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Cours d"Algèbre I et II avec Exercices

Corrigés

Imene Medjadj

Table des matières

Chapitre 1. Introduction 5

Chapitre 2. Élément de logique et méthodes de raisonnement avec Exercices

Corrigés 7

1. Régles de logique formelle 7

2. Méthodes de raisonnement 12

3. Exercices Corrigés 13

Chapitre 3. Théorie des ensembles avec Exercices Corrigés 19

1. Notion d"ensemble et propriétés 19

2. Applications et relations d"équivalences 22

3. Relations Binaires dans un ensemble 26

4. Exercices Corrigés 28

Chapitre 4. Structures Algébriques avec Exercices Corrigés 35

1. Lois De Composition Internes 35

2. Groupes 36

3. Anneaux 36

4. Corps 36

5. Exercices Corrigés 37

Chapitre 5. Notion deIK-Espaces vectoriels(IKétant un Corps Commutatif) avec Exercices Corrigés 43

1. Espace vectoriel et sous espace vectoriel 43

2. Somme de deux sous espaces vectoriels 45

3. Somme directe de deux sous espaces vectoriels 45

4. Familles génératrices, familles libres et bases 45

5. Notion d"Application Linéaire 48

6. Exercices Corrigés 51

Chapitre 6. Notion de Matrice Associée à une Application Linéaire et Calcul Algébrique sur les Matrices avec Exercices Corrigés 57

1. Espace vectoriel des matrices 57

2. Produit de deux matrices 59

3. Matrices carrées 60

4. Les Déterminants 61

5. Relations entre une application linéaire et sa matrice Associée 65

6. Matrices et Changements de Bases 683

4 TABLE DES MATIÈRES

7. Diagonalisation 70

8. Systèmes d"équations linéaires 73

9. Exercices Corrigés 77

Bibliographie 83

CHAPITRE 1

Introduction

Ce document cours d"Algèbre I et II avec exercices corrigés recouvre le programme d"Algèbre linéaire de la 1ère année universitaire. Le lecteur trouvera une partie cours qui a été enseigné et à la fin de chaque chapitre une partie exercices corrigés dont la plupart ont été proposé dans le cadre de travaux dirigés ou ont fait l"objet de contrôle des connaissances. Il est destiné principalement aux étudiants de la 1ère année L.M.D. ainsi que toute personne ayant besoin d"outils de bases d"Algèbre linéaire. Nous espérons que ce polycopié réponde aux attentes des étudiants et qu"il les aidera à réussir.5

CHAPITRE 2

Élément de logique et méthodes de raisonnement avec

Exercices Corrigés

1. Régles de logique formelleDéfinition1.1.une proposition est une expression mathématique à laquelle on

peut attribuer la valeur de vérité vrai ou faux.Exemple1.2.(1)?Tout nombre premier est pair?, cette proposition est

fausse.(2)⎷2est un nombre irrationnel, cette proposition est vraie(3)2est inférieure à4, cette proposition est vraieDéfinition1.3.Toute proposition démontrée vraie est appelée théorème (par

exemple le théorème de PYTHAGORE, Thalès...)

La négation?(nonP)?,?P?:Définition1.4.SoitPune proposition, la négation dePest une proposition

désignant le contraire qu"on note(nonP),ou bienP,on peut aussi trouver la notation ?P. Voici sa table de vérité.PP 10 01

Exemple1.5.(1)SoitE?=∅,P: (a?E), alorsP: (a /?E).(2)P:la fonctionfest positive, alors?P:la fonctionfn"est pas positive.(3)P:x+ 2 = 0, alors(nonP) :x+ 2?= 0.

1.1. Les connecteurs logiques.SoitP,Qdeux propositions

1) La conjonction?et?,? ? ?Définition1.6.la conjonction est le connecteur logique?et?,? ? ?, la

proposition(PetQ)ou(P?Q)est la conjonction des deux propositionsP,Q.-(P?Q)est vraie siPetQle sont toutes les deux.-(P?Q)est fausse dans les autres cas. On résume tout ça dans la table de vérité

suivante.7

82. ÉLÉMENT DE LOGIQUE ET MÉTHODES DE RAISONNEMENT AVEC EXERCICES CORRIGÉS

PQP?Q111

100
010 000 Exemple1.7.(1)2est un nombre pair et3est un nombre premier, cette proposition est vraie(2)3≤2et4≥2, cette proposition est fausse.

2) La disjonction?ou?,? ? ?Définition1.8.la disjonction est un connecteur logique?ou?,? ? ?, on

note la disjonction entreP,Qpar(PouQ),(P?Q). P?Qest fausse siPetQsont fausses toutes les deux, sinon(P?Q)est vraie. On résume tout ça dans la table de vérité suivante.PQP?Q111 101
011 000 Exemple1.9.(1)2est un nombre pair ou3est un nombre premier. Vraie.(2)3≤2ou2≥4. Fausse.

3)L"implicationDéfinition1.10.L"implication de deux propositionsP,Qest notée :P?Qon

ditPimpliqueQou bien siPalorsQ.P?Qest fausse siPest vraie etQest fausse, sinon(P?Q)est vraie dans les autres cas.PQP?Q111 100
011 001

Exemple1.11.(1)0≤x≤9?⎷x≤3.Vraie(2)Il pleut, alors je prends mon parapluie. Vraie c"est une conséquence.

(3)Omar a gagné au loto?Omar a joué au loto. Vraie c"est une conséquence.

4)La réciproque de l"implication

1. RÉGLES DE LOGIQUE FORMELLE 9

Définition1.12.La réciproque d"une implication(P?Q)est une implication Q?P.Exemple1.13.(1)La réciproque de :0≤x≤9?⎷x≤3,est :⎷x≤3?

0≤x≤9.(2)La réciproque de : (Il pleut, alors je prends mon parapluie),est: (je prends

mon parapluie, alors il pleut).(3)La réciproque de : (Omar a gagné au loto?Omar a joué au loto),est:

(Omar a joué au loto?Omar a gagné au loto).

5)La contraposée de l"implicationSoitP,Qdeux propositions, la contraposée

de(P?Q)est(Q?P), on a (P?Q)??(Q?P)Remarque1.14.(P?Q)et(Q?P)ont la même table de vérité, i.e., la même valeur de vérité.Exemple1.15.(1)La contraposée de :(Il pleut, alors je prends mon para-

pluie),est(je ne prends pas mon parapluie, alors il ne pleut pas).(2)La contraposée de :( Omar a gagné au loto?Omar a joué au loto),est:

(Omar n"a pas joué au loto?Omar n"a pas gagné au loto).

6)La négation d"une implicationThéorème1.16.SoitP,Qdeux propositions on a(P?Q)?(P?Q).Exemple1.17.(1)La négation de : (il pleut, alors je prends mon parapluie),

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