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Chapitre 4: Croissance divergence et convergence des suites - 4.1

La suite (un) donnée par un = n2 – n + 3 est strictement croissante car pour tout n ? IN *. un+1 ? un = Page 2. CHAPITRE 4. CROISSANCE ET CONVERGENCE.



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En première approche nous dirons qu'une suite n'est rien d'autre qu'une succession de nombres



Convergence des suites

À sa suite Weierstrass donnera la première définition axiomatique rigoureuse de La convergence ou divergence d'une suite s'appelle sa nature.



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Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques

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Par abus de langage on pourrait dire que la suite (un) pousse la suite Ce théorème permet de s'assurer de la convergence mais ne donne pas la limite.



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Théorème de convergence monotone : - Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente - Si une suite décroissante est minorée alors elle est 



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Dans une première partie nous allons donc définir la convergence des suites et la limite d'une suite Nous chercherons à étendre cette notion de limite via les 

  • Comment déterminer la convergence d'une suite ?

    Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.

  • C'est quoi la convergence d'une suite ?

    On sait que : Si la suite est croissante et majorée, elle converge. Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.

  • Comment expliquer la convergence ?

    ? convergence

    1Fait de converger, de tendre vers un même point : La convergence de deux lignes.2Fait de tendre vers un même but ou un même résultat : La convergence des efforts.3Fait de présenter des analogies, des points communs : Les convergences entre nous sont nombreuses.
  • La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
1

LES SUITES (Partie 2)

I. Limites et comparaison

1) Théorèmes de comparaison

Théorème 1 :

Soit (u

n ) et (v n ) deux suites définies sur ℕ.

Si, à partir d'un certain rang,

et lim =+∞ alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que la suite (u n ) pousse la suite (v n ) vers +∞ à partir d'un certain rang.

Démonstration au programme :

Soit un nombre réel a.

- lim =+∞, donc l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1

On a donc pour tout ≥

6 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 2 , on a - Ainsi pour tout ≥max( 6 ), on a : <

On en déduit que l'intervalle

contient tous les termes de la suite (v n ) à partir du rang max( 6

Et donc lim

Théorème 2 :

Soit (u

n ) et (v n ) deux suites définies sur ℕ.

Si, à partir d'un certain rang,

et lim =-∞ alors lim 2 Méthode : Déterminer une limite par comparaison

Vidéo https://youtu.be/iQhh46LupN4

Déterminer la limite suivante : lim

-1 -1 ≥-1 donc -1 -1

Or lim

-1=+∞ donc par comparaison lim -1

2) Théorème d'encadrement

Théorème des gendarmes :

Soit (u

n ), (v n ) et (w n ) trois suites définies sur ℕ.

Si, à partir d'un certain rang,

et lim =lim = alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que les suites (u n ) et (w n ) (les gendarmes) se resserrent autour de la suite (v n ) à partir d'un certain rang pour la faire converger vers la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich.

Démonstration :

Soit un intervalle ouvert I contenant L.

- lim =, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1 3 - lim =, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 2 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 3 , on a - Ainsi pour tout ≥max( 6 ), l'intervalle I contient tous les termes de la suite (v n

Et donc lim

Méthode : Déterminer une limite par encadrement

Vidéo https://youtu.be/OdzYjz_vQbw

Déterminer la limite suivante : lim

1+

BCD

1 sin 1

Or : lim

1 =lim 1 =0 donc d'après le théorème des gendarmes lim sin =0

Et donc lim

1+

BCD

=1.

II. Suites majorées, minorées, bornées

1) Définitions :

Définitions : - La suite (u

n ) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier n ϵℕ, - La suite (u n ) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier nϵℕ, - La suite (u n ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples :

- Les suites de terme général cos ou -1 sont bornées. - La suite de terme général n 2 est minorée par 0. Méthode : Démontrer qu'une suite est majorée ou minorée

Vidéo https://youtu.be/F1u_BVwiW8E

On considère la suite (u

n ) définie pour tout entier naturel n par *6 6 +2 et O =2. Démontrer par récurrence que la suite (u n ) est majorée par 3. 4 • Initialisation : O =2<3

La propriété est donc vraie pour n = 0.

• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : Q <3. - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : Q*6 <3.

On a :

Q <3 donc 6 6

×3 et donc

6 +2< 6

×3+2.

Soit :

Q*6 <3 • Conclusion :

La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe

de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : <3.

2) Convergence des suites monotones

Propriété : Soit (u

n ) une suite croissante définie sur ℕ.

Si lim

= alors la suite (u n ) est majorée par L.

Démonstration par l'absurde :

Démontrons par l'absurde en supposant le contraire, soit:"Il existe un rang p, tel que T - L'intervalle ouvert V-1; T

W contient L.

Or, par hypothèse, lim

=. Donc l'intervalle V-1; T

W contient tous les termes

de la suite (u n ) à partir d'un certain rang (1). - Comme (u n ) est croissante : T pour >.

Donc si >, alors

∉V-1; T W (2). (1) et (2) sont contradictoires, on en déduit qu'il n'existe pas p ϵℕ, tel que T

Et donc la suite (u

n ) est majorée par L.

Théorème de convergence monotone :

- Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente. - Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente. - Admis -

Remarque :

Ce théorème permet de s'assurer de la convergence mais ne donne pas la limite. Dans l'exemple ci-dessous, la suite décroissante est minorée par 2. Cela prouve que la limite de la suite est supérieure à 2 mais n'est pas nécessairement égale à 2. 5 Méthode : Utiliser le théorème de convergence monotone

Vidéo https://youtu.be/gO-MQUlBAfo

On considère la suite (u

n ) définie pour tout entier naturel n par *6 6 +2 et O =2.

Démontrer que la suite (u

n ) est convergente et calculer sa limite. - On a démontré dans le paragraphe I. que la suite (u n ) est croissante. On a démontré dans la méthode précédente que la suite (u n ) est majorée par 3. D'après le théorème de convergence monotone, on en déduit que la suite (u n ) est convergente. - On pose :lim *6 =lim

Or

*6 6 +2, donc lim *6 =lim 1 3 +2= 1 3 +2 par produit et somme de limites. Une limite étant unique, on en déduit que = 1 3 +2, soit L = 3.

La suite (u

n ) converge donc vers 3.

Corollaire :

1) Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +∞.

2) Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers -∞.

Démonstration au programme du 1) :

Soit un réel a.

Comme (u

n ) n'est pas majorée, il existe un entier p tel que T

La suite (u

n ) est croissante donc pour tout >, on a : T

Donc pour tout >, on a :

6 Et donc à partir d'un certain rang p, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle

On en déduit que lim

III. Comportement à l'infini d'une suite géométrique

1) Rappel

Définition : Une suite (u

n ) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : *6

Le nombre q est appelé raison de la suite.

Exemple : La suite (u

n ) définie par *6 =-3 et O =5 est une suite géométrique de raison -3 et de premier terme 5.

Propriété : (u

n ) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0

Pour tout entier naturel n, on a :

O Exemple : Pour la suite précédente, on a pour tout n : =5× -3

2) Limites

q lim

Pas de limite

0 1 +∞

Démonstration au programme dans le cas q > 1 :

Prérequis : Pour tout entier naturel n, on a :

1+

≥1+ (inégalité de Bernoulli), démontrée dans le chapitre " LES SUITES (Partie 1) Paragraphe I. ». On suppose que >1, alors on peut poser =+1 avec >0.

1+

≥1+.

Or lim

1+=+∞ car >0.

Donc d'après le théorème de comparaison : lim

Exemple :

La suite de terme général -5×4

a pour limite -∞ car lim 4

3) Somme des termes d'une suite géométrique

Propriété : n est un entier naturel non nul et q un réel différent de 1 alors on a :

1++

1-

*6

1-

7 Méthode : Utiliser la limite d'une suite géométrique

Vidéo https://youtu.be/XTftGHfnYMw

Déterminer les limites suivantes :

)lim -2 3 )lim 2 -3 )lim 1+ 1 2 1 2 a 1 2 a 1 2 a a) -2 est une suite géométrique de raison -2 strictement inférieure à -1. Donc -2 ne possède pas de limite.

Et donc lim

b -2 c 3 n'existe pas. b) • lim 2 =+∞ et lim 3 Il s'agit d'une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination : 2 -3 =3 2 3 -1a=3 e 2 3 a -1f • Or lim g 2 3 h =0, car g h est une suite géométrique de raison avec -1< <1.

Donc : lim

g h -1=-1.

Or lim

3 =+∞ car 3 est une suite géométrique de raison 3 strictement supérieure à 1.

Donc par limite d'un produit lim

3 gg h -1h=-∞

Soit : lim

2 -3 c) On reconnaît les n premiers termes d'une suite géométrique de raison 6 et de premier terme 1. Donc : 1+ 1 2 1 2 a 1 2 a 1 2 a 1-g 6 h *6 1- 6 =2×e1- 1 2 a *6 f 8

Or lim

g 1 2 h +1 =0, comme limite d'une suite géométrique de raison 6 avec -1< 6 <1.

Donc : lim

1-g 6 h *6 =1.

Et donc : lim

21-g

6 h *6 a=2.

Soit : lim

1+ 6 +g 6 h +g 6 h +⋯+g 6 hquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
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