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La signature d'une forme quadratique q (ou d'une forme bilinéaire symétrique f ) est le couple d'entiers ( p s ) où p est le nombre de coefficients 



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  • Quelle est la signature de la forme quadratique ?

    La signature de la forme quadratique est le triplet (n 0 , n + , n ? ) , où n 0 est le nombre de 0 et n ± est le nombre de ?. La loi d'inertie de Sylvester montre qu'il s'agit d'une quantité bien définie attachée à la forme quadratique.

  • Comment déterminer le signe d'une forme quadratique ?

    La signature d'une forme quadratique (ou d'une forme bilinéaire symétrique ) est le couple d'entiers où est le nombre de coefficients positifs dans une décomposition de en carrés et le nombre de coefficients négatifs.

  • Comment montrer q Une application est une forme quadratique ?

    On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait q ( x ) = ? ( x , x ) .
  • Indice : L'indice de la forme quadratique est égal au nombre de valeurs propres positives de la matrice de forme quadratique. Signature : L'indice de la forme quadratique est égal à la différence entre le nombre de valeurs propres positives et le nombre de valeurs propres négatives de la matrice de forme quadratique.

Universite Grenoble-Alpes

Centre Dr^ome-Ardeche

Cours MAT244

Formes quadratiques, series

et series de Fourier pour la physique

RomainJoly

Derniere mise a jour : janvier 2016

Table des matieres

Chapitre 1 : Formes bilineaires et quadratiques1

1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 Applications et formes bilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Chapitre 2 : Espaces euclidiens et prehilbertiens11

1 Produits scalaires et normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Espaces euclidiens et bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3 Espaces prehilbertiens et approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4 Un mot sur les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chapitre 3 : Series21

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2 Criteres de convergence pour les series de termes positifs . . . . . . . . . .

22

3 Series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4 Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Chapitre 4 : Series de Fourier30

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2 L'espace des fonctionsCk;V P

Tper;m(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Series de Fourier et convergence au sensL2. . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4 Autres types de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5 Serie de Fourier en exponentielles complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Chapitre 5 : Applications aux EDP46

1 Decompositions de fonctions sur [0;L] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3 Equation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Chapitre 1 : Formes bilineaires et

quadratiques Le but de ce chapitre est d'introduire un contexte geometrique qui pourra ^etre utilise pour decrire les espaces-temps de la relativite, une grande partie des energies utilisees en physique et les produits scalaires.

1 Rappels

Dans la suiteEest un espace vectoriel reel, c'est-a-dire que cet espace est stable par addition (translation) et multiplication par un nombre reel (dilatation) : sixetysont dans Eet sietsont des reels, alors on peut denir un pointx+yqui est dansE.

Exemples :

Pour toutd1,Rdest un espace vectoriel { en particulier, le planR2, l'espaceR3 et l'espace-tempsR4. SiIest un intervalle deR, l'espaceC0(I;R) des fonctions a valeurs reelles continues surIest un espace vectoriel. De m^eme, l'espaceC1(I;R) des fonctions derivables et de derivee continue surIest un espace vectoriel.

L'espace des matricesMm;n(R).

Une application lineairefentre deux espaces vectorielsEetFest une fonctionf: E!Fqui commute avec les combinaisons lineaires : sixetysont dansEet siet sont des reels, alorsf(x+y) =f(x) +f(y).

Exemples :

L'applicationx2R37!(x1+ 2x3;x2x1)2R2est lineaire deR3dansR2. La derivationf2 C1(I;R)7!f02 C0(I;R) est lineaire. Une forme lineaire'sur un espace vectorielEest une application lineaire deEdans R.

Exemples :

Siy2R3, alorsx2R37! hxjyiest une forme lineaire.

L'integralef2 C0([0;1];R)7!R1

0f(x)dxest une forme lineaire.

1

Formes bilineaires et quadratiques

2 Applications et formes bilineaires

2.1 Denitions

Denitions 1.1.

SoientE,E0etFtrois espaces vectoriels reels.

Une applicationfdeEE0dansFest dite bilineaire si pour touty2E0,x7!f(x;y) est lineaire enxet si pour toutx2E,y7!f(x;y)est lineaire eny. Une forme bilineaire'surEest une application bilineaire deEEdansR. Une application bilineairefdeEEdansFest dite symetrique si :8x;y2 E; f(y;x) =f(x;y). Une application bilineairefdeEEdansFest dite anti- symetrique si :8x;y2E; f(y;x) =f(x;y). Remarque :Sifest bilineaire anti-symetrique surE, alorsf(x;x) =f(x;x) et donc f(x;x) = 0.

Exemples :

Le produit scalaire (x;y)2R3R37! hxjyi=x1y1+x2y2+x3y3est une forme bilineaire symetrique surR3. Le produit coordonnees par coordonnees (x;y)2R3R37!xy= (x1y1;x2y2;x3y3) est une application bilineaire symetrique deR3R3dansR3. Le produit vectoriel (x;y)2R3R37!x^y= (x2y3x3y2;x3y1x1y3;x1y2x2y1) est une application bilineaire anti-symetrique deR3R3dansR3.

L'application (f;g)7!R1

0f(x)g(x)dxdenit une forme bilineaire symetrique sur

C

0([0;1];R).

Le commutateur (M;N)2 Mn(R) Mn(R)7![M;N] =MNNMest une application bilineaire anti-symetrique deMn(R) Mn(R) dansMn(R). Le determinant 22 (x;y)2R2R27!x1y2x2y1est une forme bilineaire anti- symetrique par rapport aux colonnes de la matrice. L'application (x;y)2R2R27!x1y23x2y1+ 2x2y2est une forme bilineaire sur R

2qui n'est ni symetrique, ni anti-symetrique.

Exercice 1.2.

Verier les armations des exemples ci-dessus.

Denition 1.3.

A toute forme bilineaire'surE, on peut denir la forme bilineaire transposee t'part'(x;y) ='(y;x). On note qu'une forme est symetrique si et seulement si t'='et anti-symetrique si et seulement si t'='.

Proposition 1.4.

SoitEun espace vectoriel et'une forme bilineaire. Il existe une unique decomposition'='s+'aavec'sune forme bilineaire symetrique et'aune forme bilineaire anti-symetrique 2

Formes bilineaires et quadratiques

Demonstration :Pour l'existence, il sut de poser's=1 2 ('+t') et'a=1 2 ('t'). Par ailleurs, cette decomposition est unique puisque si'='s+'a, alors'+t'= 2's.

2.2 Representation matricielle

Soitfune application bilineaire deEE0dansF. La propriete de bilinearite montre que, pour toutx1;x22E,y1;y22E0et1,2,1et2reels, on a f(1x1+2x2;1y1+2y2) =11f(x1;y1)+12f(x1;y2)+21f(x2;y1)+22f(x2;y2): Le m^eme type de developpement montre la propriete suivante dans les espaces de dimension nie. Si (e1;:::;ed) est une base deEet (e01;:::;e0d0) est une base deE0et six=x1e1+ x

2e2+:::+xdedet siy=y1e01+y2e02+:::+yd0e0d0alors

f(x;y) =dX i=1d 0X j=1x iyjf(ei;e0j):

On en deduit les proprietes suivantes.

Proposition 1.5.

On suppose queEetE0sont de dimension nie avec(e1;:::;ed)et (e01;:::;e0d0)comme bases respectives. Une application bilineaire est connue si et seulement si on connait les imagesf(ei;e0j) des vecteurs de base. Une application bilineairefdeEEdansFest symetrique si et seulement si f(ei;ej) =f(ej;ei)pour touti6=j. Une application bilineairefdeEEdansFest anti-symetrique si et seulement si f(ei;ej) =f(ej;ei)pour touti6=jetf(ei;ei) = 0. En particulier, si'est une forme bilineaire surEEde dimension nie, alors '(x1e1+:::+xded;y1e1+:::yded) =dX i;j=1c i;jxiyj; ou le coecient reelci;jest deni par c i;j='(ei;ej): A toute forme bilineaire, on peut donc associer la matriceC= (ci;j)i;j=1;:::;dqui la denit dans la base (e1;:::;ed). Six= (x1;:::;xd) ety= (y1;:::;yd) dans cette base, alors '(x;y) =txCy= (x1;:::;xd)0 B @c

1;1c1;d.........

c d;1cd;d1 C A0 B @y 1... y d1 C A: 3

Formes bilineaires et quadratiques

La forme bilineaire'est symetrique si et seulement siCest symetrique. En outre, la transposee tCest la matrice representant la forme bilineaire transposeet'.

Exemples :

Le produit scalaire (x;y)2R3R37! hxjyi=x1y1+x2y2+x3y3est represente, dans la base canonique, par la matrice identite0 @1 0 0 0 1 0

0 0 11

A qui est symetrique. La forme lineaire (x;y)2R2R27!x1y23x2y1+ 2x2y2est representee, dans la base canonique, par la matrice0 1 3 2

2.3 Un peu de geometrie

Denitions 1.6.

Soit'une forme bilineaire symetrique surE. Deux vecteursxety sont dits orthogonaux (pour') si'(x;y) = 0. On note alorsx?y(oux?'yen cas d'ambigute). Un vecteurxest perpendiculaire a un sous-espaceFdeEsix?ypour tout y2F. Enn, on denit l'orthogonalF?d'un sous-espace comme l'ensemble des vecteurs orthogonaux af.

Proposition 1.7.

Six1etx2sont orthogonaux ay, alors1x1+2x2l'est aussi pour tous reels1et2. En particulier, F ?est un sous-espace vectoriel deE(qui contient0) xest orthogonal aFsi et seulement s'il est orthogonal a tous les vecteurs d'une base deF.

Exemples :

Dans une carte qui n'est pas a l'echelle (penser aux points pres des p^oles dans une carte du globe), les vecteurs (x1;x2) sont transformes en (x01;x02) = (x1;2x2). Pour garder l'ancienne geometrie, le nouveau produit scalaire dans ces coordonnees est (x0jy0) =x01y01+1 4 x02y02. Donc les vecteurs (1;2) et (1;2) sont orthogonaux dans les nouvelles coordonnees.

On considere la forme bilineaire symetrique

': (x;y)2R3R37!x1y1+ 2x2y3+ 2x3y2: Calculons l'orthogonal deF=vect((1;0;0);(0;1;0)). Soitxorthogonal aF. C'est equivalent ax?(1;0;0) etx?(0;1;0), ce qui se traduit par : x

11 + 2x20 + 2x30 = 0 etx10 + 2x20 + 2x31 = 0:

On doit donc avoirx1= 0 etx3= 0. DoncF?=R:(0;1;0). 4

Formes bilineaires et quadratiques

Denition 1.8.

Soit'une forme bilineaire symetrique surE. On appellenoyau de'et on note Ker(')l'ensemble des vecteurs orthogonaux a toutE(c'est-a-dire que Ker(') =E?). On dit que'est degeneree si Ker(')n'est pas reduit af0get non-degeneree sinon.

Proposition 1.9.

Soit'une forme bilineaire symetrique surRdetCla matrice associee une base quelconque. Alors,'est degeneree si et seulement si Ker(C)n'est pas reduit a0, i.e. det(C) = 0. Lerangde'est deni comme le rang deCet en particulier, rang(') =ddim(Ker(')).

Exemples :

Soitc >0, la forme bilineaire'((x;y;z;t);(x0;y0;z0;t0)) =xx0+yy0+zz0c2tt0est non-degeneree sur l'espace-tempsR4.

La forme bilineaire symetrique

': (f;g)2 C0([0;1];R) C0([0;1];R)7!Z 1 0 f(x)g(x)dx est non-degeneree. La forme bilineaire symetrique surR2'(x;y) =x1y1+x1y2+x2y1+x2y2est degeneree avec comme noyau Ker(') =R:(1;1).

3 Formes quadratiques

3.1 Denition et lien avec les formes bilineaires

Etant donnee une forme bilineaire'sur un espace vectorielE, on peut considerer la fonction q:x2E7!'(x;x): Cette fonction est appeleeforme quadratiqueassociee a'. Le termequadratiquevient de la proprieteq(x) =2q(x) et du fait que, dansRd, la formeqva s'ecrire comme un polyn^ome homogene de degre deux en les coordonnees. Exemples :On reprend les formes bilineaires juste ci-dessus. La forme quadratique de Lorentz sur l'espace-tempsR4est donnee parq(x;y;z;t) = x

2+y2+z2c2t2, oucest la vitesse de la lumiere.

q(f) =R1

0jf(x)j2dxest une forme quadratique surC0([0;1];R).

q(x) =x21+x22+ 2x1x2est une forme quadratique surR2. Si on dispose d'une forme quadratique, peut-on retrouver la forme bilineaire associee? Notons tout d'abord que si'='s+'aest la decomposition d'une forme bilineaire donnee 5

Formes bilineaires et quadratiques

par la proposition 1.4, alorsq(x) ='(x;x) ='s(x;x). La partie anti-symetrique n'a donc aucun eet sur la forme quadratique. On peut donc se restreindre a chercher une forme bilineaire symetrique'sassociee aq(qu'on appelleforme polaire). Pour retrouver'sa partir deq, on note que q(x+y) =q(x) + 2's(x;y) +q(y):

Proposition 1.10.

Soitqune forme quadratique surEassociee a une forme bilineaire symetrique's. Alors, pour toutxetydansE, on a :

L'identite du parallelogramme

q(x+y) +q(xy) = 2(q(x) +q(y)):

L'identite de polarisation

s(x;y) =1 2 (q(x+y)q(x)q(y)): En particulier, pour toute forme quadratiqueq, il existe une unique forme bilineaire sy- metrique'sassociee et elle est donnee par l'identite de polarisation. Toutes les formes bilineaires associees aqne dierent que par leur partie anti-symetrique'a. Dorenavant, on associera automatiquement la forme quadratique et la forme bilineaire symetrique donnee par l'identite de polarisation. On peut denir les formes quadratiques de maniere intrinseque comme suit.

Denition 1.11.

Une forme quadratique surEest une applicationq:E!Rveriant que(x;y)7!1 2 (q(x+y)q(x)q(y))est une forme bilineaire surE. Les denitions suivantes sont importantes pour la geometrie associee aux formes qua- dratiques.

Denitions 1.12.

Soitqune forme quadratique surE. On dit queqestdegeneree(resp. non-degeneree) si la forme bilineaire associee est degeneree (resp. non-degeneree). On appellevecteur isotropeun vecteurxtel queq(x) = 0. L'ensemble des vecteurs isotrope forme lec^one isotropedeq. On dit queqestdeniesiqn'a pas de vecteurs isotropes non nuls. On dit queqestpositive(resp. negative) siq(x)0pour toutx2E(resp.q(x)0. Exemple :La forme quadratique de Lorentzq(x;y;z;t) =x2+y2+z2c2t2surR4 est non-degeneree mais possede un c^one isotrope non-trivial appele c^one de lumiere (voir exercices).

Proposition 1.13.

Une forme quadratiqueqqui est denie est soit denie positive, soit denie negative. 6

Formes bilineaires et quadratiques

Dans le casE=Rd, on peut representerqpar la matrice symetriqueCrepresentant' et on identie le rang deqa celui de'. On a q(x) ='(x;x) =txCx= (x1;:::;xd)0 B @c

1;1c1;d.........

c d;1cd;d1 C A0 B @x 1... x d1 C A:

3.2 Reduction et signature

Theoreme 1.14.

Reduction de Gauss

Soitqune forme quadratique surRd. Il existekreels non nuls(i)i=1:::ketkformes lineaires independantes(`i)i=1:::k(donckd) tels que

8x2Rd; q(x) =1(`1(x))2+2(`2(x))2+:::+k(`k(x))2:

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