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Étude numérique des fréquences de

résonance d"un tube cylindrique ouvert de type "flute".

Julien DECROP

Master 1 Mécanique et Énergétique - Université Paul Sabatier

Responsable : M. David FABRE

Remerciements

Je tiens tout d"abord à remercier M. David Fabre pour m"avoir permis de réaliser ce projet et m"avoir guidé tout au long de sa réalisation. Aussi bien sur l"approche théorique que numérique. Mais aussi sur l"aspect acoustique et musical. Et de m"avoir apporté ses conseil sur le choix des logiciels de rédaction tel que LateX et Xfig.

Résumé :

Étude numérique des fréquences de résonance d"un tube cylindrique ouvert de type "flute". Cette étude porte sur les fréquences de résonance d"instruments a vent sous la forme d"un tube cylindrique ouvert de type flûte à bec. Nous procédons dans un premier temps à l"étude théorique de l"acoustique ondulatoire. Puis nous nous rap- porterons à l"étude impédancielle d"un tube cylindrique percé. Nous procédons ensuite à la validation numérique de notre programme d"étude en vérifiant l"influence de divers paramètres du maillage sur sa précision. Puis nous étudierons l"influence des dimensions du tube sur les fréquences de résonance. Ainsi que l"influence de la position d"un trou le long du tube sur ces mêmes fréquences. Pour finir nous comparerons nos résultats théoriques à nos résultats numérique pour notre flûte.

Abstract :

Numerical study of resonance frequencies of an open cylinder like a recorder. This study deals with the resonance frequencies of woodwind instruments lyke open cylinder lyke recorder. We will first start with a theorical study of ondulating acoustic before turning on an impedancial study of an open cylinder. After the numerical validation of our program, checking the influence of various mesh parameters on its precision, we will focus on a study about the effect of the pipe"s dimensions on the resonance frequencies and about the effect of a hole"s position along the pipe on these frequencies. To finis, we will compare the theorical result with the numerical ones concerning the recorder.

Table des matières

1 Introduction 2

2 Étude théorique 2

2.1 Mise en place de l"équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.2 Validation des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3 Impédance acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3.1 Calcul de l"impédance de la flûte présentée ici . . . . . . . . .

7

3 Validation numérique 8

3.1 Présentation du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2 Validation du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2.1 Influence du rayon extérieur Rext . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.2.2 Influence de la densité du maillage . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.2.3 Influence de l"uniformité du maillage . . . . . . . . . . . . . .

12

3.3 Validation en présence de trous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4 Simulation numérique 16

4.1 Influence du rapport longueur/diamètre du tube . . . . . . . . . . . .

16

4.2 influence de la position du trou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.3 Comparaison théorique et numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

5 Conclusion 20

6 Annexes 21

1

1 Introduction

Le son est la propagation d"une onde mécanique dans un milieu fluide ou solide, on parle d"onde acoustique. Cette onde engendre, lors de son passage une pertur- bation locale de pression. On lui associe une célérité qui dépend du milieu et une

fréquence. Notre oreille est constituée de telle manière qu"elle réagit à cette pertur-

bation et transmet une information auditive à notre cerveau. Nos oreilles sont des capteurs capable de détecter toute onde acoustique dont la fréquence est comprise généralement entre 20Hz et 20kHz. L"homme à cherché depuis la nuit des temps à créer des instruments capable de reproduire des sons. Tout d"abord comme signal d"alarme en cas de danger puis dans le cadre du développement des arts avec la musique. L"étude de l"acoustique, des ins- truments de musique et leurs modélisation nous donne aujourd"hui des outils pour la synthèse sonore et la facture instrumentale des instruments d"hier, d"aujourd"hui et de demain. Elle à permis par exemple de reproduire récemment le son émis par les trompettes Gauloises, ou Carnyx de façon numérique. Dans le cadre du Master Mécanique-Énergétique nous avons ainsi réalisé un projet basé sur la compréhension et la validation numérique de l"acoustique d"instruments à vent de type Flûte et nous avons vérifié l"influence de trous sur les fréquences de résonance d"un tel instrument. Pour l"approche expérimentale je vous invite à consulter les travaux de M. P. BONNEFIS et S. RUEDA, qu"ils ont réalisé sur ce sujet [5].

2 Étude théorique

Dans un tuyau à symétrie cylindrique le son est assimilé à la propagation d"une onde plane matérialisée par le déplacement d"une perturbation locale de pression.

Nous allons dans un premier temps établir l"équation des ondes.Figure1 - Déplacement d"une onde plane et sa réflexion dans le tuyau et déplacement d"une

onde sphérique à l"extérieur sans réflexion.

2.1 Mise en place de l"équation des ondes

Pour un fluide parfait dans le cas mono-dimensionnel on peut poser en tout point ~xà l"instanttla masse volumique(~x;t), la pressionp(~x;t), la vitesse~v(~x;t)et la 2 températureT(~x;t). L"équation de conservation de la masse s"écrit donc : @@t =div(:~v)(1) l"équation de la conservation de la quantité de mouvement, ou équation d"Euler : @~v@t + (~v:~r)~v=1 ~rp(2) L"établissement des équations de l"acoustique en fluide parfait repose sur l"hypo- thèse que les ondes acoustiques sont une perturbation de l"état de base du fluide (au repos dans ce cas). Ainsi on écrit les champs de masse volumique, de pression, de température et de vitesse, comme étant la somme de l"état de base (le repos) plus la perturbation acoustique (notée avec l"indicea) : (~x;t) =0+a(~x;t)(3) p(~x;t) =p0+pa(~x;t)(4) ~v(~x;t) =~v0+~va(~x;t)(5) Où0,p0et~v0sont les paramètres du fluide dans l"état de base. Comme notre

état de base est le repos on pose~v0= 0.

En injectant les équation 3 et 5 dans l"équation de conservation de la masse (eq.1) on obtient : @(0+a)@t +div[(0+a)~va] = 0 En ne gardant que les termes d"ordre 1 et en remarquant que la masse volumique au repos ne dépend ni du temps ni de l"espace on obtient l"équation de conservation de la masse linéarisée :@a@t +0div(~va) = 0(6) On linéarise maintenant l"équation d"Euler en injectant les équations (3), (4) et (5) dans (2) : (0+a)@~va@t + (~va:~r)~va=~r(p0+pa) On ne conserve là encore que les termes d"ordre 1. On négligera donc le terme convectif(~va:~r)~vaainsi que le termea@ ~va@t qui sont des termes d"ordre 2. L"équation d"Euler linéarisée s"écrit donc : 0@~v a@t =~rpa(7) Pour un fluide parfait au repos on considère que la température reste constante et donc que la pression dépend uniquement de la masse volumique. En considérant que la perturbation de masse volumique est très faible devant la masse volumique au repos on peut faire un développement de Taylor à l"ordre 1 de la pression au voisinage de0: p() =p(0+a) =po+@p@ a+ (2a) 3 D"après la définition de la pression acoustique (eq. 4) : p a=@p@ a(8)

Par analyse dimensionnelle on démontre :

@p@ =pa Soit la dimension d"une vitesse au carré. On pose par convention :c2=@p@ oùcest la célérité de l"onde acoustique, soit la vitesse du son. En injectant l"équation (8) dans l"équation de conservation de la masse (6) on sup- prime la dépendance en masse volumique que l"on dérive ensuite par rapport au temps puis en permutant les opérateurs @@t etdiv: 1c 2@p a@t +0div(~va) = 0(9) 1c 2@ 2pa@t

2+0@@t

div(~va) = 0(10) 1c 2@ 2pa@t

2+0div(@~va@t

) = 0(11) Et en y injectant l"équation (7) on obtient l"équation des ondes à 3 dimensions sur la pression : 1c 2@ 2pa@t

2= pa(12)

En prenant le gradient de l"équation (10) et en remplaçant le gradient depapar l"équation d"Euler linéarisée (7) on obtient l"équation des ondes sur la vitesse : 1c 2@

2~va@t

2= ~va(13)

Dans le cas d"un écoulement irrotationnel on peut utiliser l"écriture sous forme potentielle avec~v=r: 1c 2@ 2@t

2= (14)

On obtient l"équation des ondes tridimensionnelle sur le potentiel qui est résolue par notre programme.

2.2 Validation des conditions aux limites

Notre programme résout l"équation des ondes (14) sur un domaine que nous avons fixé. Nous avons du inclure certaines conditions aux limites de ce domaine pour le résoudre. Notre domaine étant fini nous devons poser des conditions aux limites de telle sorte qu"elles se rapportent le plus possible à un domaine infini. A l"extrémité du tuyau on assimile l"onde à une onde sphérique se propageant dans le milieu. On se place donc en coordonnées sphériques pour résoudre l"équation des ondes. Le Laplacien s"écrit donc : 4 1r 2@@r (r2@@r ) +1r

2sin@@

(sin@@ ) +1r

2sin2@

2@ 2 De par les symétries de l"onde sphérique nous avons invariance suretce qui nous permet de réduire l"expression du Laplacien aux termes enruniquement. l"équation des ondes (14) devient : 1c 2@ 2@t 2=1r 2@@r (r2@@r )(15) en développant la dérivée sur r il vient : 1r 2@@r (r2@@r ) =2r @@r +@2@r 2=1r 2r@r 2 On trouve l"équation des ondes simplifiée en coordonnées sphériques : 2r@r 2=1c 2@ 2r@t 2(16)

Dont les solutions sont de la forme :

r= [Aeikr+Beikr]ei!t aveck=!c le nombre d"onde. =Ar eik(ctr)+Br eik(ct+r)(17)

On trouve donc quelque chose de la forme=1r

f(ctr) +1r g(ct+r)oùfetg sont des fonctions qui décrivent la propagation d"une surface d"onde divergente (f) qui se réfléchi et devient une onde convergente (g) qui se focalise à l"origine. Dans un domaine infini l"onde n"est pas réfléchie. L"onde convergente ne peut pas venir de l"infini, elle n"est donc pas physique. De plus lorsquer! 1,! 1ce qui n"est pas possible. Il nous faut donc poser la conditionB= 0ce qui implique naturellement en dérivant la solution la condition limite suivante sur la sphère : @@r = (ik1r )(18)

2.3 Impédance acoustique

On peut définir l"impédance acoustique par analogie avec l"impédance électrique et la loi d"Ohm (Figure 2). L"impédance acoustique est définie comme le rapport entre la pression acoustiquep(xi;t)et la vitesse~v(xi;t): ~v a=paZ ~n(19) Pour le tube on résout l"équation des ondes pour la vitesse et la pression en coor- données cylindrique et on obtient l"impédance du tuyau :

Z(x;t) =Sc

Ae ikx+BeikxAe ikxBeikx(20)

AvecS=R2pipeet on poseSc

=Z0l"impédance caractéristique du tuyau qui ne dépend que du milieu et des dimensions du tuyau. On applique les conditions aux 5 Hp p 0l p b H(a)Z trou Z reste tube Z bout tube

Longueur acoustiqueLaE

pFigure2 - Schéma d"un tube et de son impédance limites du tuyau pour déterminerAetB:

Enx= 0on obtientZinput:

Z input=Z0A+BAB(21)

Enx=L:

Z

L=Z0AeikL+BeikLAe

ikLBeikL(22)

On en déduit :

B=e2ikLZLZ0Z

L+Z0A(23)

Ce qui réinjecté dans l"équation (21) puis en la développant donne : Z input=Z0ZLcos(kL) +iZ0sin(kL)Z

0cos(kL) +iZLsin(kL)

(24) Pour un tuyau ouvert idéal il y a un noeud de pression à la sortie, les variablesquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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