Université de Marseille Licence de Mathématiques 3eme année
11 janv. 2018 Licence de Mathématiques 3eme année
Université de Versailles Saint-Quentin-En-Yvelines L3 Optimisation
L3 Optimisation et Applications (LSMA651). Année 2010-2011. Enseignants : L. Dumas
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L3, Optimisation et Applications (LSMA651)
Annee 2010-2011
Enseignants : L. Dumas, T. Horsin
http://www.math.uvsq.fr/ ~dumas/LSMA651EXAMEN, 17 MAI 2011
2heures, pas de documents
Exercice 1.
On considere la fonctionfdenie surR3par
f(x;y;z) = 3x2+ 3y2+ 3z22xy2x10y1. Montrer quefest coercive surR3. Que peut-on en deduire?
2. Calculer les points oufest minimale surR3.
3. SoitA=f(x;y;z)2R3; x+y+z2= 0g.Aest-il ferme? borne? Montrer sans
calcul quefpossede au moins un minimum surA.4. Calculer les points oufest minimale surA.
Exercice 2.
On considere la fonctiongdenie surR3par
g(x;y;z) =x+ 2y+zOn note
B=f(x;y;z)2(R+)3; x+ 4y+ 2z10 etx+z2g
1. Donner une situation en economie ou ce genre de probleme apparait. On pourra
par exemple considerer une usine fabriquant 3 produits avec 2 ingredients pour leur realisation.2. En utilisant la methode du simplexe, determiner le maximum degsurBainsi
qu'un point ou il est atteint.Exercice 3.
On considere la fonctionhdenie surR3par
h(x;y;z) =xyz+yz+xz+xy1. Montrer que le seul point deR3ou le matrice hessienne dehest semi-denie
positive est le point (1;1;1).2. Montrer quehne possede aucun minimum local surR3.
3. Montrer quehpossede un minimum sur
C=f(x;y;z)2R3;1x1;1y1;1z1g
qu'on determinera par des considerations simples.Exercice 4.
On considere la fonctionudenie surR2par
u(x;y) =x2+y2+xyOn note
D=f(x;y)2R2; x2+y21 etx+y1g
1. Montrer queuest strictement convexe surR2et qu'elle possede un unique minimum
surD.2. En ecrivant les relations de KKT, determiner le point ouuatteint son minimum
surD.3. (question bonus)Calculer le c^one tangent et le c^one normal aDen chaque point
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