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Physique des ondes.

P. Ribiere

College Stanislas

Annee Scolaire 2016/2017

P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 1 / 57 1 Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.2L'equation d'onde de d'Alembert.

3Ondes dans la corde vibrante.

4Onde dans une ligne bilaire.

5Exemple d'une onde sonore dans un solide.

6Conclusion.

P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 2 / 57

Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Description et modelisation de la situation.

Plan1

Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Description et modelisation de la situation.

Equation de propagation de l'onde.

2L'equation d'onde de d'Alembert.

3Ondes dans la corde vibrante.

4Onde dans une ligne bilaire.

5Exemple d'une onde sonore dans un solide.

6Conclusion.

P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 3 / 57

Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Description et modelisation de la situation.

Figure{Disp ositifexp erimentalde la co rdede Melde. La corde est supposee inextensible, de longueur L, de masse lineque. Elle est tendue a l'aide d'une masseMaccrochee a la corde via une poulie (parfaite) et excitee par un vibreur a son autre extremite.

y(x;t) est le deplacement transversale d'un morceau de la corde de Melde situe en x a l'instant t.P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 4 / 57

Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Description et modelisation de la situation.

Figure{Disp ositifexp erimentalde la co rdede Melde.

Pour cette etude, trois hypotheses sont necessaires :1Le deplacement de la corde suivant l'axe des x est neglige,

tant et si bien que un point de la corde situe en (x;0) a l'equilibre se retrouve en (x;y(x;t))

lors de la vibration de la corde.2Le deplacement de la corde est supposee de "faible" amplitude de maniere a ce que l'angle

(x;t) de la corde avec l'horizontal reste faible et donc on se limite a ordre 1 dans les DL en cet inniment petit.3Le poids est neglige devant les forces de tension. Le l est suppose parfaitement horizontal a l'equilibre. P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 5 / 57 Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Equation de propagation de l'onde. Plan1

Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Description et modelisation de la situation.

Equation de propagation de l'onde.

2L'equation d'onde de d'Alembert.

3Ondes dans la corde vibrante.

4Onde dans une ligne bilaire.

5Exemple d'une onde sonore dans un solide.

6Conclusion.

P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 6 / 57 Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Equation de propagation de l'onde. Figure{El ementde longueur dxde la corde etudiee . Le principe fondamental de la dynamique applique a un element innitesimaldxde la corde dans le referentiel terrestre suppose galileen donne :

dx@2y@t2~uy=~Tg(x;t) +~Td(x+dx;t)P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 7 / 57

Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Equation de propagation de l'onde. Le principe fondamental de la dynamique applique a un element innitesimaldxde la corde dans le referentiel terrestre suppose galileen donne : dx@2y@t2~uy=~Tg(x;t) +~Td(x+dx;t)

En projetant sur les axes, on trouve :

sur ~ux0 =T(x)cos((x)) +T(x+dx)cos((x+dx)) sur ~uydx@2y@t2=T(x)sin((x)) +T(x+dx)sin((x+dx))

En se limitant a des inniment petits d'ordre 1 :

0' T(x) +T(x+dx) d'ouT(x) =cste=T0=Mg

dx@2y@t2' T0(x) +T0(x+dx)'DL1T0@@xdx

La longueurdxchoisie arbitrairement se simplie.

Puis, en utilisant,'tan()'@y@x, il vient nalementEquation de propagation unidimensionnelle de d'Alembert.

2y@x21c

2@

2y@t2= 0 avecc=sT

P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 8 / 57 Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Equation de propagation de l'onde.

La celerite de l'onde dans la corde est donc :

c=sT La vitesse varie avec la raideur du milieu (ici la tension du lT0) La varie varie avec l'inverse de l'inertie du milieu (ici la masse lineque). Ceci se generalise pour toutes les ondes mecaniques. P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 9 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. Plan1 Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.2L'equation d'onde de d'Alembert. Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique.

Solutions sous forme d'onde plane stationnaire.

Lien entre les diverses solutions.

3Ondes dans la corde vibrante.

4Onde dans une ligne bilaire.

5Exemple d'une onde sonore dans un solide.

6Conclusion.

P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 10 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. Cherchons les solutions possiblesa(x;t) a l'equation de propagation unidimensionnelle de d'Alembert.

2a@x21c

2@

2a@t2= 0

Pour cette resolution, il est judicieux d'introduire de nouvelles variables : (x;t)!(u;v) avec u=txc etv=t+xc Par ce changement de variable, l'equation de d'Alembert devient :

4:@2a@u@v= 0

La forme des solutions est alors

a(x;t) =f(u) +g(v) =f(txc ) +g(t+xc

Montrer que

P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 11 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. Interpretation de ces solutions :Onde Plane Progressive. a(x;t) =f(txc ) correspond a une propagation dans le sens des x positifs, sans attenuation ni deformation. Cette solution est appele Onde Plane Progressive selon + ~ux, notee OPP+.Demonstration : a(x;t) =f(txc ) =f((txc ))0c =a(x0= 0;t0=txc L'onde qui se trouve enxa l'instant t est l'onde qui se trouvait enx0= 0 a l'instantt0=txc L'onde s'est donc propagee dans le sens des x positifs, sans attenuation ni deformation. a(x;t) =f(txc ) correspond a une propagation dans le sens des x decroissant, sans attenuation ni deformation.

Cette solution est appele Onde Plane Progressive selon~ux, notee OPP.P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 12 / 57

L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique.

Onde Plane Progressive Harmonique.

Comme l'equation est lineaire, il est possible de recourir a l'idee de Fourier et de n'etudier qu'une

composante "generique" de Fourier et donc de se ramener a : a(x;t) =a0cos(!:(txc )) =a0cos(!:tk:x) Cette solution est appele Onde Plane Progressive Harmonique selon ~ux, notee OPPH+Le vecteur d'onde ~k=k:~uxest donc de module :Relation de dispersion. k=!c ce qui donne =c:T=cf P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 13 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. Etude de la phase de l'onde plane progressive harmonique. '(t) =!:tk:xSurface d'onde. Le lieu des points ou la phase de l'onde est constante a un instanttxee, est appelee surface d'onde. Le vecteur d'onde est perpendiculaire a la surface d'onde en tout point.

Pour l'Onde Plane Progressive Harmonique, la surface d'onde est un planx=cste.Vitesse de phasev'.La vitesse de phase est la vitesse de propagation de la phase de l'onde.

'(t) =!:tk:x=!(txv v '=!k Pour l'Onde Plane Progressive Harmonique, la vitesse de phasev'=!k =c. Cette vitesse de phase est la m^eme pour toutes les composantes de Fourier du signal, donc le signal se propage sans deformation : le milieu est non dispersif. P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 14 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. Onde Plane Progressive Harmonique et notation complexe.

L'equation est lineaire et compte tenu de la forme du signal, il est possible et judicieux de recourir

a la notation complexe. a(x;t) =a0exp(j!:tk:x+')a(x;t) =a0 exp(j!:tk:x) aveca0 =a0exp(j') Pour revenir de la forme complexe a la forme reelle, il sut de prendre la valeur reelle : a(x;t) =<(a(x;t)) @a@tj!a(x;t) @a@xjka(x;t)P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 15 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. @a@tj!a(x;t) @a@xjka(x;t) Utilisons donc cette forme complexe pour retrouver la relation de dispersion.

Pour cela, injectons la forme complexe dans l'equation de d'Alembert :Relation de dispersion de d'Alembert.

k 2=!2c

2Cette methode d'obtention de la relation de dispersion est celle qui se generalisera pour toutes les

equations d'onde (m^eme les equations de propagation qui ne sont pas de d'Alembert. cf. chapitre dispersion absorption.) P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 16 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane stationnaire. Plan1 Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.2L'equation d'onde de d'Alembert. Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique.

Solutions sous forme d'onde plane stationnaire.

Lien entre les diverses solutions.

3Ondes dans la corde vibrante.

4Onde dans une ligne bilaire.

5Exemple d'une onde sonore dans un solide.

6Conclusion.

P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 17 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane stationnaire. Cherchons les solutions possiblesa(x;t) a l'equation de propagation unidimensionnelle de d'Alembert.

2a@x21c

2@

2a@t2= 0

sous la forme suivante, ou les variables temporelles et spatiales sont separees : a(x;t) =F(x):G(t)

L'equation de d'Alembert se reecrit alors

1F d 2Fdx 2=1c 2:1G d 2Gdt 2 Le membre de gauche ne depends que de x, celui de droite ne depend que de t.

Or cette equation est vraie8xet8t.

Ce qui impose que chaque membre est egale a une constanteK.quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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