, Philippe Sindzingre et Soan Teber, non seulement pour leur eclairage mais aussi pour leurs encouragements. J'ai connu le bonheur de rencontrer des etudiants exceptionnels, qui ont marque certaines de mes annees d'exercice a l'Universite Pierre et Marie Curie, et a l'ENS. Ma gratitude va tout particulierement a Fabien Beckers, Eli Ben-Ham, Gaetan Borot, Alexandre Cealis, Olivier Deloubriere, Alexandre Flavier, Isabelle Flory, Celine Laroche, Juliette Reallomble, et Julien Vidal. Qu'ils soient tous remercies pour avoir, chacun a sa facon, contribue a donner une autre dimension au devoir de transmettre un peu de savoir. Monsieur Francis Germain aura ete un collaborateur dele de tous les instants, dont la patience, la curiosite et la culture m'ont permis d'ameliorer grandement la pre- sentation de ces corriges, et de les enrichir par des remarques ou commentaires. Qu'il recoive ici l'expression de mon aectueuse et profonde reconnaissance.

Nota bene

Les deux tomes de cours ayant fait l'objet de plusieurs editions, la numerotation des gures et/ou des egalites a varie dans le temps ; la structure de l'ouvrage en chapitres, sections et sous-sections etant demeuree inchangee et le corrige de tout probleme etant ici precede du rappel de son enonce, le lecteur ne devrait pas avoir de reelle diculte pour s'y retrouver.

Table des Matieres

1 Introduction 1

1.1 Determination du rapport charge/masse de l'electron (methode de Thom-

son et Kaufmann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Determination du nombre d'AvogadroNa l'aide du mouvement brownien5

1.3 Les experiences de Kappler (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 0 1.4 Equilibre d'une atmosphere isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.5 Mesure precise de l'impulsion de particules par focalisation . . . . . . . .

12

1.6 Spectrographe de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.7 Le spectrometre de Bainbridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.8 La force d'Abraham-Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.9 Duree de vie de l'atome de Jean Perrin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2 La radioactivite 25

2.1 La radioactivite a l'h^opital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2 Loi de declin radioactif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3 Mesure du nombre d'Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4 Cha^nes radioactives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.5 Longueur de parcours d'une particuledans l'air . . . . . . . . . . . . . .31

2.6 Resolution de l'equation (I-2.15) par la transformation de Laplace . . . .

33
ix xTable des Matieres3 Les experiences de Rutherford 37

3.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2 Collision elastique de deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.3 Distance minimale d'approche pour la diusion Rutherford . . . . . . . .

41

3.4 Section ecace de diusion par un centre repulsif . . . . . . . . . . . . . .

42

3.5 Section ecace de capture par un centre attractif . . . . . . . . . . . . . .

45

3.6 Diusion par un puits spherique attractif . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.7 Passage du repere du centre de masse au repere du laboratoire pour la

diusion de deux particules en interaction centrale . . . . . . . . . . . . . 55

4 Quantication de l'energie : le rayonnement thermique 61

4.1 Temperature d'un astre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.2 Temperature du lament d'une ampoule a incandescence . . . . . . . . . .

62

4.3 Refroidissement radiatif d'une sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

4.4 Perte de masse du soleil par seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.5 Pression de radiation solaire a la surface de la Terre . . . . . . . . . . . .

65

4.6 Pression de radiation sur une surface rugueuse . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.7 Variations sur la formule de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

5 Quantication de l'energie : le photon 71

5.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.2 Eet photoelectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

5.3 Mesure precise de la constante de Planck (Millikan) . . . . . . . . . . . .

74

5.4 Histoire de photoelectron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.5 Eet photoelectrique par irradiation thermique . . . . . . . . . . . . . . .

76

5.6 Impossibilite d'absorption d'un photon par un electron libre . . . . . . . .

77

5.7 Re

exion d'un ashde lumiere sur un miroir pendulaire . . . . . . . . . .78 Table des Matieresxi5.8 Diusion Compton en phase gazeuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

5.9 Distribution angulaire des electrons Compton . . . . . . . . . . . . . . . .

80

5.10 Irradiation d'une cible par un rayonnement tres dur . . . . . . . . . . . .

82

5.11 Masse gravitationnelle du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

5.12 Eet

Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

5.13 L'eet Compton inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

6 Structure atomique, raies spectrales, theorie de Bohr 91

6.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

6.2 Transformees de Fourier usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

6.3 Theoreme du Viriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

6.4 Eet photoelectrique sur une vapeur atomique . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.5 Diusion elastique de la lumiere par l'atome classique

(modele de Thomson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.6 Largeurs Doppler et naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

6.7 Mesure de la duree de vie d'un etat excite a l'aide d'un jet atomique . . .

102
6.8 Evolution des populations d'une vapeur atomique excitee a la resonance .106

6.9 Identication d'une raie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

6.10 Eet Doppler et recul d'un atome en absorption . . . . . . . . . . . . . .

108

6.11 Series spectroscopiques de l'hydrogene selon Bohr . . . . . . . . . . . . . .

110

6.12 Separation des raies de deux isotopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

6.13 Concidences spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112
6.14 Etude energetique d'un atome hydrogenode . . . . . . . . . . . . . . . . .112

6.15 Le positronium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

6.16 Quelques proprietes du modele de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113
xiiTable des Matieres7 L'Ancienne theorie des quanta 117

7.1 Particule chargee dans un champ electromagnetique . . . . . . . . . . . .

117

7.2 Invarianceenformedel'energiecinetiquepourdescoordonneescartesiennes .

120
7.3 Equivalence entre equation dierentielle et principe variationnel . . . . . .120

7.4 Oscillateur harmonique traite en Mecanique analytique . . . . . . . . . . .

122

7.5 Oscillateur harmonique dans un champ constant et homogene . . . . . . .

124

7.6 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

7.7 Action d'une particule chargee uniformement acceleree par un champ

electrique constant~E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

7.8 Action d'un oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

7.9 L'atome d'hydrogene selon Bohr-Wilson-Sommerfeld . . . . . . . . . . . .

131

7.10 Quantication d'une particule dans un segment deR. . . . . . . . . . . .138

7.11 Quantication d'une particule dans une bo^te carree . . . . . . . . . . . .

139

7.12 Quantication d'un modele atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

7.13 Corrections relativistes : le doublet H

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

7.14 Une expression remarquable de la fonction de partition classique

d'un mouvement periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8 Structure du noyau atomique 151

8.1 Puissance X emise parBremsstrahlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

8.2 Emission d'un photon par un noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

8.3 Facteur de forme d'un noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

8.4 Desintegration du bismuth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

8.5 Barriere coulombienne pour deux noyaux de deuterium . . . . . . . . . . .

157
Table des Matieresxiii9 L'avenement de la Mecanique quantique 159

9.1 Horizon de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

9.2 Consequences de l'incertitude sur les conditions initiales sur la prediction

d'un mouvement classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

9.3 Particule connee sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

9.4 Analyse de Fourier du probleme de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

9.5 Sur la Mecanique des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

9.6 Proprietes ondulatoires des particules materielles . . . . . . . . . . . . . .

184

9.7 Diraction de neutrons par un cristal d'atomes unidimensionnel . . . . . .

189
9.8 Equation de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

9.9 Propagateur dans un milieu non dispersif . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

9.10 Sur la necessite de la realite de la valeur propreEdans l'equation aux

valeurs propres deH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

10 Fonction d'onde 193

10.1 Experiences d'Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

10.2 Interpretation probabiliste de la fonction d'onde . . . . . . . . . . . . . .

195

10.3 Forme locale de la conservation de l'energie en Mecanique quantique . . .

202

10.4 Operateur associe a une grandeur classique . . . . . . . . . . . . . . . . .

204

10.5 Particule chargee dans un champ electrique constant . . . . . . . . . . . .

2 06

10.6 Relations d'incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207

10.7 Le microscope de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210

10.8 D'autres inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212

10.9 Une experience mentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213

11 Magnetisme atomique 215

11.1 Les fonctions de BrillouinBJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

11.2 L'electron est-il une petite bille qui tourne sur elle-m^eme ? . . . . . . . . .

218

11.3 L'experience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

219
xivTable des Matieres12 Postulats et structure formelle de la Mecanique quantique 225

12.1 Atome de moment cinetique

~2 225

12.2 Sur le fondamental de l'oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . .

227

12.3 Oscillateur harmonique subitement perturbe . . . . . . . . . . . . . . . . .

228

12.4 Mesures sur un moment cinetique

~2 229

12.5 Mesures successives d'observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232

12.6 Mesures de la position et de l'energie d'un oscillateur harmonique . . . . .

242

12.7 Mesure de la position et de l'impulsion d'une particule libre . . . . . . . .

244

12.8 Formalisme de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246

12.9 Regle de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

249

12.10 La vitesse moyenne est nulle dans tout etat... . . . . . . . . . . . . . . .

251

13 Operateurs 253

13.1 Relations diverses de l'algebre des operateurs . . . . . . . . . . . . . . . .

253

13.2 Trace d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

258

13.3 Operateur fonction d'une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

260

13.4 Operateur unitaire derivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263

13.5 Serie entiere d'operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263

13.6 Exponentielle du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

264
13.7 Equation de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265

13.8 Identite de Glauber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

265

13.9 Composantes hermitiques d'un operateur lineaire . . . . . . . . . . . . . .

267

13.10 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

268

13.11 Resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

269

Table des Matieresxv14

Evolution temporelle d'un systeme quantique 271

14.1 Operateur d'evolution pour un systeme a deux niveaux . . . . . . . . . . .

271

14.2 Perturbation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

274

14.3 Mesure de la position et de l'impulsion d'une particule libre (suite) . . . .

274

14.4 Particule dans un champ constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

276

14.5 Oscillateurharmoniquechargesoudainementsoumisaunchampelectrique .

282

14.6 Intrication de deux systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 84

14.7 Dynamique d'un systeme a trois niveaux soumis a une perturbation har-

monique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
14.8 Evolution d'un paquet d'ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292

14.9 Mouvement uniformement accelere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 97

14.10 Exemple de factorisation du propagateur . . . . . . . . . . . . . . . . . .

300

14.11 La molecule d'ammoniac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

301

14.12 Allongement du temps de retour avec la densication des etats . . . . . .

305

14.13 Quelques resultats pour l'operateur d'evolution avec un Hamiltonien

dependant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

15 Potentiels a une dimension constants par morceaux 315

15.1 Diusion par un puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

315

15.2 Puitsinnimentprofond:valeursmoyennes dans unetat non stationnaire .

317

15.3 Expansion soudaine d'un puits inniment profond . . . . . . . . . . . . .

323

15.4 Puits inniment profond en representation-p. . . . . . . . . . . . . . . . .334

15.5 Puits de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

337

15.6 Puits en represention-p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346

15.7 Puits de Dirac comme limite du puits carre . . . . . . . . . . . . . . . . .

349

15.8 In

uence d'un mur infranchissable sur les etats d'un potentiel de Dirac . . 355

15.9 Enrichissement isotopique par re

exion sur une barriere de potentiel . . . 362

xviTable des Matieres15.10 Puits inni avec une barriere centrale de Dirac . . . . . . . . . . . . . . .366

15.11 Eet-tunnel dans un double puits de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . .

370

15.12 Eet tunnel dans un double puits carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

375

15.13 Puits asymetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

383

15.14 Impurete localisee dans une barriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

386

15.15 Penetration de neutrons dans un milieu magnetique . . . . . . . . . . . .

388

15.16 Anti-marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

392

15.17 Coecients de re

exion et de transmission d'une double barriere . . . . . 393
15.18 Electron dans un puits excite par un champ electrique impulsionnel . . .397 15.19

Etats lies du puitsV0cosh

2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402

15.20 Variations sur le puitsV0cosh

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