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ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS

(iii). X? = Vect(X)? et. X ? X??. 7. Page 8. Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI. L'égalité X 



INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ ORTHOGONALITÉ

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS Soient E un espace préhilbertien réel et x y ? E non nuls.



POSITION ET DISPERSION DUNE VARIABLE ALÉATOIRE

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Dans tout ce chapitre (?

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS

Dans ce chapitre, on travaille seulement avec le corps de base?.

1 PRODUIT SCALAIRE ET NORME

Définition(Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien)

•Produit scalaire :SoitEun?-espace vectoriel. On appelleproduit scalaire sur Etoute forme bilinéaire symé-

trique définie positive, i.e. toute application?·,·?:E×E-→?: —définie:?x?E,?x,x?=0=?x=0E(propriété deséparation),

—positive:?x?E,?x,x??0.

Le produit scalaire?x,y?est aussi parfois noté?x|y?,(x|y)ou bien sûrx·y.

•Espace préhilbertien réel, espace euclidien :Un espace vectoriel réel muni d"un produit scalaire est appelé

unespace préhilbertien réel. Un espace préhilbertien réelDE DIMENSION FINIEest appelé unespace euclidien.

Définition déroutante! Nous n"avons à ce stade encore jamaisparlé d"angles et de normes en algèbre linéaire. Mine

de rien, nous sommes donc en train de définir le concept de produit scalaire indépendamment de toute relation du type#"u·#"v=??#"u??.??#"v??cos#"u,#"v. En réalité, dans la théorie que nous nous apprêtons à développer, le produit scalaire est

premier et les notions de norme et d"angle en découlent.

Pour montrer la bilinéarité d"un produit scalaire potentiel, la linéarité par rapport à une variable seulement est suffisante

si on a pris la peine de démontrer la symétrie avant. Petite remarque au passage :?x,0E?=?0E,x?=0 pour toutx?Epar bilinéarité du produit scalaire. Définition-théorème(Produits scalaires canoniques sur?net?n,p(?)) (i) L"application(X,Y)?-→X?Y=n k=1x kykest un produit scalaire sur?nappelé sonproduit scalaire canonique. (ii) L"application(A,B)?-→trA?B=?

1?i?n1?j?pa

ijbijest un produit scalaire sur?n,p(?)appelé sonproduit scalaire canonique.

Nous retrouvons ici les produits scalaires usuels auxquelsnous sommes habitués dans le plan?2et l"espace?3. Par

exemple, pour tous vecteurs#"u= (x,y)et#"u?= (x?,y?)de?2:#"u·#"u?=xx?+y y?.

Pour tousX,Y??n, le produit matricielX?Yest une matrice carrée de taille 1, i.e. un réel. Plus généralement,A?Best

une matrice carrée de tailleppour tousA,B? ?n,p(?), que l"on convertit en un réel grâce à la trace.

Retenez bien que le produit scalaire canonique de?npeut être calculé matriciellement.

DémonstrationNous nous contenterons de démontrer l"assertion (ii), car comme on vient de le remarquer, le

produit scalaire canonique de?nn"est jamais que le produit scalaire canonique de?n,1(?). Pour commencer,

pour tousA,B? ?n,p(?):A?B? ?p(?), donc trA?B=p j=1 A?B jj=p j=1n i=1 A? jibij=? i,ja ijbij. •Symétrie :Pour tousA,B? ?n,p(?): trA?B=trA?B? =trB?A.

•Bilinéarité :Par symétrie, la linéarité par rapport à la première variable suffit. Pour tousA,B,C? ?n(?)

etλ??, par bilinéarité du produit matriciel et linéarité de la trace : tr

A?λB+C

=tr

λA?B+A?C

=λtrA?B+trA?C. •Positivité et séparation :Pour toutA? ?n,p(?): trA?A=? i,ja 2 ij?0, et si trA?A=0, alors a ij=0 pour tousi,j??1,n?par positivité des réels sommés. 1

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ExempleDenombreux produitsscalaires peuventexistersurunmêmeespacevectoriel.L"application(X,Y)?-→X? 2 11 2

Y est par exemple un produit scalaire sur?2distinct du produit scalaire canonique. DémonstrationSymétrie et bilinéarité évidentes. Ensuite, pour toutX= (x,y)??2: X ? 2 11 2

X= (x y) 2x+y

x+2y =2x2+2x y+2y2=x2+y2+(x+y)2?0, et siX? 2 11 2 X=0, alorsx=y=x+y=0 carx2,y2et(x+y)2sont positifs, doncX= (0,0). ExempleSoienta,b??aveca?Attention !Muni du produit scalaire défini ci-dessus,?[a,b],?n"est pas un espaceEUCLIDIENcar ce n"est pas un

?-espace vectoriel de dimension finie. C"est seulement un espacePRÉHILBERTIEN RÉEL. ExempleSoientx0,...,xn??distincts. L"application(P,Q)?-→n k=0P(xk)Q(xk)est un produit scalaire sur?n[X].

Démonstration

•Symétrie et bilinéarité :Symétrie évidente, donc la linéarité par rapport à la première variable suffit.

Pour tousP,Q,R??n[X]etλ,μ??:n

k=0

λP+μQ(xk)R(xk) =λn

k=0P(xk)R(xk)+μn k=0Q(xk)R(xk). •Positivité et séparation :Pour toutP??n[X]:n k=0P(xk)2?0, et sin k=0P(xk)2=0, alorsP(xk) =0

pour toutk??0,n?par positivité des réels sommés, i.e.x0,...,xnsont des racines deP. Le polynômeP

de degré inférieur ou égal ànpossède ainsin+1 racines distinctes, donc est nul.

Définition(Norme et distance associées à un produit scalaire)SoitEun espace préhilbertien réel.

•Norme :On appellenorme sur E(associée au produit scalaire?·,·?) l"application?·?:E-→?+définie pour tout

x?Epar :?x?= ?x,x?. On dit qu"un vecteurxdeEestunitairesi?x?=1.

•Distance :Pour tousx,y?E, le réel?x-y?, souvent notéd(x,y), est appelé ladistance entre x et y(associée

au produit scalaire?·,·?).

?Attention !La notion de distance n"est pas forcément celle qu"on croit!La distance dépend d"unCHOIXde produit

scalaire. Par exemple, pour le produit scalaire(X,Y)?-→X? 2 11 2

Ysur?2:??(1,0)??=?

2?=1. Qui dit bilinéarité dit identités remarquables. En l"occurrence, pour tousx,y?E:

On peut aussi inverser ces relations et récupérer le produitscalaire en fonction de la norme. On obtient alors ce qu"on

appelle desidentités de polarisation. Par exemple : ?x,y?=12 ?x+y?2-?x?2-?y?2 =14 ?x+y?2-?x-y?2

Théorème(Inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire)SoientEun espace préhilbertien réel etx,y?E.

(i)Inégalité de Cauchy-Schwarz :???x,y?????x?.?y?, avec égalité si et seulement sixetysont colinéaires.

(ii)Inégalité triangulaire, version norme :??? ?x?-?y???? ??x+y???x?+?y?.

L"inégalité de droite est une égalité si et seulement sixetysont colinéairesDE MÊME SENS.

Si nous avions défini le produit scalaire à partir de normes etd"angles, l"inégalité de Cauchy-Schwarz serait une pure

trivialité :??#"u·#"v??=??#"u??×??#"v??×??cos#"u,#"v?????#"u??.??#"v??, mais dans le contexte de ce chapitre, cette inégalité est

remarquable justement parce que nous n"avons pas encore de définition propre des angles. 2

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Dans certains contextes, il est utile de disposer d"une inégalité de Cauchy-Schwarz un peu plus souple que la précédente.

Théorème(Inégalité de Cauchy-Schwarz généralisée)SoientEun?-espace vectoriel,?une forme bilinéaire

symétrique positive —MAIS PAS FORCÉMENT DÉFINIE POSITIVE— etx,y?E.Alors :???(x,y)??? ?(x,x)?(y,y).

Démonstration

(i)Inégalité généralisée :Pour toutt??:?0? ?(x+t y,x+t y) =?0???? ?(x,x)+2t?(x,y)+t2?0???? ?(y,y). — Si?(y,y) =0, la fonctiont?-→?(x+t y,x+t y) =?(x,x) +2t?(x,y)est affine et positive sur? tout entier, donc son coefficient directeur?(x,y)est nul et c"est fini.

— Si?(y,y)?=0, la fonctiont?-→?(x+t y,x+t y)est polynomiale de degréEXACTEMENT2 et positive

sur?tout entier, donc son discriminant est négatif :?(x,y)2-?(x,x)?(y,y)?0 et c"est fini.

Cas d"égalité dans le cas préhilbertien :Le cas d"égalité est trivial siy=0E. Dans le cas contraire, en

reprenant la preuve qui précède, l"inégalité est une égalité si et seulement si le discriminant calculé est nul,

i.e. si et seulement si la fonctiont?-→ ?x+t y?2s"annule. Or cette annulation est équivalente à l"existence

d"un réelt0??pour lequelx+t0y=0E, i.e. à la colinéarité dexety. (ii) D"abord :?x+y?2=?x?2+2?x,y?+?y?2(i)??x?2+2?x?.?y?+?y?2= ?x?+?y?

2, ensuite on

passe à la racine carrée.

À quelle condition a-t-on en fait une égalité? Si et seulement si?x,y?=?x?.?y?. Les vecteursxety

sont alors colinéaires d"après (i), et quitte à les permuter, on peut supposer quey=λxpour un certain

λ??. Aussitôt :λ?x?2=?x,λx?=?x,y?=?x?.?y?=?x?.?λx?=|λ|.?x?2, donc soitxest nul, soit

λ=|λ|, i.e.λ?0. Dans les deux cas,xetysont colinéairesDE MÊME SENS. Réciproque immédiate.

Pour l"inégalité généralisée :?x?=??(x+y) + (-y)????x+y?+?-y?=?x+y?+?y?, donc ?x?-?y???x+y?, et de même?y?-?x???x+y?.

ExemplePour tousx1,...,xn??:"

n? k=1x k" 2 ?nn k=1x 2 k, avec égalité si et seulement six1=...=xn.

DémonstrationSimple application de l"inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs(x1,...,xn)et(1,...,1)de

npour le produit scalaire canonique. ExemplePour toute fonctionf? ?1[0,1],?pour laquellef(0) =0 :f(1)2?2??? ?1 0 f(t)2dt????1 0 f ?(t)2dt.

DémonstrationAppliquons l"inégalité de Cauchy-Schwarz àfetf?dans l"espace préhilbertien réel?[0,1],?

muni du produit scalaire(u,v)?-→? 1 0 u(t)v(t)dt:????? 1 0 f(t)f?(t)dt???? ?1 0 f(t)2dt????1 0 f ?(t)2dt. On conclut en calculant l"intégrale de gauche, qui vaut 1

2f(1)2-f(0)2=12f(1)2.

Théorème(Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les variables aléatoires)Soient(Ω,P)un espace probabilisé fini.

(i) L"application(X,Y)?-→E(XY)est une forme bilinéaire symétrique positive sur?Ω,MAIS N"EST PAS FORCÉMENT

UN PRODUIT SCALAIRE. Elle en est un si et seulement siPω>0 pour toutω?Ω. (ii)Inégalité de Cauchy-Schwarz :SoientXetYdeux variables aléatoires surΩ. Alors : ?E(XY)???! EX2!EY2. En particulier :??cov(X,Y)???σ(X)σ(Y).

Démonstration

(i) L"application(X,Y)?-→E(XY)a-t-elle la propriété de séparation? C"est toute la question.

•Si(X,Y)?-→E(XY)est un produit scalaire, alors pour toutω?Ω:Pω=E ?{ω}=E ?2{ω}>0.

•Faisons l"hypothèse quePω>0 pour toutω?Ω. Pour toutevariable aléatoireX??Ωpour laquelle

EX2=0 :?

ω?ΩPωX(ω)2=0, doncX(ω) =0 pour toutω?Ω, doncX=0. 3

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(ii) La première inégalité est une simple application de l"inégalité de Cauchy-Schwarz généralisée. Ensuite :

?cov(X,Y)??=???

EX-E(X)Y-E(Y)????"

EX-E(X)2"EY-E(Y)2

=σ(X)σ(Y). ExemplePour toute variable aléatoire centréeX: E|X|?V(X). DémonstrationD"après l"inégalité de Cauchy-Schwarz : E|X|=E|X|×1? EX2 E(1), et comme

Xest centrée : E|X|?

EX2-E(X)2=V(X).

2 ORTHOGONALITÉ

2.1 VECTEURS ORTHOGONAUX,FAMILLES ORTHOGONALES/ORTHONORMALES

Définition(Vecteurs orthogonaux, parties orthogonales, familles orthogonales/orthonormales)SoientEun

espace préhilbertien réel,x,y?E,XetYdeux parties deEet(xi)i?Iune famille de vecteurs deE. On dit que :

—xetysontorthogonaux, ce qu"on notex?y, si?x,y?=0, — les partiesXetYsontorthogonales, ce qu"on noteX?Y, si pour tousx?Xety?Y:?x,y?=0, — la famille(xi)i?Iestorthogonalesi pour tousi,j?Idistincts :?xi,xj?=0,

— la famille(xi)i?Iestorthonormale(ouorthonormée) si elle est orthogonale et constituée de vecteurs unitaires,

i.e. si pour tousi,j?I:?xi,xj?=δij.

Notre théorie géométrique a définitivement la tête en bas. Jusqu"ici, pour vous, la notion d"orthogonalité était première et

le produit scalaire second. C"est le contraire qui est vrai àprésent, la notion d"orthogonalité repose sur la définitionpréalable

d"un produit scalaire. En particulier, à chaque produit scalaire est associée une notion d"orthogonalité, ce qui fait que les

angles droits ne sont pas droits absolument, mais relativement. Le petit résultat suivant est à la fois trivial et essentiel.

La propriété de séparation énonce queLE VECTEUR NUL EST LE SEUL VECTEUR ORTHOGONAL À LUI-MÊME.

En particulier, seul le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Exemple

Pour le produit scalaire canonique de?n, la base canonique(Ei)1?i?nde?nest orthonormale carE? iEj=δij pour tousi,j??1,n?. ExempleLa base canonique de?2n"est pas orthonormale pour le produit scalaire(X,Y)?-→X? 2 11 2

Ysur?2, mais la

famille!(1,0) ?2,(1,-2)?6! l"est comme on le vérifie aisément. ExemplePour le produit scalaire canonique de?n,p(?), la base canonique de?n,p(?)est orthonormale. DémonstrationPour tousi??1,n?etj??1,p?, notonsEijla matrice de?n,p(?)dont tous les coefficients

sont nuls à l"exception du coefficient de position(i,j), égal à 1. Fixonsi,k??1,n?etj,l??1,p?. Seules la

l

èmecolonne et lajèmeligne de la matriceE?

ijEklsont éventuellement non nulles. Cela revient à dire que tousles

coefficients de cette matrice sont nuls, sauf peut-être son coefficient de position(j,l). Et que vaut-il? Réponse :

ik, doncE?

ijEkl=δikEjl.CE CALCUL EST IMPORTANT ET MÉRITE QUE VOUS LE REFASSIEZ SEULS.Finalement :Eij,Ekl=trE?

ExempleLa famille des fonctionsts

n?-→sin(nt),ndécrivant??, est orthonormale dans?[0,2π],?pour le produit scalaire(f,g)?-→1 2π 0 f(t)g(t)dt. 4

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DémonstrationPour tousm,n???:

2π

01-cos(2nt)2dt=1-1π!

sin(2nt)4n! t=2π t=0=1 sim=n 1

2π?

2π 0 cos(m-n)t-cos(m+n)t dt=12π# sin(m-n)tm-n-sin(m+n)tm+n# t=2π t=0=0 sim?=n.

ExempleDans?[-1,1],?, l"ensemble des fonctions paires et l"ensemble des fonctions impaires sont deux sous-espaces

vectoriels orthogonaux pour le produit scalaire(f,g)?-→? 1 -1f(t)g(t)dt. DémonstrationPour toutesp? ?[-1,1],?paire eti? ?[-1,1],?impaire :?p,i?=? 1 -1Impaire p(t)i(t)dt=0. Théorème(Propriétés des familles orthogonales)SoitEun espace préhilbertien réel. (i)Théorème de Pythagore :Pour tousx,y?E,xetysont orthogonaux si et seulement x yx+y si?x+y?2=?x?2+?y?2. En outre, pour toute famille orthogonale(x1,...,xn)deE:????n i=1x i????2 =n i=1?xi?2.

(ii)Liberté :Toute famille orthogonale de vecteursNON NULSdeEest libre. En particulier, toute famille orthonor-

male deEest libre.

Aviez-vous compris avant que le théorème de Pythagore n"estqu"un simple commentaire de l"identité remarquable :

?x+y?2=?x?2+2?x,y?+?y?2?

Démonstration

(i) Tout simplement :????n i=1x i????2 =n i=1?xi?2+2?

1?i ?xi,xj?=n i=1?xi?2.

(ii) Soient(x1,...,xn)une famille orthogonale de vecteurs non nuls deEetλ1,...,λn??pour lesquels

n? k=1λ kxk=0E. Pour touti??1,n?: 0=?0E,xi?=" n? k=1λ kxk,xi" =nquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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