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Exercice 6 du TD 6. Méthode de réduction de Gauss. Résumé : Lorsqu'on a une forme quadratique q on applique le cas 1 dès qu'il y a des x2.
Formes quadratiques
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Exercice 9 Appliquer la réduction de Gauss aux formes quadratiques suivantes afin de les écrire comme combinaisons linéaires de carrés de formes linéaires
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Donner une base de R3 orthogonale pour la forme quadratique Q Solution (1) En appliquant l'algorithme de Gauss (en commençant par x2) on trouve Q(x y
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Proposition 25 – Une base de E est orthogonale pour la forme quadratique q si et seulement si la matrice de q dans cette base est diagonale. Démonstration : la matrice Q de q dans la base (e1,,en) est définie par Qij = ?(ei,ej). Elle est donc diagonale si et seulement si ?(ei,ej)=0 pour i = j.Comment réduire une forme quadratique ?
Q ( x ) = a ( x 1 + B ( x 2 , … , x n ) 2 a ) 2 + C ( x 2 , … , x n ) ? B ( x 2 , … , x n ) 2 4 a . On a donc écrit la forme quadratique comme somme du carré d'une forme linéaire et d'une forme quadratique où x1 n'intervient plus. Il suffit alors de réitérer la méthode de Gauss avec C?B24a C ? B 2 4 a .- On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait q ( x ) = ? ( x , x ) .
Cas 1:Lorsqu"on a unx2idans l"expression de q :
Exemple :
q(x1,x2,x3) = 2x21+x22+x1x2-x1x3On s"occupe par exemple dex21On factorise les termes oùx1apparaît par le coefficient devantx21c"est-à-dire 2 et on recopie le reste de l"expression
sans la toucher : q(x1,x2,x3) = 2(x21+12 x1x2-12 x1x3) +x22On factorise parx1les termes oùx1apparaît :
q(x1,x2,x3) = 2? x21+x1?12
x2-12 x3?? +x22(1)On considère la parenthèse
?x21+x1?12 x2-12 x3??comme étant le début de l"identité remarquable du type(a+b)2: x21+x1?12
x2-12 x3?? x 1+?14 x2-14 x3?? 2 -?14 x2-14 x3? 2On ne touche plus du tout à la première parenthèse au carré qui est à présent le seul terme faisant apparaître du
x1. On calcule l"autre partie de l"expression :
x21+x1?12
x2-12 x3?? x 1+?14 x2-14 x3?? 2 -?14 x22-18 x2x3+116 x23?On réinsère le tout dans (1) :
q(x1,x2,x3) = 2? x 1+?14 x2-14 x3?? 2 -?14 x22-18 x2x3+116 x23? +x22 On regroupe les termes (en ne touchant pas à la parenthèse avecx1) : q(x1,x2,x3) = 2? x 1+?14 x2-14 x3?? 2 -2?14 x22-18 x2x3+116 x23? +x22 = 2 x 1+?14 x2-14 x3?? 2 +12 x22-18 x23+14 x2x3On réitère cette méthode tant qu"il reste desx2idans la nouvelle expression de q, sans toucher aux parenthèses
faisant apparaître lesxidéjà traités : ici on réitère ce que l"on vient de faire pourx22sans toucher à la parenthèse
avecx1que l"on a déjà traité et ainsi de suite jusqu"à ce qu"il n"y ait plus dex2i. S"il reste unxixjaveci?=j, on
applique alors le cas 2 ci-dessous; sinon, la méthode est finie. Cas 2:Lorsqu"on n"a aucunx2idans l"expression de q mais qu"on a unxixjaveci?=js:Exemple :
q(x1,x2,x3) = 3x1x2-8x1x3+ 5x2x3On s"occupe par exemple dex1x2.
On écrit q sous la forme :
q(x1,x2,x3) =ax1x2+x1×(expression sansx1)+x2×(expression sansx2)+(expression à la fois sansx1et sansx2)
C"est-à-dire :
q(x1,x2,x3) = 3x1x2+x1×(-8x3) +x2×(5x3)Ici, il ne reste pas d"expression à la fois sansx1et sansx2parce qu"on est surR3mais surR4il pourrait rester un
terme enx3x4et c"est ce terme que vous mettriez dans(expression à la fois sansx1et sansx2)et que recopieriez
1 simplement sans vous en occuper pour l"instant dans tout ce qui suit.On a donc en posant :???
?a= 3B=expression sansx1=-8x3
C=expression sansx2= 5x3
q(x1,x2,x3) =ax1x2+x1×(B) +x2×(C)On factorise par a :
q(x1,x2,x3) =a? x1x2+x1×?Ba
+x2×?CaPuis on écrit l"égalité suivante :
q(x1,x2,x3) =a4 x 1+Ca x 2+Ba 2 x 1+Ca x 2+Ba 2?Les deux parenthèses au carré sont les seules à contenir dux1ou dux2et ne devront plus du tout être touchées
(ici il n"y a de toute façon plus rien d"autre puisqu"on n"a pas eu de termes à la fois sansx1et sansx2puisqu"on
est surR3donc la méthode s"arrête là). On calcule et on trouve : q(x1,x2,x3) =34 x1+5x33
x2+-8x33
2 x1+5x33
x2+-8x33
2? et finalement : q(x1,x2,x3) =34 (x1+x2-x3)2-34 x1-x2+133
x3? 2Résumé :Lorsqu"on a une forme quadratique q, on applique le cas 1 dès qu"il y a desx2iet sinon on applique
le cas 2. On trouve alors une autre expression pour q. Si on était dans le cas 1 et qu"on s"est occupés dex2i, on ne
touche plus du tout la seule parenthèse au carré contenantxiet si on était dans le cas 2 et qu"on s"est occupé de
xixjaveci?=j, on ne touche plus aux 2 seules parenthèses au carré contenantxietxj. On développe toutes les
autres parenthèses et on applique alors à l"expression restante (l"expression sans les parenthèses que l"on ne touche
plus dont je viens de parler) le cas 1 ou le cas 2 selon s"il reste ou pas desx2iet on itère ainsi les cas 1 et/ou 2
jusqu"à obtenir q sous la forme d"une combinaison linéaire de formes linéaires du type, surR3par exemple :
q(x1,x2,x3) =α(f1(x1,x2,x3))2+β(f2(x1,x2,x3))2+γ(f3(x1,x2,x3))2 oùα,β,γ?R. 2quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] frequence genotypique definition
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