[PDF] [PDF] Ondes stationnaires - Physique PCSI1 Lycée Michelet

View - Download [PDF] Ondes stationnaires - Physique PCSI1 Lycée Michelet

Previous PDF

Next PDF

PCSI1Lycée MicheletONDES STATIONNAIRES

Table des matières

I. Superposition de deux ondes progressives. Ondes stationnaires. 2

1. Quelques simulations

2

2. Observation expérimentale : corde de Melde

3

3. Condition d"obtention d"une onde stationnaire

5 II. Expression mathématique d"une onde stationnaire 5

1. Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales

5

2. Description de l"onde stationnaire

6

3. Conditions aux limites et modes propres

7

4. Décomposition en mode propre

8

III.Autres exemples d"ondes stationnaires

9

1. Ondes acoustique stationnaires.

9

2. Autres exemples d"ondes stationnaires

10

Les ondes progressives sont solutions d"une équation dite équation d"onde qui est une équation

linéaire: on peut doncadditionnerles signaux correspondant à deux ondes progressives.

Remarque : pour des signaux de grande amplitude, la linéarité peut ne plus être vérifiée.

Jusqu"à présent on s"est intéressé à des ondes se propageant en milieu "ouvert". Lorsqu"un

milieu est limité, les ondes atteignant les frontières du milieu vont donner naissance à des

ondes réfléchies qui vont se superposer aux ondes incidentes... On va donc considérer dans un premier temps le cas simple de la superposition de deux ondes progressives 1D, se propageant dans des directions opposées. 1 I. Superposition de deux ondes progressives. Ondes sta- tionnaires.

1. Quelques simulations

réflexion d"une onde swf On observe tout d"abord la réflexion d"une perturbation (on sélectionne "signal"). Dans les

conditions de l"expérience la réflexion se fait avec inversion du signal : c"est le cas pour une

corde fixée à une de ses extrémités. superposition de deux signaux voir feuille de calcul SageMath : ipynb Sur cette première feuille de calcul, on superpose (i.eon additionne) deux signaux de profils inversés se propageant dans deux directions opposées (on peut imaginer une déformation sur une corde). À un moment les deux signaux s"annulent avant de se séparer à nouveau. superposition de deux ondes sinusoïdales progressives, de même amplitude et de même pul- sation, se propageant dans des directions opposées. voir feuille de calcul SageMath : ipynb Sur cette seconde feuille de calcul, on superpose deux ondes progressives sinusoïdales de même amplitude et de même pulsation qui se propagent à la même vitesse dans des directions oppo- sées : y

1(x;t) =Asin(!tkx)

y

2(x;t) =Asin(!t+kx+')

On n"observe plus de propagation : on parle alorsd"onde stationnaire. Contrairement à une onde progressive sinusoïdale,l"amplitude des oscillations dépend du point où on se place: on constate alors que certains points restent toujours immobiles (on les appelle desnoeudsde vibration), alors que d"autres oscillent avec une amplitude maxi- male (on les appelle desventresde vibration).L"écart entre deux noeuds successifs (ou entre deux ventres successifs) correspond à une demi-longueur d"onde des ondes progressives initiales. L"écart entre un noeud et un ventre successifs correspond à un quart de longueur d"onde des ondes progressives initiales. En retournant sur le site de la première simulation, mais en cliquant sur "sinusoïdal", on

observe la superposition du signal incident et du signal réfléchi, qui donne naissance à l"onde

stationnaire, pour laquelle le point de fixation, situé au niveau de l"obstacle, correspond à un

noeud de vibration. 2

2. Observation expérimentale : corde de Melde

La corde de Melde est une corde tendue fixée à ses deux extrémités (typiquement une corde

de guitare).

Elle peut fonctionner

e nmo delibre : on p incela corde et on la laisse ensuite vib rer.Compte ten udes frottemen ts avec l"air, la vibration s"atténue progressivement (exemple : corde de guitare, de piano...). e nmo deforcé : on en tretientles oscillations en fournissan tde l"énergie. Cela p ermetd"ob-

server des oscillations entretenues, les pertes énergétiques liées au frottement avec l"air étant

compensées par l"apport d"énergie due au vibreur (exemple : corde de violon, l"énergie étant

fournie par le frottement de l"archet sur la corde).

Expérience (réalisée en TP)

Le dispositif expérimental que l"on va utiliser est constitué d"une corde tendue à l"aide d"une

masse accrochée à une de ses extrémités. De l"autre côté un vibreur fait osciller de point d"at-

tache avec une amplitude très faible.On met en marche le vibreur et on observe... en général pas grand chose au départ. Cependant

si on modifie la fréquence du vibreur, on constate quepour certaines fréquencesune onde stationnaire apparaît : c"est le phénomène derésonance.

L"amplitude des oscillations du vibreur étant très faible devant l"amplitude de vibration maxi-

male de la corde à la résonance, on peut considérer que l"extrémité de la corde reliée au vibreur

est fixe.

On peut visualiser l"expérience sur le site :

ainsi que l"animation melde.html 3 Pour la fréquence la plus basse, notéef1, on observe :pourf2= 2f1pourf3= 3f1etc... On constate que la corde n"entre en vibration que pour certaines fréquences ditesfréquences propresoufréquences de résonance. On constate que ces fréquences sont des multiples def1dite fréquence du fondamental.

Les différentes configurations associées sont appeléesmodes propresde vibration de la corde.

Utilisation du stroboscope (voir TP)

Un stroboscope permet d"éclairer la corde grâce à des flashes très courts, émis avec une période

T strobo(et donc une fréquencefstrobo= 1=Tstrobo). Pour que la corde apparaisse fixe, il faut que la période du stroboscope soit un multiple de la

période du signal :Tstrobo=nT, et donc que sa fréquence soit un sous multiple de la fréquence

du signalfstrobo=fn . La fréquence maximale utilisable est doncf, puis ensuite, par ordre décroissantf=2,f=3etc... On se place en général à la fréquence maximalefstrobo=f.

Supposons que l"on ait réglé le stroboscope àfstrobo=f. Si on souhaite décomposer le mouve-

ment il suffit de décaler légèrement la fréquence du stroboscope. AinsiTstrobo=T+t.

Sit <0(on a augmenté légèrement la fréquence), la corde n"a pas tout à fait rejoint la

position qu"elle occupait au flash précédent.

Sit >0(on a diminué légèrement la fréquence), la corde a dépassé la position qu"elle occupait

au flash précédent. 4

3. Condition d"obtention d"une onde stationnaire

Prenons l"exemple de la corde de Melde : la corde est fixée à ses deux extrémités : ces deux

extrémités doivent donc coïncider avec des noeuds de vibration. Or deux noeuds de vibration sont au moins distants d"une demi-longueur d"onde.Ldoit donc vérifier la condition, pour un mode donné : L=nn2 avecn2Non peut alors en déduire les fréquences possibles, puisquen=cTn=cf n:

L=nc2fn

On aura donc vibration pour les fréquencesfvérifiant : f n=nc2L=nf1avecn2Navecf1=c2Lfréquence du mode fondamental. II. Expression mathématique d"une onde stationnaire

1. Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales

Considérons le cas le plus général de la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales

de même amplitude et de même pulsation, se propageant dans des directions opposées : y(x;t) =y1(x;t) +y2(x;t) =Asin(!tkx+'1) +Asin(!t+kx+'2) =A[sin(!tkx+'1) + sin(!t+kx+'2)] en utilisant la relation trigonométrique :sinp+ sinq= 2sinp+q2 cospq2 on obtient y(x;t) = 2Asin !t+'1+'22 cos kx+'1'22 = 2Asin !t+'1+'22 cos kx+'2'12 si on pose '1+'22 =','2'12 =et2A=y0on obtient y(x;t) =y0sin(!t+')cos(kx+) que l"on peut également exprimer sous la forme : y(x;t) =y0sin(!t+')sin(kx+ ) 5 avec =+2 Lorsqu"on observe le résultat, on constate que la fonctiony(x;t)obtenue s"exprime comme un produit d"une fonction dexpar une fonction det(en l"occurrence ici des fonctions sinusoïdales). De manière générale quand une fonction s"exprime sous la formey(x;t) =f(x)g(t), on dit que c"est une fonction à variables séparées. Ce n"est plus une expression de la forme y(x;t) =f(xct). On n"observe plus de propagation. Cela correspond bien à uneonde stationnaire.

Retenir :

L"expression générale de la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales de même

amplitude et de même pulsation se propageant dans des directions opposées s"écrit : y(x;t) =y0sin(!t+')sin(kx+ ) aveck=!c Remarque :Les expressions suivantes sont équivalentes : y(x;t) =y0sin(!t+')cos(kx+) y(x;t) =y0cos(!t+ )cos(kx+) y(x;t) =y0cos(!t+ )sin(kx+ ) avec= 2 et ='2

2. Description de l"onde stationnaire

Considérons l"onde stationnaire

y(x;t) =y0sin(!t+')sin(kx+ ) aveck=!c

On peut écrire

y(x;t) =A(x)sin(!t+')avecA(x) =y0sin(kx+ ): L"amplitude des oscillations dépend du point où on se place : elle est maximale au niveau des ventres de vibration et nulle au niveau des noeuds de vibration. En un point d"abscissex donnée, l"amplitude des oscillations vaudra :

A(x) =jA(x)j=jy0sin(kx+ )j

noeuds de vibration:A(x) = 0poursin(kx+ ) = 0soit pourx=xn;ptel que kx n;p+ =pavecp2Z x n;p=pk k avecp2Z x n;p=p2 k avecp2Z x n;p=p2 k avecp2Z 6 La distance entre deux noeuds consécutifs est égale à une demi-longueur d"onde (xn;p+1 x n;p=2 ventres de vibration:A(x) =Amax=jy0jpoursin(kx+ ) =1soit pourx=xv;ptel que kx v;p+ =2 +pavecp2Z x v;p=2k+pk k avecp2Z x v;p=2 2 +p2 k avecp2Z x v;p=4 +p2 k avecp2Z

La distance entre deux ventres consécutifs est égale à une demi-longueur d"onde (xv;p+1xv;p=

2 La distance entre un noeud et un ventre consécutifs est égale à un quart de longueur d"onde (xv;pxn;p=4

Enfin, les points situés entre deux noeuds successifs vibrent en phase alors que les points situés

de part et d"autres d"un même noeud vibrent en opposition de phase.3. Conditions aux limites et modes propres

Retrouvons à présent la quantification des fréquences. L"onde stationnaire de la forme y(x;t) =y0sin(!t+')sin(kx+ ) aveck=!c doit vérifier les conditions aux limites spatiales suivantes : aux points de fixations (x= 0etx=L) la vibration est nulle, la fonctiony(x;t)doit donc vérifier :

8t y(0;t) = 0(CL1)

8t y(L;t) = 0(CL2)

7 soit, en exprimant (CL1) :

8t y(0;t) =y0sin(!t+')sin( ) = 0d"oùsin( ) = 0, = 0 ou

on choisit = 0(choisir =reviendrait à inverser le signe dey0). en exprimant (CL2) :

8t y(L;t) =y0sin(!t+')sin(kL) = 0d"oùsin(kL) = 0

on en déduitkL=navecn2Nd"oùk=nL =knce qui permet de retrouver la condition vérifiée parL:2 n=nL L=nn2 ainsi que les fréquences et pulsations associées :fn=nc2L=nf1! n= 2fn=ncL avecf1=c2Lfréquence du mode fondamental.

On aura donc, pour le modendonné :

y n(x;t) =y0nsin ncL t+'n sin nL x avecn2Nqui correspond à la forme mathématique du moden. Remarques :La limitation spatiale de l"onde entraîne une quantification des fréquences : seul un nombre discret de fréquences peuvent exister. Les valeurs des fréquences propres dépendent directement de la nature des conditions aux limites imposées à la cordes.

4. Décomposition en mode propre

Quand on pince une corde, on a peu de chance d"exciter un unique mode. En réalité la vi- bration de la corde résulte de lasuperpositiondes différents modes. On peut, sous certaines conditions, éviter d"exciter certains modes suivant l"endroit où on pince la corde. Le signal s"exprimera donc de manière générale sous la forme y(x;t) =1X n=1y n(x;t) =1X n=1y 0nsin ncL t+'n sin nL xLes valeurs des amplitudesy0net des phases initiales'npeuvent se déduire des conditions

initiales en position et en vitesse de la corde, grâce à l"analyse de Fourier, mais cela dépasse le

cadre du programme de première année 1. Les différentes valeurs desy0nindiquent comment se répartissent les différentes harmoniques dans le spectre. L"importance relative des différentes harmoniques est lié au timbre.

Le spectre est en fait plus complexe : il dépend du temps.1. à titre indicatif on pourra consulter la feuille de calcul sage :http://nbviewer.jupyter.org/url/

8

III. Autres exemples d"ondes stationnaires

1. Ondes acoustique stationnaires.

Pour obtenir des ondes acoustiques 1D on peut utiliser un tuyau. Ce dernier étant de longueur Lfinie, les ondes acoustiques devront s"établir en milieu limité.

La plupart des instruments à vent sont constitués d"un tuyau cylindrique avec des extrémités

ouvertes ou fermées.

Lorsque l"extrémité du tuyau est ouverte, la pression imposée est la pression atmosphérique

P

0, la surpression sera donc nulle.

Par contre la vitesse de déplacement des "particules fluides" a une amplitude maximale.

L"extrémité d"un tuyau ouvert correspond à un noeud de surpression.Lorsque l"extrémité du tuyau est fermée, le mouvement des particules fluides est nul (on a

donc un noeud en pour la vitesse de déplacement des particules fluides) et on admettra que l"amplitude de la surpression est maximale. L"extrémité d"un tuyau fermé correspond à un ventre de surpression.Application : Un instrument de musique se modélise par une cavité de longueur`, fermée à une extrémité et ouverte à l"autre.

La vitesse du son dans l"air estc= 340m.s1.

1) Quelle doit être la longueur du tuyau pour que la plus

faible fréquence d"une onde stationnaire soitf1= 440Hz (La4).

2) Quelle fréquencef2immédiatement supérieure peut

exister?

3) Donner l"expression générale de toutes les fréquences

possibles des ondes stationnaires pouvant s"établir dansquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

[PDF] résonance d'un tube ouvert

[PDF] 2069 rci sd 2017

[PDF] onde stationnaire tube de kundt

[PDF] onde stationnaire equation

[PDF] tuyau sonore musique

[PDF] ondes stationnaires cours

[PDF] mecenat

[PDF] notice 2041 gr 2016

[PDF] fréquence respiratoire nourrisson

[PDF] opération sur les limites de suites

[PDF] convergence d'une suite 1ere s

[PDF] frequence son chauve souris

[PDF] écholocation chauve souris ece

[PDF] cours d acoustique pdf

[PDF] pourquoi la pression de l air change t elle au passage d une onde acoustique