[PDF] Mécanique Quantique 1 —– CORRIGÉ Séance dexercices 6

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École polytechnique de Bruxelles PHYSH301/2016-2017

Mécanique Quantique 1 -- CORRIGÉ

Séance d"exercices 6: moment cinétique et spin 1/2

Exercice 1

On se rappelle que les relations de commutations des moments cinétiques sont les suivantes : [Lx;Ly] =i~Lz[Ly;Lz] =i~Lx[Lz;Lx] =i~Ly Calculons maintenant le produit vectoriel deLavec lui-même. Notez bien que puisque les vecteurs ne commutent pas, il faut respecter l"ordre dans la multiplication. Ainsi, quand vous calculer le

déterminant des sous-matrices, il faut toujours multiplier d"abord l"élément de la deuxième ligne et

ensuite celui de la troisième ligne : LL= i^j^k L xLyLz L xLyLz ^i(LyLzLzLy)^j(LxLzLzLx) +^k(LxLyLyLx) ^i[Ly;Lz]^j[Lx;Lz] +^k[Lx;Ly] ^ii~Lx^j(i~Ly) +^ki~Lz =i~L

Exercice 2

Pour calculer le commutateur[S2;Si], pouri=x;y;z, on se souvient queS2=S2x+S2y+S2z. De

plus, puisque le spin est un moment cinétique, on peut utiliser les commutateurs calculés à la section

précédente. Commençons par calculer[S2;Sx]: [S2;Sx] = [S2x+S2y+S2z;Sx] = [S2x;Sx] + [S2y;Sx] + [S2z;Sx] =Sx[Sx;Sx] + [Sx;Sx]Sx+Sy[Sy;Sx] + [Sy;Sx]Sy+Sz[Sz;Sx] + [Sz;Sx]Sz = 0 + 0 +Sy(i~Sz) + (i~Sz)Sy+Sz(i~Sy) + (i~Sy)Sz = 0 Par symétrie, on trouve également que[S2;Sy] = 0et[S2;Sz] = 0. Cela signifie donc queS2 commute avec chacune des composante deSet donc avecSlui-même.

Exercice 3

a)

De façon générale, voici comment les moments cinétiquesS2etSzagissent sur un étatj1=2;mi

(avec m=1/2 ou -1/2) : S

2j1=2;mi=34

~2j1=2;miSzj1=2;mi=~mj1=2;mi 1

La représentation matricielle deS2est

S

2=h1=2;1=2jS2j1=2;1=2i h1=2;1=2jS2j1=2;1=2i

h1=2;1=2jS2j1=2;1=2i h1=2;1=2jS2j1=2;1=2i h1=2;1=2j34 ~2j1=2;1=2i h1=2;1=2j34 ~2j1=2;1=2i h1=2;1=2j34 ~2j1=2;1=2i h1=2;1=2j34 ~2j1=2;1=2i 34
~21 0 0 1 et celle deSzest S z=h1=2;1=2jSZj1=2;1=2i h1=2;1=2jSZj1=2;1=2i h1=2;1=2jSZj1=2;1=2i h1=2;1=2jSZj1=2;1=2i h1=2;1=2j~2 j1=2;1=2i h1=2;1=2j ~2 j1=2;1=2i h1=2;1=2j~2 j1=2;1=2i h1=2;1=2j ~2 j1=2;1=2i ~2 1 0 01

Une autre façon de trouver la représentation matricielle de ces deux matrices est la suivante. On pose

S 2=a b c d et on l"applique aux étatsj1=2;1=2i=1 0 etj1=2;1=2i=0 1 S

2j1=2;1j2i=34

~2j1=2;1j2i ,a b c d 1 0 =34 ~21 0 ,a c =34 ~21 0 ,a=34 ~2etc= 0 S

2j1=2;1j2i=34

~2j1=2;1j2i ,a b c d 0 1 =34 ~20 1 ,b d =34 ~20 1 ,b= 0etd=34 ~2 et de même pourSz. b) On sait queSj1=2;mi=~p(1=2m)(1=2m+ 1)j1=2;m1iet donc la reprsentation matri- cielle deSest S +=h1=2;1=2jS+j1=2;1=2i h1=2;1=2jS+j1=2;1=2i h1=2;1=2jS+j1=2;1=2i h1=2;1=2jS+j1=2;1=2i h1=2;1=2j0j1=2;1=2i h1=2;1=2j~j1=2;1=2i h1=2;1=2j0j1=2;1=2i h1=2;1=2j~j1=2;1=2i =~0 1 0 0 S =h1=2;1=2jSj1=2;1=2i h1=2;1=2jSj1=2;1=2i h1=2;1=2jSj1=2;1=2i h1=2;1=2jSj1=2;1=2i h1=2;1=2j~j1=2;1=2i h1=2;1=2j0j1=2;1=2i h1=2;1=2j~j1=2;1=2i h1=2;1=2j0j1=2;1=2i =~0 0 1 0 2

Afin de trouver la représentation matricielle deS, il suffit de connaître les représentions matricielles

deSx,SyetSz. La dernière est déjà connue, quant aux deux autres, il suffit d"utiliser le fait que

S x=S++S2 =~2 0 1 1 0 S y=S+S2i=~2 0i i0

Ainsi,

S=~2 0 1 1 0 ^i+~2 0i i0 ^j+~2 1 0 01 ^k=~2 x^i+y^j+z^k où lesisont les matrices de Pauli.

Exercice 4

a)

Pour ce qui est deS2, puisque la matrice qui le représente est proportionnelle à la matrice identité,

ses vecteurs propres sontj "i=1 0 etj #i=0 1 Cherchons maintenant les vecteurs propres deSu. Pour cela, on doit d"abord trouver la matrice qui le représente. Soit^u= sincos^i+sinsin^j+cos^kun vecteur untité d"orientation arbitraire, alors S u= ^u^S ~2 sincosx+~2 sinsiny+~2 cosz ~2 cossincosisinsin sincos+isinsincos ~2 cossinei sineicos Pour trouver les valeurs propres deSu, on résout l"équationdet(SuI) = 0. On trouve alors =~2 Pour trouver les vecteurs propres associésvon résout le système matricielSuv=v. Pour la valeur propre positive, on obtient : ~2 cossinei sineicos a b =~2 a b ,acos+bsinei asineibcos =a b (1) acos+bsinei=a asineibcos=b(2) a=beisin(1 + cos) bquelconque(3) ) j+iu=b eisin(1 + cos) 1 (4) Notons que ceci est vrai seulement sisin6= 0. Sisin= 0et= 2k,aest quelconque etb= 0. Si toutefois,sin= 0et= (2k+ 1),best quelconque eta= 0. Pour tenir compte de ces contraintes on peut choisir le vecteur propre unitaire suivant : j "i u=cos(=2) sin(=2)ei = cos(=2)j "i+ sin(=2)eij #i 3

En effet,

j+iu=b eisin(1 + cos) 1 =b1 + cos sinei =b1 + (2cos(=2)21)

2sin(=2)cos(=2)ei

= 2bcos(=2)cos(=2) sin(=2)ei où encore, si on normalise le vecteur : j+iu=cos(=2) sin(=2)ei L"avantage d"écrire le vecteur propre sous cette forme permet de tenir compte du cas oùsin= 0.

En suivant exactement la même méthode pour l"autre valeur propre, on trouve le deuxième vecteur

propre : ji u=sin(=2) cos(=2)ei = sin(=2)j "i cos(=2)eij #i Puisque ces vecteurs propres sont des combinaisons linéaires des vecteurs propres deS2, ce sont bien des vecteurs prorpes communs aux deux matrices. b)

Notez d"abord que le résultat de la mesure est donné par les valeurs propres de l"opérateur que

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