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ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE ET

REPRÉSENTATIONS DE DE RHAM

par

Pierre ColmezRésumé. -La conjecture de monodromiep-adique de Fontaine " de Rham implique poten-

tiellement semi-stable » est maintenant un théorème : Berger a montré comment associer à une

représentation de de Rham un module différentiel avec structure de Frobenius sur l"anneau de Robba, ce qui permet de ramener cette conjecture à la conjecture de monodromie de Crew qui a

ensuite été démontrée par André, Mebkhout et Kedlaya de manière indépendante. Dans cet article,

nous donnons une nouvelle démonstration de la conjecture de Fontaine ne s"appuyant pas sur la théorie des équations différentiellesp-adiques. Abstract. -Thep-adic monodromy conjecture of Fontaine " de Rham implies potentially semi-

stable » is now a theorem : Berger showed how to attach to a de Rham representation a differential

module with a Frobenius structure over the Robba ring, which reduced Fontaine"s conjecture to Crew"s monodromy conjecture proved afterwards, independently by André, Mebkhout and Kedlaya. In this paper, we give a new proof of Fontaine"s conjecture which bypasses the theory ofp-adic differential equations.

Table des matières

Introduction..................................................................................... 2

0.1. Notations................................................................................. 2

0.2. La conjecture de monodromiep-adique de Fontaine..................................... 3

0.3. Principe de la démonstration............................................................. 4

0.4. Démonstration de la conjecture de Fontaine............................................. 5

0.5. Remarques sur le théorème " de Dieudonné-Manin ».................................... 7

0.6. Remarques sur le théorème "H1g=H1st»................................................ 8

0.7. Organisation de l"article.................................................................. 8

0.8. Remerciements........................................................................... 8

1. Rappels et compléments sur les Espaces Vectoriels de Dimension finie....................... 9

1.1. Espaces Vectoriels de Dimension finie.................................................... 9

1.2. Le corps des éléments additifs............................................................ 11

1.3. Le commutant deEdansC.............................................................. 12

2. Sous-Espaces Vectoriels des Anneaux de Fontaine............................................ 15

2.1. Sous-Espaces Vectoriels deVd........................................................... 15

2.2. Les Anneaux de Fontaine................................................................ 17

2.3. Sous-Espace Vectoriels deBm............................................................ 17

2.4. Sous-Espaces Vectoriels de

?B+ rig.......................................................... 18

2.5. Sous-Espaces Vectoriels de(B+

dR)d....................................................... 19

3. Autour du théorème de Dieudonné-Manin.................................................... 21Classification mathématique par sujets(2000). -11S.

Mots clefs. -p-adique, Banach, représentations, semi-stable, anneaux de Fontaine.

2PIERRE COLMEZ

3.1. Énoncé des résultats..................................................................... 21

3.2. Démonstration directe du corollaire 3.7.................................................. 23

3.3. Démonstration du corollaire 3.5.......................................................... 25

3.4. Démonstration du théorème 3.2.......................................................... 27

4. Les anneaux de caractéristiquep.............................................................. 28

4.1. Rappels sur les corps locaux............................................................. 28

4.2. L"extension cyclotomique d"une extension finie deF.................................... 29

4.3. Le corps

eEet certains de ses sous-anneaux.............................................. 31

4.4. L"anneau des normes..................................................................... 32

5. Les anneaux parfaits.......................................................................... 33

5.1. Le corps

eBet certains de ses sous-anneaux.............................................. 33

5.2. Le corps

eB†et certains de ses sous-anneaux............................................. 34

5.3. Les anneauxB+maxeteB+

rig................................................................ 36

5.4. L"anneau

eB† riget ses sous-anneaux....................................................... 37

5.5. Le logarithme et l"anneau

eB† log........................................................... 37

5.6. L"anneauB+

dR............................................................................ 38

6. Les anneaux imparfaits........................................................................ 39

6.1. Les anneauxA,B,AKetBK........................................................... 39

6.2. Les élémentsπ,πK,πnetπK,n.......................................................... 40

6.3. Le corpsB†et ses sous-anneaux......................................................... 42

7. Anneaux imparfaits et séries de Laurent...................................................... 43

7.1. L"anneauAK............................................................................. 43

7.2. L"anneauA(0,r]

K........................................................................... 43

7.3. L"anneauB]0,r]

K........................................................................... 44

8. Traces de Tate normalisées.................................................................... 46

8.1. SurbK∞.................................................................................. 46

8.2. SureEK................................................................................... 46

8.3. SureAK................................................................................... 47

8.4. SureA(0,r]

K................................................................................. 48

8.5. Sur

eB]0,r] K................................................................................. 49

9. Action deΓK.................................................................................. 50

9.1. Invariants................................................................................. 50

9.2. LeΓK-moduleA(0,r]

K..................................................................... 50

9.3. LeΓK-module`A(0,r]

K´ ψ=0............................................................... 52

9.4. Décomposition de

eA(0,r] K.................................................................. 53

9.5. Décomposition de

eB]0,r] K.................................................................. 54

10. Cohomologie galoisienne des anneaux de Fontaine........................................... 54

10.1. Descente presque étale.................................................................. 54

10.2. Décomplétion........................................................................... 55

10.3. Cocycles se trivialisant dansB+

dR....................................................... 55

10.4. Cohomologie detB]0,r]

K.................................................................. 56

10.5. Un résultat du type "H1g=H1st» poureB(0,r]......................................... 57

10.6. Un résultat du type "H1g=H1st» pourUh,aetU?h,a................................. 58

Références........................................................................................ 59

Introduction

0.1. Notations. -SoientkFun corps parfait de caractéristiquep,OF=W(kF)l"anneau des

vecteurs de Witt à coefficients danskFetF=OF[1p ]le corps des fractions deOF, ce qui fait de Fun corps complet pour la valuationp-adiquevp(que l"on suppose normalisée parvp(p) = 1), d"anneau des entiersOFet de corps résiduelkF. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE ET REPRÉSENTATIONS DE DE RHAM3 On se fixe une clôture algébriqueFdeF. La valuationvps"étend de manière unique àFet on noteCle complété deFpour la valuationvp. SiK?Fest une extension algébrique deF, on noteOKl"anneau des entiers deKetkKson corps résiduel.

On se fixe aussi un système(ε(n))n?Nd"éléments deFvérifiantε(0)= 1,ε(1)?= 1et(ε(n+1))p=

(n)sin?N. Ceci fait deε(n)une racine primitivepn-ième de l"unité. SiKest une extension finie deF, on noteKnle corpsK(ε(n))etK∞l"extension cyclotomique deKréunion desKn. On noteGKle groupe de GaloisGal(F/K)etχ:GK→Z?ple caractère cyclotomique. Soit aussiHKle noyau de la restriction deχàGKde telle sorte queHK=

Gal(F/K

∞)et soitΓK=GK/HK= Gal(K∞/K). Alorsχse factorise à traversΓKet l"image deΓKparχest un sous-groupe ouvert deZ?p.

0.2. La conjecture de monodromiep-adique de Fontaine. -SoitKune extension

finie deFet soitVuneQp-représentation de dimensionddeGK, c"est-à-dire unQp-espace vectoriel de dimensiondmuni d"un morphisme continu de groupes deGKdansGL(V). Soient B +cris?B+st?B+ dRles anneaux introduits par Fontaine [14, 15, 17] pour classifier lesQp-

représentations deGKvenant de la géométrie, et soitt?B+crisle "2iπ p-adique de Fontaine ».

Rappelons queVestde de RhamsiB+

dR[1t ]?QpVest isomorphe à(B+ dR[1t ])den tant queGK- module, ce qui équivaut à ce que leK-espace vectorielDdR(V) = (B+ dR[1t ]?QpV)GKsoit de dimensiond. De même,Vestsemi-stablesiB+st[1t ]?QpVest isomorphe à(B+st[1t ])den tant queGK-module. Une représentation semi-stable esta fortioride de Rham; réciproquement, une représentation de de Rham est semi-stable si et seulement siDdR(V)possède une base surK constituée d"éléments deB+st[1t ]?QpV. On dit queVestpotentiellement semi-stables"il existe une extension finieLdeKtelle queVsoit semi-stable en tant queQp-représentation deGL. Une représentation potentiellement semi-stable est de de Rham (carB+ dRcontientF) et notre

but, dans cet article, est de donner une nouvelle démonstration du résultat suivant qui avait été

conjecturé par Fontaine [18]. Théorème 0.1. -Toute représentation de de Rham deGKest potentiellement semi-stable.

Les démonstrations existantes

(1)de ce théorème passent par la théorie des équations différen-

tiellesp-adiques. En utilisant la théorie des(?,Γ)-modules [16, 6], Berger [4] a associé à une

représentation de de RhamVun module différentielN† rig(V)avec structure de Frobenius sur

l"anneau de Robba et a montré queVétait semi-stable si et seulement si ce module était quasi-

unipotent, réduisant ainsi la conjecture de Fontaine à la conjecture de monodromiep-adique

de Crew [13]. La conjecture de Crew a ensuite été démontrée de manière indépendante par

André [2], par Mebkhout [25] et par Kedlaya [24]; je renvoie à [10] pour plus de détails. Des

trois démonstrations de la conjecture de Crew à notre disposition, celle de Kedlaya est celle qui

utilise le moins la théorie des équations différentiellesp-adiques : elle repose à la place sur une

classification à la Dieudonné-Manin des?-modules sur l"anneau de Robba, ce qui lui permet par dévissage de se ramener au cas d"un module isocline traité par Tsuzuki [29, 8].(1)

Depuis la première version de cet article, Fontaine [20] a fabriqué une autre démonstration évitant le recours

à la théorie des équations différentiellesp-adiques; un de ses ingrédients n"est pas sans rappeler les techniques du

n o3.3 de cet article.

4PIERRE COLMEZ

0.3. Principe de la démonstration. -Notre démonstration de la conjecture de Fontaine est

parallèle à celle obtenue en combinant les travaux de Berger et Kedlaya, mais évite complètement

la théorie des(?,Γ)-modules et celle des équations différentiellesp-adiques (il reste quand-même

un fantôme de ces théories dans la démonstration de certains points). Elle a été obtenue en

deux temps. Comme nous l"avons indiqué ci-dessus, le seul point où la théorie des équations

différentiellesp-adiques est utilisée dans les travaux de Kedlaya est à travers le théorème de

Tsuzuki. Or celui-ci admet un équivalent (prop. 0.2 ci-dessous), dû à Sen [26], dans la théorie des

représentations galoisiennes (cf. [4, no5.6] pour l"équivalence des résultats de Sen et de Tsuzuki);

avec ce fait en tête, il n"est pas très difficile de fabriquer une démonstration de la conjecture de

Fontaine ne faisant pas référence aux équations différentiellesp-adiques, en faisant du mécano

avec les arguments de Berger et Kedlaya (c"est cette démonstration qui apparaît en filigrane dans cette introduction). Par la suite, des questions provenant de la théorie des déformations

de représentations galoisiennes [5] nous ont amené à essayer de rendre les ingrédients de la

démonstration les plus directs possibles (et à expliciter comment les constantes se comportent dans une famille) dans l"espoir que ceux-ci s"adaptent à une démonstration " en famille ». Nous remplaçons le théorème de Dieudonné-Manin de Kedlaya par un résultat analogue (cf. prop 0.3) pour certains?-modules sur l"anneau?B+rig=∩n?N?n(B+cris), et utilisons cette décomposition pour une variante ?N+rig(V)du moduleN† rig(V)de Berger. Le théorème de Tsuzuki

est remplacé par le résultat suivant de Sen [26] (bien antérieur à la définition de représentation

semi-stable!), selon lequel une représentation de de Rham dont les poids de Hodge-Tate sont nuls (ce qui se traduit par l"existence d"un isomorphisme deGK-modules deB+ dR?QpVsur(B+ dR)d) est potentiellement non ramifiée et donc,a fortiori, potentiellement semi-stable. Proposition 0.2. -SiVest une représentation de Hodge-Tate deGK, les deux conditions suivantes sont équivalentes : (i)l"inertie deGKagit à travers un quotient fini; (ii)les poids de Hodge-Tate deVsont tous nuls.

Le dévissage permettant de se ramener au cas " isocline » est un peu plus délicat que dans le

cas des équations différentiellesp-adiques, et repose sur des calculs de cohomologie galoisienne

dans les anneaux de Fontaine et, plus précisément (cf. prop. 0.4 ci-dessous) sur un énoncé du

type "H1g=H1st» pour lesGK-modules U h,a= (B+cris)?h=paetU?h,a= (B+st)?h=pa.

Les méthodes pour faire ces calculs, bien que relativement techniques, sont parfaitement huilées :

elle remontent à l"article fondateur de Tate [28].

Signalons que Fontaine avait démontré [19] le théorème 0.1 ci-dessus (avant qu"il ne soit

démontré en toute généralité) pour les représentations de dimension2, par une méthode qui

rappelle un peu celle décrite ci-dessus.

L"analogue du théorème de Dieudonné-Manin auquel il a été fait allusion plus haut est le

suivant ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE ET REPRÉSENTATIONS DE DE RHAM5

Proposition 0.3. -SoitMun sous-B+

dR-réseau de(B+ dR)det soitMrig={x?(?B+rig)d, ?n(x)? M,quel que soitn?Z}. AlorsMrigest un?B+rig-module libre de rangd, et il existe une base e

1,...,eddeMrigsur?B+rigvérifiant :

(i)il existeh?Neta1?···?ad?Ntels que?h(ei) =paieisi1?i?d; (ii)?n(e1),...,?n(ed)est une base deMsurB+ dRquel que soitn?N. Rappelons que l"on obtientB+stà partir deB+crisen lui adjoignant un analoguep-adiqueude logp. On a alorsB+st=B+cris[u], et la dérivationN=-ddu :B+st→B+stcommute à l"action deGK.

Le résultat du type "H1g=H1st» auquel il a été fait allusion ci-dessus est alors le suivant. (Le

corpsEhapparaissant dans l"énoncé est l"extension non ramifiée de degréhdeQp.)

Proposition 0.4. -Soientaethdes entiers?1.

(i)Soitσ?→cσun1-cocycle continu à valeurs dansUh,atel queσ?→?-n(cσ)soit un cobord dansB+ dR, pour toutn?N. Alors, sia?=h(resp. sia=h), il existec?Uh,a(resp. c?EGKhu+Uh,a)tel que l"on aitcσ= (σ-1)·c, quel que soitσ?GK.

(ii)Soitσ?→cσun1-cocycle continu à valeurs dansU?h,atel queσ?→Nk(?-n(cσ))soit un

cobord dansB+ dR, pour tousk,n?N. Alors il existec?U?h,atel que l"on aitcσ= (σ-1)·c, quel que soitσ?GK.

0.4. Démonstration de la conjecture de Fontaine. -Nous renvoyons aux no0.5 et no0.6

pour des commentaires sur la démonstration des propositions 0.3 et 0.4; nous allons maintenant montrer comment on peut en déduire la conjecture de monodromie de Fontaine. (L"anneau ?B+ log apparaissant ci-dessous est défini par?B+ log=∩n?N?n(B+st); on a aussi?B+ log=?B+rig[u], et on aurait pu définir lesGK-modulesUh,aetU?h,aparUh,a= (?B+rig)?h=paetU?h,a= (?B+ log)?h=pa.) SoitVune représentation de de Rham deGK, de dimensiond, à poids de Hodge-Tate?0 (on peut s"y ramener en tordant par une puissance convenable du caractère cyclotomique). Soit N dR(V) =B+ dR?KDdR(V); l"hypothèse selon laquelle les poids de Hodge-Tate deVsont?0 implique queN+ dR(V)est un sous-B+ dR-réseau deB+ dR?QpV. Soit ?N+rig(V) ={x??B+rig?QpV|?-n(x)?N+ dR(V),quel que soitn?Z}. La proposition 0.3 ci-dessus appliquée àM=N+ dR(V)nous fournit le résultat suivant : Proposition 0.5. -?N+rig(V)est un?B+rig-module libre de rangd. Plus précisément,?N+rig(V) possède une basee1,...,edsur?B+rigvérifiant : (i)il existeh?Neta1?···?ad?Ntels que?h(ei) =paieisi1?i?d; (ii)?n(e1),...,?n(ed)est une base deN+ dR(V)surB+ dRquel que soitn?N.

CommeN+

dR(V)est isomorphe à(B+ dR)den tant queGK-module, la proposition 0.6 ci-dessous montre qu"il existe une extension finieLdeGKtelle que?B+ log?eB+ rig?N+rig(V)contiennedéléments indépendants surB+ dR, fixes parIL. Mais?B+ log?eB+ rig?N+rig(V)est inclus dans?B+ log?QpV, ce qui prouve queVest semi-stable en tant que représentation deILet donc aussi en tant que représentation deGL, ce que l"on cherchait à démontrer. Proposition 0.6. -SoitYun?B+rig-module libre de rangdmuni d"actions semi-linéaires de? etGKcommutant entre elles. SiYpossède une basee1,...,edsur?B+rigvérifiant :

6PIERRE COLMEZ

(i)il existeh?Neta1?···?ad?Ntels que?h(ei) =paieisi1?i?d, (ii)leB+ dR-module engendré par?n(e1),...,?n(ed)est isomorphe à(B+ dR)den tant queGK- module, quel que soitn?N, alors il existe une extension finieLdeKet une basef1,...,fdde?B+ log?eB+ rigYsur?B+ log vérifiant les conditions suivantes : (a)fiest fixe par le sous-groupe d"inertieILdeGL. (b)fi=ei+?i-1 j=1αi,jej, avecαi,j?U?h,a i-aj(et donc?h(fi) =paiei); Démonstration. - La démonstration se fait par récurrence sur le cardinalrde l"ensemble

{a1,...,ad}. Sir= 1(i.e. si tous lesaisont égaux à un entiera), alorsW=Ehe1? ··· ?Ehed

est l"ensemble desx?Yvérifiant?h(x) =pax; c"est donc unEh-espace vectoriel de dimension dstable parGK. D"autre part, leGK-moduleB+ dR?QpW=?h-1i=0B+ dR?Eh?i(W)est isomorphe

à(B+

dR)hd, d"après la propriété (ii) de la basee1,...,ed. Ceci signifie queW, vu commeQp- représentation deGK, est une représentation de de Rham dont tous les poids de Hodge-Tate sont

nuls; on déduit du théorème de Sen (prop. 0.2) l"existence d"une extension finieLdeKtelle que

leseisoient fixes parIL, ce qui conclut l"étude du casr= 1. Sir?= 1, soitsle plus petit entier tel queas+1?=a1, et soientY?le sous-?B+rig-module de Yengendré pare1,...,esetY??=Y/Y?. Commeaj> as, pour toutj?s+ 1, leEh-espace vectoriel engendré pare1,...,esest aussi l"espaceY?h=pa1. On en déduit queY?est stable par? etGK, ce qui fait queY?etY??sont munis d"actions de?etGKcommutant entre elles. D"autre part, sin?N, on a la suite exacte

0→B+

dR?eB+ rig?n(Y?)→B+ dR?eB+ rig?n(Y)→B+ dR?eB+ rig?n(Y??)→0 deB+ dR-modules munis d"une action deGK. On en déduit la suite exacte

0→(B+

dR?eB+ rig?n(Y?))GK→(B+ dR?eB+ rig?n(Y))GK→(B+ dR?eB+ rig?n(Y??))GK, et commedimK((B+ dR?eB+ rig?n(Y))GK) =d, par hypothèse, etdimKMGK?rgB+ dRM, siMest un-B+ dR-module libre de rang fini muni d"une action deGK, on en déduit le fait queY?(muni de la basee1,...,es) etY??(muni de la basee s+1,...,e d, oùe jdésigne l"image deejdansY??) vérifient les conditions de la proposition. On peut appliquer les résultats obtenus pourr= 1 àY?et l"hypothèse de récurrence àY??, ce qui nous fournit une extension finieLdeKet des i,j?U?h,a i-aj, pours+1?j < i?d, tels queILagisse trivialement surg1=e1,...,gs=eset surg i=e i+?i-1 j=s+1αi,jequotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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