[PDF] Cinétique - Torseur cinétique- Torseur dynamique - Énergie cinétique

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Cinetique

Torseur cinetique- Torseur dynamique -

Energie cinetique

Papanicola

Lycee Jacques Amyot

7 octobre 2012Sommaire

Torseur cinetique

Denition

Resultante cinetique

Changement de point

Solide indeformable

Torseur dynamique

Denition

Changement de point de

reduction

Relation entreet

Solide indeformable

Energie cinetique

Denition

Solide indeformable

cas particuliers

Caracteristiques cinetiques d'un

ensemble de solide

Torseur cinetique d'un ensemble

de solides

Torseur dynamique d'un

ensemble de solidesEnergie cinetique d'un ensemble de solidesTorseur cinetique

Denition

CE=R=8

pE=R=Z p2E# VP=Rdm

A;E=R=Z

p2E# AP^# VP=Rdm9 A(1) Le torseur cinetique est le torseur des quantites de mouvement d'un systeme materiel E dans son mouvement par rapport au referentiel

R.Torseur cinetique

Denition

CE=R=8

pE=R=Z p2E# VP=Rdm

A;E=R=Z

p2E# AP^# VP=Rdm9 A I # VP=R: Vitesse du point P du systeme materiel E dans son mouvement par rapport au referentielR; I # pE=R=Z p2E# VP=Rdm: Resultante cinetique de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR; I # A;E=R=Z p2E# AP^# VP=Rdm: Moment cinetique au point A de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR.

Torseur cinetique

Resultante cinetique

Soit O un point lie au referentielRetGle centre d'inertie de l'ensemble materielE, par denition du centre d'inertie : m

E# OG=R

P2E# OPdm.

En derivant par rapport au temps dansR:

m Eddt # OG R =ddt Z

P2E# OPdm

R Compte tenu du principe de conservation de la masse, on peut inverser la derivation par rapport au temps et l'integration sur la masse : m Eddt # OG R =Z P2E ddt # OP R dm: On reconna^t la vitesse du point G et celle du point P par rapport au referentielR: pE=R=Z p2E# VP=Rdm=mE# VG=R(2)Torseur cinetique

Changement de point

Le champ des moments cinetiques

# A;E=Rest equiprojectif, on peut donc ecrire :

B;E=R=# A;E=R+# BA^# pE=R(3)

soit B;E=R=# A;E=R+# BA^mE# VG=R:(4)Torseur cinetique

Cas du solide indeformable

L'hypothese de solide indeformable, permet d'associer les proprietes du champ des vecteurs vitesses d'un solide aux proprietes du torseur cinetique. Ainsi, pour P et A deux points lies au solide : # VP2S=R=# VA2S=R+#

S=R^# AP(5)

avec S=R: le vecteur rotation du solide S par rapport au referentiel

Rd'ou le torseur.

CS=R=8

pS=R=Z p2S# VP2S=Rdm

A;S=R=Z

p2S# AP^# VP2S=Rdm9

A(6)Torseur cinetique

Cas du solide indeformable - resultante cinetique

La resultante cinetique devient :

pS=R=Z p2S# VP=Rdm=ms# VG2S=R:(7)

Torseur cinetique

Cas du solide indeformable - moment cinetique

Determinons le moment cinetique :

A;S=R=Z

p2S# AP^# VP2S=Rdm=Z p2S# AP^# VA2S=R+#

S=R^# AP

dm Z p2S# APdm ^# VA2S=R+Z p2S# AP^#

S=R^# AP

dm avec : Z p2S# APdm=ms# AGet Z p2S# AP^#

S=R^# AP

dm=I

A(S)#

S=R

A;E=R=ms# AG^# VA2S=R+I

A(S)#

S=R:(8)Torseur cinetique

Cas du solide indeformable

Resultante cinetique

pS=R=Z p2S# VP=Rdm=ms# VG2S=R:(9)

Moment cinetique

A;E=R=ms# AG^# VA2S=R+I

A(S)#

S=R:(10)Torseur cinetique

Cas du solide indeformable - Cas particulier

AG

G;E=R=I

G(S)#

S=R A xe

A;E=R=I

A(S)#

S=R

Mvt de translation

A;E=R=ms# AG^# VA2S=RTorseur dynamique

Denition

Le torseur dynamique est le torseur des quantites d'acceleration d'un systeme materiel E dans son mouvement par rapport aR:

DE=R=8

AE=R=Z

p2E# P=Rdm

A;E=R=Z

p2E# AP^# P=Rdm9 A(11)

Torseur dynamique

Denition

I # P=R: acceleration du point P de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR; I # AE=R=Z p2E# P=Rdm: resultante dynamique de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR, on montre aussi que# AE=R=mE# G=R; (12) I # A;E=R=Z p2E# AP^# P=Rdm: moment dynamique en A de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR.Torseur dynamique

Changement de point de reduction

Le champ des moments dynamiques est un champ de torseur. Pour changer de point de reduction on utilise donc la relation generale des torseurs :# B;E=R=# A;E=R+# BA^mE# G=S:(13)Torseur dynamique

Relation entreet

A;E=R=Z

p2E# AP^# VP=Rdm, on peut ecrire en derivant ddt # A;E=R R =2 6 4ddt Z p2E#

AP^# VP=Rdm3

7 5 R=Z p2E ddt # AP^# VP=R R dm Z p2E ddt # AP R ^# VP=Rdm+Z p2E# AP^ddt # VP=R R dm Z p2E ddt # OP# OA R ^# VP=Rdm+Z p2E# AP^# P=Rdm Z p2E # VP=R# VA=R ^# VP=Rdm+Z p2E# AP^# P=Rdm ddt # A;E=R R =Z p2E#

AP^# P=RdmZ

p2E# VA=R^# VP=RdmTorseur dynamique

Relation entreet

ddt # A;E=R R =Z p2E#

AP^# P=RdmZ

p2E# VA=R^# VP=Rdm I Z p2E# AP^# P=Rdm=# A;E=R; I Z p2E#

VA=R^# VP=Rdm=# VA=R^Z

p2E#

VP=Rdm=mE# VA=R^# VG=R.

D'ou la relation cherchee entre le moment dynamique et le moment cinetique : # A;E=R=ddt # A;E=R R +mE# VA=R^# VG=R(14) A un point geometrique quelconque et G le centre d'inertie de cet ensemble materiel.

Torseur dynamique

Relation entreet

Finalement

# A;E=R=ddt # A;E=R R +mE# VA=R^# VG=R

Cas particuliers

I

AG :# G;E=R=ddt

# G;E=R R I

A xe de R :# A;E=R=ddt

# A;E=R R

Determination du moment dynamique

Il est en general plus facile de determiner le moment cinetique que le moment dynamique (le champ des vitesses est en general connu) puis de deriver. On choisira de le calculer en un point caracteristique. Pour obtenir le moment dynamique en un autre point on utilise la relation liant les moments d'un torseur.Torseur dynamique

Cas du solide indeformable

Pour un solide, a partir de la relation de composition des vitesses des points du solide :# VP2S=R=# VQ2S=R+#

S=R^# QP:

Resultante dynamique :

# AS=R=mS# G2S=R(15)

Moment dynamique en A point geometrique :

A;S=R=ddt

# A;S=R Rquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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