Formes bilinéaires formes quadratiques PDF

Formes quadratiques

Effectuons une réduction de GAUSS. Q((xy

Corrigé du devoir surveillé no1

Exercice I. Soit q: R3 → R la forme quadratique définie par la formule q(x y

Exercice 6 du TD 6. Méthode de réduction de Gauss. Cas 1 :Lorsqu

Résumé : Lorsqu'on a une forme quadratique q on applique le cas 1 dès qu'il y a des x2 i et sinon on applique le cas 2. On trouve alors une autre

TD7 : formes quadratiques

h) f(A) = tr(A)2 pour A ∈ Mn(R). Solution de l'exercice 1. On applique l'algorithme de Gauss pour diagonaliser la plupart de ces formes quadratiques. On

Exercices pour le 30 Avril Exercice 1

C'est donc bien une forme quadratique sur R4. 2. Quelle est sa forme polaire On applique la méthode de la réduction de Gauss. Q(x1x2

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Si A est positive et de rang 1 montrer en utilisant la réduction de Gauss de la forme quadratique associée à A Exercice 74. Dans R4 muni de la structure ...

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Exercice 6 du TD 6. Méthode de réduction de Gauss. Résumé : Lorsqu'on a une forme quadratique q on applique le cas 1 dès qu'il y a des x2.

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Exercice 6 du TD 6 Méthode de réduction de Gauss Cas 1 :Lorsqu'on a un x2 i dans l'expression de q : Exemple : q(x1x2x3)=2x2 1 + x2 2 + x1x2 ? x1x3

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Corrigé du devoir surveillé no1 Exercice I Soit q: R3 ? R la forme quadratique définie par la formule q(x y z) = x2 + 4xy + 6xz + 4y2 + 16yz + 9z2 1)

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Exercice 9 Appliquer la réduction de Gauss aux formes quadratiques suivantes afin de les écrire comme combinaisons linéaires de carrés de formes linéaires

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1`ere année Année 2015-2016 Alg`ebre 1 TD7 : formes quadratiques Exercices ? : `a préparer `a la maison avant le TD seront corrigés en début de TD

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Donner une base de R3 orthogonale pour la forme quadratique Q Solution (1) En appliquant l'algorithme de Gauss (en commençant par x2) on trouve Q(x y

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1 Formes quadratiques et formes polaires associées Exercice 1 WIMS : Formes on donne trois exemples de réduction de Gauss d'une forme quadratique

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2 déc 2020 · Si q et q deux formes quadratiques sur E ayant la même signature donc une réduction de Gauss de q pour trouver q(x) = 2 x1 ? 1

Comment calculer le rang d'une forme quadratique ?
Ils vérifient l'égalité : p + s = r où est le rang de la forme quadratique (ou de la forme bilinéaire symétrique).
Comment déterminer la base orthogonale d'une forme quadratique ?
Proposition 25 – Une base de E est orthogonale pour la forme quadratique q si et seulement si la matrice de q dans cette base est diagonale. Démonstration : la matrice Q de q dans la base (e1,,en) est définie par Qij = ?(ei,ej). Elle est donc diagonale si et seulement si ?(ei,ej)=0 pour i = j.
Comment réduire une forme quadratique ?
Q ( x ) = a ( x 1 + B ( x 2 , … , x n ) 2 a ) 2 + C ( x 2 , … , x n ) ? B ( x 2 , … , x n ) 2 4 a . On a donc écrit la forme quadratique comme somme du carré d'une forme linéaire et d'une forme quadratique où x1 n'intervient plus. Il suffit alors de réitérer la méthode de Gauss avec C?B24a C ? B 2 4 a .
On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait q ( x ) = ? ( x , x ) .

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Formes bilinéaires, formes quadratiques

Exercice 1.Déterminer, parmi les applications suivantes, quelles sont les applications bilinéaires

sur l"espace vectorielEspécifié.

1.E=R2,?((x1,x2),(y1,y2)) =x1y1+x2y2;

2.E=R2,?((x1,x2),(y1,y2)) =x21+x1y2;

3.E=R2,?((x1,x2),(y1,y2)) = (x2+x1)y2;

4.E=Mn(R),?(A,B) =Tr(AB)pour toutA,B?Mn(R).

5.E=C0([0,1],R)l"espace des fonctions continues sur[0,1]à valeurs réelles,

?(f,g) =? 1 0 f(t)g(t)dtpour toutf,g?C0([0,1],R).

6.E=R2,

?((x1,x2),(y1,y2)) = det?x1y1 x 2y2? Solution.Les résultas sont résumés dans le tableau suivant :1 2 3 4 5 6 bilinéaireoui non oui oui oui oui symétriqueoui - oui oui oui non Exercice 2.SoitE=R2. On notex= (x1,x2)ety= (y1,y2). Pour les formes bilinéaires suivantes, écrire leur matrice dans la base canoniqueB= (e1,e2), calculer leur rang et leur noyau et déterminer si elles sont symetriques.

1.?1(x,y) =x1y1+x2y2;

2.?2(x,y) =x1y2;

3.?3(x,y) =x1y2+x2y1;

4.?4(x,y) =x1y1-x2y2;

5.?5(x,y) =x1y2-x2y1;

6.?6(x,y) =x1y1;

7.?7(x,y) = (x1+x2)(y1+y2);

8.?8(x,y) =x1y1-32

x1y2-32 x2y1+ 6x2y2.

Étant donnée une forme symétrique?parmi les précédentes, déterminer l"ensemble{x?R2|

?(x,x) = 0}et le comparer avec le noyau.

Solution.Noyau et cône isotrope n"ont été définis que pour des formes bilinéaires symétriques.

Les résultats sont résumés dans le tableau suivant : 1

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matrice symétrique rang noyau cône isotrope 1(

1 00 1)oui 2 0 0

0 10 0)non 1 - -

0 11 0)oui 2 0Vect?1

0??Vect?0

1? 4?

1 00-1?oui 2 0Vect?1

1??Vect?1

-1? 5?

0 1-1 0?non 2 - -

1 00 0)oui 1Vect?0

1?Vect?0

1? 7(

1 11 1)oui 1Vect?1

-1?Vect?1 -1? 8? 1-3/2 -3/2 6? oui 2 0 0 Pour le calcul du cône isotrope deφ8on remarque :

8(x,x) =x21-3x1x2+ 6x22=?x1-32

x2? 2+154 x22. Comme la somme de termes positifs est positive,φ8(x,x) = 0si et seulement six1-32 x2= 0et x

2= 0, ce qui revient à direx1=x2= 0.Exercice 3.On considère les formes quadratiques suivantes surR3:

0(x,y,z) =x2+y2+xz, Q1(x,y,z) = 2x2+6xy-2xz+y2+4yz-3z2, Q2(x,y,z) =xy+3xz.

1. Pour chacune d"elles, écrire la matrice dans la base canonique de la forme bilinéaire sy-

métrique associée et déterminer son rang et son noyau.

2. DécomposerQ0,Q1etQ2en somme de carrés de formes linéaires indépendantes, et

déterminer pour chacune la signature et le rang.

3. Donner une base orthogonale pour chacune de ces formes quadratiques.

Solution.Les résultats sont résumés dans le tableau suivant :matrice rang noyau décomposition en somme de carréssignatureQ 0?

1 0 00 1 1/2

0 1/2 0?

3 0(x+12

z)2+y2-14 z2(2, 1) Q 1?

2 3-13 1 2-1 2-3?

2Vect?1-11?

(y+ 3x+ 2z)2-7(x+z)2(1,1) Q 2?

0 1/2 3/2

1/2 0 0

3/2 0 0?

2Vect?03-1?

14 (x+y+ 3z)2-14 (x-y-3z)2(1,1) On détaille les décomposition en sommes de carrés : Q

0(x,y,z) = (x+12

z)2-14 z2+y2, Q

1(x,y,z) = (y+ 3x+ 2z)2-7(x2+z2+xz) = (y+ 3x+ 2z)2-7(x+z)2,

2(x,y,z) =x(y+ 3z) =14

(x+y+ 3z)2-14 (x-y-3z)2. Pour la deuxième forme on a commencé par la variableyplutôt que la variablexpour ne pas devoir diviser par2.2

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Exercice 4.Soient?1,?2,?3les formes bilinéaires symétriques surR3dont les matrices dans la base canoniqueB= (e1,e2,e3)sont les suivantes : J 1=( (2 1 1 1 2 1

1 1 2)

, J2=( (2-1-1 -1 2-1 -1-1 2) , J3=( (2-1 0 -1 2-1

0-1 2)

Pour chacune d"elles, écrire la forme quadratique associéeqi(x1,x2,x3)puis écrireqicomme

somme de carrés de formes linéaires indépendantes et déterminer la signature et le rang deqi.

Démonstration.On a :

1(x,y,z) = 2(x2+y2+z2+xy+xz+yz),

2(x,y,z) = 2(x2+y2+z2-xy-xz-yz),

3(x,y,z) = 2(x2+y2+z2-xy-yz).

En appliquant l"algorithme de Gauss pour l"écriture d"un forme quadratique comme somme de carrés de formes linéaires, on obtient : 12 q1(x,y,z) =x2+y2+z2+xy+xz+yz=? x+y2 +z2 2+34 y

2+z2+23

yz? x+y2 +z2 2+34 y+z3quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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Comment calculer le rang d'une forme quadratique ?

Comment déterminer la base orthogonale d'une forme quadratique ?

Comment réduire une forme quadratique ?

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Formes bilinéaires, formes quadratiques

1.E=R2,?((x1,x2),(y1,y2)) =x1y1+x2y2;

2.E=R2,?((x1,x2),(y1,y2)) =x21+x1y2;

3.E=R2,?((x1,x2),(y1,y2)) = (x2+x1)y2;

4.E=Mn(R),?(A,B) =Tr(AB)pour toutA,B?Mn(R).

5.E=C0([0,1],R)l"espace des fonctions continues sur[0,1]à valeurs réelles,

6.E=R2,

1.?1(x,y) =x1y1+x2y2;

2.?2(x,y) =x1y2;

3.?3(x,y) =x1y2+x2y1;

4.?4(x,y) =x1y1-x2y2;

5.?5(x,y) =x1y2-x2y1;

6.?6(x,y) =x1y1;

7.?7(x,y) = (x1+x2)(y1+y2);

8.?8(x,y) =x1y1-32

Feuille 2 Sorbonne Université 2019-2020 2MA221

1 00 1)oui 2 0 0

0 10 0)non 1 - -

0 11 0)oui 2 0Vect?1

0??Vect?0

1 00-1?oui 2 0Vect?1

1??Vect?1

0 1-1 0?non 2 - -

1 00 0)oui 1Vect?0

1?Vect?0

1 11 1)oui 1Vect?1

8(x,x) =x21-3x1x2+ 6x22=?x1-32

2= 0, ce qui revient à direx1=x2= 0.Exercice 3.On considère les formes quadratiques suivantes surR3:

0(x,y,z) =x2+y2+xz, Q1(x,y,z) = 2x2+6xy-2xz+y2+4yz-3z2, Q2(x,y,z) =xy+3xz.

1. Pour chacune d"elles, écrire la matrice dans la base canonique de la forme bilinéaire sy-

2. DécomposerQ0,Q1etQ2en somme de carrés de formes linéaires indépendantes, et

3. Donner une base orthogonale pour chacune de ces formes quadratiques.

1 0 00 1 1/2

0 1/2 0?

3 0(x+12

2 3-13 1 2-1 2-3?

2Vect?1-11?

0 1/2 3/2

1/2 0 0

3/2 0 0?

2Vect?03-1?

0(x,y,z) = (x+12

1(x,y,z) = (y+ 3x+ 2z)2-7(x2+z2+xz) = (y+ 3x+ 2z)2-7(x+z)2,

2(x,y,z) =x(y+ 3z) =14

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1 1 2)

0-1 2)

Démonstration.On a :

1(x,y,z) = 2(x2+y2+z2+xy+xz+yz),

2(x,y,z) = 2(x2+y2+z2-xy-xz-yz),

3(x,y,z) = 2(x2+y2+z2-xy-yz).

2+z2+23