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Corrigé type examen de probabilités L2-2022
Exercice 1:
1)En multipliant l"égalité()(pourxréel)
1x(x+ 1)(x+ 2)=ax
+bx+ 1+cx+ 2() parxet en prenantx= 0;on obtienta=12 :En multipliant l"égalité()par (x+ 1)et en prenantx=1, on obtientb=1:De même, si on multiplie() par(x+ 2)et on prendx=2, on obtientc=12 :Ainsi1n(n+ 1)(n+ 2)=12n1n+ 1+12(n+ 2)
2) a)Comme
+1X n=1P(X=n) = 1 alors 2 +1X n=1 1n2n+ 1+1(n+ 2)
= 1 Or +1X n=1 1n2n+ 1+1(n+ 2)
+1X n=1 1n 1n+ 1 +1X n=11n+ 11(n+ 2)
= 1+1X k=2 1k 1k+ 1 = 112 =12 d"où 4 = 1;par suite = 4 b)E(X) =+1X
n=1nP(X=n) = 4+1X n=11(n+ 1)(n+ 2)4+1X n=11n 2<1 doncE(X)existe, en outre 1E(X) = 4+1X
n=11(n+ 1)(n+ 2)= 4+1X n=11(n+ 1)1(n+ 2)
= 412 = 2Exercice 2:
1)On rappelle les dé...nitions de la fonction de répartition et de la den-
sité d"une v.a.Xqui suit une loi uniforme sur unintervalle[a;b]et notées respectivement parFXetf FX(x) =8
:0si x < axabasi ax < b1si xb
f(x) =(1basi x2[a;b]
0si x =2[a;b]
En particulier, poura= 0etb= 1;on aura
f(x) =1si x2[0;1]0si x =2[0;1]
2)Y=ln(X); >0
a)Le support deXétantX( ) = [0;1], on a doncY( ) = [0;+1[puisque la fonctionx7! lnxest strictementdécroissantesur l"intervalle]0;1]: On aura, en notant respectivementFYetgla fonction de répartition et la densité de probabilité de la v.a.Y FY(y) =P(Yy) =
=P(ln(X)y) = =P ln(X) y =P Xey = 1FX e yDonc, poury2[0;+1[;il vient
g(y) =F0Y(y) = = 0 e y 0 f e y 1 ey 2 Ainsi g(y) =8 :1 ey si y00si y <0
Par identi...cation, on en déduit que la v.a.Ysuit une loi exponentielleY ,! E1 b)PuisqueY ,! E1 ;on a alorsE(Y) =11
V ar(Y) =1
1 2=23)PuisqueY ,! E1
;alors FY(y) =8
1ey si y00si y <0
4)P(Y >2) = 1P(Y2) =
= 1FY(2) = = 10 1e21 A =e20;135 3quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
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