[PDF] STATISTIQUES DESCRIPTIVES BIVARIÉES

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L1 Psycho Statistiques descriptives

STATISTIQUES DESCRIPTIVES

BIVARIÉESExercice 1.Un site internet reçoit 113 457 visiteurs durant un mois. On désigne parXlenavigateur internet utilisé etYle système d"exploitation utilisé.XnYWindowsMacLinux

Chrome141031186427

Firefox3085343923234

Internet Explorer47389230

Safari66864160

Autres2974401752

(a)Identifier la population, sa taille ainsi que les variables étudiées en précisant leur type.(b)Quelle est la proportion de visiteurs sous Windows?(c)Quelle proportion de visiteurs utilisent le navigateur Safari?(d)Parmi les utilisateurs de Mac, quelle proportion utilise Chrome?(e)Parmi les utilisateurs de Safari, quelle proportion est sous Windows?(f)Représenter graphiquement la distribution des proportions par Navigateur pour chaquesystème d"exploitation. Les variablesXetYsont-elles indépendantes?Corrigé de l"exercice 1.

(a)P opulation: visiteurs du site internet étudié.

Individu :un visiteur du site internet.

Taille :113 457.

Variables étudiées :on étudie deux variables, à savoirXetY. La variableXest le navi- gateur utilisé par le visiteur; c"est une variable qualitative nominale. La variableYest le système d"exploitation utilisé par le visiteur; c"est une variable qualitatif nominale. 1 (b)On recherche la proportion marginaleP(Y=Windows). Pour cela, on détermine les eec- teurs marginaux dans le tableau de contingence :XnYWindowsMacLinuxTOTAL

Chrome14103118642715716

Firefox308534392323438479

Internet Explorer4738923047412

Safari668641607084

Autres29744017524766

TOTAL95987120575413113457

L"eectif marginal de la modalité "Windows» pourYest donc 95987. On a donc :

P(Y=Windows)=95987113457

=84;60 %: (c)L"eectif marginal de la modalité Safari pourXest 7084 donc

P(X=Safari)=7084113457

=6;24 %: (d)On est sous la conditionY=Mac donc on extrait du tableau de contingence la colonne Mac et on calcule les proportions correspondantes :XjY=MacEectifProportion (%)

Chrome11869,84

Firefox439236,43

Internet Explorer230,19

Safari641653,21

Autres400,33

TOTAL12057100

On a donc :

P(X=ChromejY=Mac)=9;84 %:

(e)On est sous la conditionX=Safari, donc on extrait du tableau de contingence la ligne correspondant à Safari :YjX=SafariWindowsMacLinuxTOTAL

Eectif668641607084

Proportion (%)9,4390,570100

On a donc :

P(Y=WindowsjX=Safari)=9;43 %:

(f)Puisque l"on demande la répartition des proportions, on met les proportions en ordonnée. Puisque l"on demande la répartition par Navigateur, on met la variableXen abscisse. Fina- lement, puisque l"on demande la répartition pour chaque système d"exploitation, on doit 2 déterminer les proportions conditionnelles deXsachant les modalités deY, c"est-à-dire

XjY=Windows,XjY=Mac etXjY=Linux.

À la question (d), on a déjà déterminerXjY=Mac donc il nous resteXjY=Windows etXjY=Linux :XjY=WindowsEectifProportion (%)

Chrome1410314,69

Firefox3085332,14

Internet Explorer4738949,37

Safari6680,7

Autres29743,1

TOTAL95987100

XjY=LinuxEectifProportion (%)

Chrome4277,89

Firefox323459,75

Internet Explorer00

Safari00

Autres175232,37

TOTAL5413100,01

On est maintenant en mesure de tracer le diagramme en tuyaux d"orgues : Mac Linux

NavigateurProportion (%)

Pour chaque modalité deX, les tuyaux ne sont pas du tout de la même hauteur; cela signifie que le système d"exploitation influe fortement sur le navigateur utilisé. Autrement

dit, il n"y a pas indépendance entre système d"exploitation et navigateur utilisé.Exercice 2.En 1885, Francis Galton publie un tableau de données comparant la tailleYdesenfants avec la tailleXde leurs parents (la taille des parents est égale à la moyenne de la taille3

du père et de la mère). Pour compenser les diérences de tailles entre sexes, toutes les taillesdes personnes de sexe féminin ont été multiplié par 1,08. Les tailles sont exprimées en pouces

(1 pouce=2,54 cm).XnY]60;61;7]]61;7;63;7]]63;7;65;7]]65;7;67;7]]67;7;69;7]]69;7;71;7]]71;7;73;7]]73;7;75]]62;64]12542000

]64;66]214173216710 ]66;68]01436108933440 ]68;70]184710013584225 ]70;72]112113835185 ]72;74]000033134

Les bornes des classes extrêmes ont été fixées arbitrairement pour les besoins de l"exercice.

(a)Préciser la population, les individus, la taille de la population ainsi que les variablesétudiées.

(b)Quelle est la proportion d"enfants dont la taille est comprise entre 65,7 et 67,7?(c)Parmi les enfants dont la taille est comprise entre 71,7 et 73,7, quelle proportion a desparents dont la taille est entre 70 et 72?

(d)Quelle est la taille moyenne des enfants dont les parents ont une taille comprise entre 68et 70? Convertir le résultat en centimètres.

(e)Même question pour la taille médiane.(f)Même question pour l"écart-type.Corrigé de l"exercice 2.

(a)P opulation: les enfants étudiés par Galton (en notant qu"à chaque enfant, on associe ses

deux parents).

Individu :un enfant (et ses parents).

Taille de la population :938 (c"est la somme de tous les éléments du tableau). Variables étudiées :la variableX"taille de l"enfant» (quantitative continue) et la variable

Y"taille des parents» (quantitative continue).

(b)On cherche la proportion marginaleP(65;7X67;7) :

P(65;7X67;7)=4+32+108+100+11938

=255938 =27;19 %: (c)On cherche la proportion conditionnelleP(X2]70;72]jY2]71;7;73;7]). Pour la

calculer, on extrait la colonneY2]71;7;73;7] du tableau et on calcule les proportions :XjY2]71;7;73;7]EectifsProportions (%)

]62;64]00 ]64;66]11,72 ]66;68]46,9 ]68;70]2237,93 ]70;72]1831,03 ]72;74]1322,41

TOTAL58

4

On a donc

P(X2]70;72]jY2]71;7;73;7])=31;03 %:

(d)On regarde la distribution conditionnelle deYsachant queX2]68;70]. On extrait donc du tableau la ligne correspondante (on met les proportions cumulées pour les questions

suivantes) :YjX2]68;70]]60;61;7]]61;7;63;7]]63;7;65;7]]65;7;67;7]]67;7;69;7]]69;7;71;7]]71;7;73;7]]73;7;75]TOTAL

Eectifs184710013584225402

Proportions (%)0,251,9911,6924,8833,5820,95,471,24 Prop. cumul. (%)0,252,2413,9338,8172,3993,2998,76100

Centre60,8562,764,766,768,770,772,774,35

La moyenne est donc :

+8470;7+2272;7+574;35402

27457;80402

=68;30: Pour convertir en centimètres, on utilise la formule 1 pouce=2,54 cm :

YjX2]68;70]=68;302;54=173;48:

(e)La médiane deYjX2]68;70] se calcule à partir des proportions cumulées données dans le tableau précédent. La classe correspondant à la proportion cumulée 50 % est ]a;b]= ]67;7;69;7] donc la médiane est donnée par la formule médiane=a+ (ba)50P(Xa)P(Xb)P(Xa) =67;7+ (69;767;7)5038;8172;3938;81 =67;7+

211;1933;58

=67;7+[20;3332] =67;7+0;67 =68;37: Pour convertir en centimètres, on utilise la formule 1 pouce=2,54 cm : médiane=68;372;54=173;66: 5 (f)Calculons l"écart-type :

YjX2]68;70]=v

uuuut160;852+862;72+4764;72+10066;72 +13568;72+8470;72+2272;72+574;352402
2

YjX2]68;70]

=r1877735;57402

4664;89

p4670;984664;89 =p6;09 =2;47: Pour convertir en centimètres, on utilise la formule 1 pouce=2,54 cm :

YjX2]68;70]=2;472;54=6;27:Exercice 3.Les mesure du nombreXde jours de pluie et de la hauteurY(en mm) de pluie àParis tous les 5 ans entre 1960 et 1995 sont récapitulées dans le tableau suivant.

année19601965197019751980198519901995

X198196199164170163149162

Y739880631658690501501670

(a)Représenter graphiquement le nuage de points.(b)Calculer le coecient de corrélation.(c)Y a-t-il une relation de liaison entre les variablesXetY?Corrigé de l"exercice 3.

(a)Pour tracer un nuage de points, on place chaque donnée individuelle sur un graphique avec Xen abscisse etYen ordonnée :X(jours de pluie)Y(hauteur de pluie)100150200400500600700800900 6 (b)Pour calculer le coecient de corrélation, on doit calculer la covariance et les deux écart- types. Pour calculer la covariance, on a besoin des deux moyennes. Rappelons les dié- rentes formules lorsqu"on dispose des données individuelles :

X=Px(i)N

; X=rP x(i)2N

X;Cov(X;Y)=Px(i)y(i)N

XY

Moyenne deX.On a

X=Px(i)N

=198+196+199+164+170+163+149+1628 =14018 =175;125:

Moyenne deY.On a

Y=Py(i)N

=739+880+631+658+690+501+501+6708 =52708 =658;750:

Écart-type deX.On a

X=rP x(i)2N 2X =r198

2+1962+1992+1642+1702+1632+1492+16228

175;1252

r248031 8

30668;766

p31003;87530668;766 =p335;109 =18;306:

Écart-type deY.On a

Y=rP y(i)2N 2Y =r739

2+8802+6312+6582+6902+5012+5012+67028

658;7502

r3578648 8

433951;562

p447331;000433951;562 =p13379;438 =115;670: 7

Covariance deXetY.On a

Cov(X;Y)=Px(i)y(i)N

XY

198739+196880++1626708

175;125658;750

9344358

115363;594

=116804;375115363;594 =1440;781:

Coecient de corrélation deXetY.On a

r(X;Y)=Cov(X;Y) XY

1440;78118;306115;670

1440;7812117;455

=0;680: (c)Le coecient de corrélation est proche de 0,7 donc on peut considérer que les variables sont assez fortement liées. On peut représenter la droite de régression qui illustre cette dépendance :X(jours de pluie)Y(hauteur de pluie)100150200400500600700800900 Le fait que les points sont relativement proches de la droite illustre la corrélation relative- ment forte. 8quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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