[PDF] Mécanique Analytique 29 Oct 2016 Exercice 2:

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Mecanique Analytique

Badis Ydri

Institute of Physics, BM Annaba University,

BP 12, 23000, Annaba, Algeria.

October 29, 2016

Email:ydri@stp.dias.ie, badis.ydri@univ-annaba.org

Contents

1 Chute Libre 3

1.1 Referentiel Non Inertiel: Rotation et Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Deuxieme Loi de Newton Dans un Referentiel Non Inertiel . . . . . . . . . . . 5

1.3 Chute Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Principes Varitionnels et

Equations de Lagrange 13

2.1 Mecanique de Systeme de Particules Ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Contraintes Holonomes et Principe des Travaux Virtuels . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Calcul Variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Principe de Moindre Action d'Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Mecanique Hamiltonienne 39

3.1 Lois de Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Transformation de Legendre et

Equations d'Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Equation de Hamilton a Partir de Calcul Variationnel: Le Principe de Hamilton Modie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Transformations Canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5 Formulation Symplectique, Crochets de Poisson et Theoreme de Liouvil . . . . 49

3.6 Equation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Chapter 1

Chute Libre

1.1 Referentiel Non Inertiel: Rotation et Acceleration

Un referentiel inertiel est un repere ou la premiere loi de Newton s'applique: tout systeme isole, pas soumis a aucune force exterieure, est soit au repos soit anime d'un mouvement rec- tiligne uniforme. Les referentiels inertiels deplacent avec des vitesses constantes les uns par rapport aux autres. Aussi dans les referentiels inertiels la deuxieme loi de Newton s'applique:

F=m~a:(1.1)

L'acceleration et la rotation produisent des referentiels non inertiels. Nous vollons reecrire la deuxieme loi de Newton dans un referentiel non inertiel associe avec rotation. SoitLun referentiel inertial (x;y;z) avec un origineOet soitMun referentiel non inertial (x0;y0;z0) avec un origineO0en etat de rotation autour deL. Nous supposons pour simplie queO0concide avecO.Lest appelle le systeme de laboratoire etMest appelle le systeme en mouvement. Les vecteurs unitaires de systemeMsont notes par~e0 1,~e0

2, et~e0

3. Soit~Aun

vecteur dans le systemeMdependant du temps que l'on ecrit sous la forme A=A0 1~e0 1+A0 2~e0 2+A0 3~e0

3:(1.2)

La derivee de ce vecteur dansMest

d ~Adt jM=dA0 1dt jM~e0 1+dA0 2dt jM~e0 2+dA0 3dt jM~e0

3:(1.3)

Dans le systemeLles vecteurs~e0

idependent du temps parce que ils tournent avecM. La derivee de vecteur ~AdansLest donc donnee par d ~Adt jL=d~Adt jM+A0 1~_e0 1+A0 2~_e0 2+A0 3~_e0

3:(1.4)

MA, Badis Ydri4On a introduit la notation

_e0 i=ddt ~e0

1jL:(1.5)

On peut calculer (voir exercices)

_e0

1=a1~e0

2+a2~e0

3;~_e0

2=a1~e0

1+a4~e0

3;~_e0

3=a2~e0

1a4~e0

2:(1.6)

Si nous denissons le vecteur

~Cpar

C= (a4;a2;a1) (1.7)

nous obtenons le resultat d ~Adt jL=d~Adt jM+~Cx~A:(1.8)

Le vecteur

~Cest exactement le vecteur vitesse angulaire de la rotation de systemeMautour de systemeL(voir exercices). Ainsi C=~ 1~e1+ 2~e2+

3~e3;(1.9)

ou~e1,~e2, et~e3sont les vecteurs unitaires de systemeLet 1, 2, et

3sont les vitesse angulaires

atour des axesx,y, etz. Nous obtenons alors d ~Adt jL=d~Adt jM+~ x~A:(1.10)

Nous ecrivons cette relation sous la forme

DL~A=^DM~A+~

x~A;(1.11) ou d'une facon generale

DL=^DM+~

x;(1.12) ou ^DLet^DMsont le operateus dierentiels

DL=ddt

jL;^DM=ddt jM:(1.13) MA, Badis Ydri51.2 Deuxieme Loi de Newton Dans un Referentiel Non

Inertiel

Nous appliquons immediatement la relation obtenue au-dessus au vecteur de position~rpour en deduire la vitesse _r=^DL~r=^DM~r+~ x~r:(1.14)

Encore une fois pour en deduire l'acceleration

r=^DL(^DL~r) = (^DM+~ x)(^DM~r+~ x~r) ^D2M~r+ (^DM~ )x~r+ 2~ x(^DM~r) +~ x(~ x~r):(1.15)

En d'autre termes,

d 2~rdt

2jL=d2~rdt

2jM+d~

dt jMx~r+ 2~ xd~rdt jM+~ x(~ x~r):(1.16) Le deuxieme terme est l'acceleration lineaire, le troisieme terme est l'acceleration de Coriolis, et le quartrieme terme est l'acceleration centripete. En multipliant parmnous obtenons la deuxieme loi de Newton

F=md2~rdt

2jL=md2~rdt

2jM+md~

dt jMx~r+ 2m~ xd~rdt jM+m~ x(~ x~r):(1.17) Ou m d2~rdt

2jM=~Fmd~

dt jMx~r2m~ xd~rdt jMm~ x(~ x~r):(1.18) Les forces supplementaires sont des forces dynamiques virtuelles due a l'acceleration. Les eets de ces forces peuvent ^etre negliges dans la plupart des cas sur la terre par ce que la vitesse angulaire de la rotation de la terre autour de son axe est tres faible donnee par 2T =224h105s1:(1.19) Jusqu' a maintenant nous avons suppose que le point d'origine de referentiel inertielLconcide avec le point d'origine de referentiel non inertielM. Nous considerons maintenant la situation la plus generale ou l'origineO0est separe de l'origineOpar un vecteur~Rrepresentant une translation de systemeLpar rapport au systemeM. Alors, le vecteur de position~r0dansM est relie au vecteur de position~rdansLpar la relation simple ~r=~R+~r0:(1.20) MA, Badis Ydri6La deuxieme loi de Newton s'ecrit dans ce cas sous la forme

Fmd2~Rdt

2jL=md2~r0dt

2jL:(1.21)

Le resultat nale est derive de la m^eme maniere qu'auparavant et il est donne par la formule suivante m d2~r0dt

2jM=~Fmd2~Rdt

2jLmd~

dt jMx~r02m~ xd~r0dt jMm~ x(~ x~r0): (1.22)

1.3 Chute Libre

Nous allons considerer le probleme de la chute libre. En premier lieu, on va negliger la rotation de la terre autour du soleil. Le reference inertielLest xe au centre de la terre. Donc l'origineOdeLest identie avec le centre de la terre. Le reference non inertielMest en etat de rotation avec la terre, c'est a dire l'origineO0deMest place sur la surface de la terre. Nous commencons a partire de l'equation de mouvement obtenue dans le paragraphe precedent, viz m d2~r0dt

2jM=~Fmd2~Rdt

2jLmd~

dt jMx~r02m~ xd~r0dt jMm~ x(~ x~r0): (1.23) La vitesse angulaire de la rotation de la terre est une constante dans le temps, i.e.d~ =dt= 0.

L'equation ce reduit a

m d2~r0dt

2jM=~Fmd2~Rdt

2jL2m~

xd~r0dt jMm~ x(~ x~r0):(1.24)

De la m^eme maniere nous obetnons

d 2~Rdt

2jL=d2~Rdt

2jM+d~

dt jMx~R+ 2~ xd~Rdt jM+~ x(~ x~R) x(~ x~R):(1.25) Nou avons utilise ci-dessus le fait que le vecteur ~Rest xe dansM. La deuxieme loi de Newton devient

MA, Badis Ydri7m

d2~r0dt

2jM=~Fm~

x(~ x~R)2m~ xd~r0dt jMm~ x(~ x~r0):(1.26) Nous allons developper le vecteur~r=~R+~r0autour de~Rau voisinage de la terre, i.e.r0<< R.

Donc, la force de la pesanteur est donnee par

F=GmM~rr

3'GmM~R~rR

3;(1.27)

La deuxieme loi de Newton deviendra

m d2~r0dt

2jM=GmM~RR

3m~ x(~ x~R)2m~ xd~r0dt jMm~ x(~ x~r0):(1.28) De l'autre c^ote, l'acceleration de la pesanteur est donnee experimentalement par ~g=GM~RR 3~ x(~ x~R):(1.29) Le deuxieme terme est l'acceleration centripete due a la rotation de la terrre. Alors nous obtenons d

2~r0dt

2jM=~g2~

xd~r0dt jM~ x(~ x~r0):(1.30) Nous pouvons negliger le dernier terme qui est proportionnel a

2et donc il est tres petit parce

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