[PDF] UNIVERSITÉ DE RENNES I UFR DE MATHEMATIQUES

View - Download UNIVERSITÉ DE RENNES I UFR DE MATHEMATIQUES

Previous PDF

Next PDF

UNIVERSITÉ DE RENNES I

UFR DE MATHEMATIQUES

Licence Biologie Première Année

Probabilités et Statistiques

Devoir Maison

Exercice1

Un astronome souhaite calculer, à l"aide d"un dispositif approprié, la distanced, en années-lumière

(AL), entre la terre et une étoile. En raison des influences atmosphériques et d"inévitables erreurs de

mesure, l"astronome prévoit de prendre plusieurs mesures et d"accepter leur moyenne comme estimation

de la distance réelled. Il y a des raisons de penser que les différentes valeurs mesurées correspondent à

des variables aléatoiresX1;:::;XN, indépendantes, identiquement distribuées, d"espérance commune

det de variance commune4. On cherche le nombreNde mesures que doit réaliser l"astronome afin d"obtenir une approximation de

la distancedavec une marge d"erreur inférieure à1=2AL et un seuil de confiance de95%(au moins).

1 - SoitX=1N

N X k=1X k. Déterminer, en justifiant le calcul, l"espérance et la variance deX.Solution :

E(X) =1N

E(PXk) =1n

P kE(Xk) =1N Nd=d. Pour la variance, nous avons vu en cours que pour des variables aléatoiresindépendantesX;Yon aV(X+Y) =V(X) +V(Y). Ici, cela implique

V(X) =1N

2P kV(Xk) =1N

2N4 =4N

2 - En utilisant le théorème central limite, donner une estimation du nombreNde mesures que doit

réaliser l"astronome. Solution : Selon le TCL, si le nom bred emesures Nest suffisamment important, on peut considérer queXest distribué comme une GaussienneN(d;4N ). On a vu en cours qu"un intervalle de confiance de niveau95%est[Xz97;5%pn ;X+z97;5%pn ] = [X1;962pn ;X+1;962pn

L"astronome veut que

1;962pN

<12 , doncN >(41;96)2= 61;4656. Il faut donc 62 mesures!

Exercice2

On considère l"échantillon statistique suivant :

1;0;2;1;1;0;1;0;0

1 - Calculer la moyenne et la variance empiriques de cet échantillon.

Solution : mo yenneempirique

1+2+1+1+19

=23 , variance empirique12+22+12+12+129 (23 )2=49

2 - En supposant que les données de cet échantillon sont des réalisations d"une variable aléatoire de loi

inconnue, donner une estimation non biaisée de l"espérance et de la variance de cette loi.

Solution : on

a vu en cours que le moyenne empirique est un estimateur non-biaisé de l"espérance, donc 23
est une

estimation non-biaisée de l"espérance. On a vu en TD qu"un estimateur non-biaisé de la variance est

nn1fois la variance empirique, donc98 49
=12 est notre estimation non-biaisée de la variance.

3 - On choisit de modéliser les valeurs de cet échantillon comme les réalisation d"une variable aléatoire

de loi binomialeB(2;p). a) Proposer un estimateur pourpbasé sur la moyenne empirique.Solution : L"esp érancede la loi B(2;p)est2p. Donc si^mest notre estimateur de la moyenne, alors^p=^m2 est un estimateur dep. Dans notre exemple, on a l"estimation^p=12 23
=13 b) Avec le même modèle, utiliser la variance empirique pour proposer un autre estimateur dep. Solution : la variance de la loiB(2;p)estV= 2p(1p). Donc si^vest notre estimation de la variance, alors une estimation^pdepdevrait satisfaire^v= 2^p(1^p). On obtient doncdeuxestimations pour p, à savoir^p=12 q1 4 ^v2 . Dans le cas présent,^v=12 (voir partie 2 en haut). Nos deux estimations collapsent vers une seule^p=12

4 - On choisit de modéliser les valeurs de cet échantillon par une loi de Poisson de paramètre. Quelle

estimateur proposez-vous pour?Solution : Ici, i ly a plusieurs rép onsesraisonnables. Une loi de PoissonP()est d"espérance, on pourrait donc utiliser la moyenne empirique (qui est un estimateur non-biaisé de l"espérance) comme estimateur de. On obtient ainsi une estimation^=23 . En revanche, la variance de la loiP()est aussi, on pourrait donc raisonnablement utiliser notre estimateur de la variance comme estimateur de, c.à.d.,^=12

Exercice3

On a mesuré les dimensions d"une tumeur chez des souris traitées ou non avec une substance anti-

tumorale. On a obtenu pour le groupe de souris témoins (échantillon den1= 30souris) : moyenne m

1= 7;075 cm2et écart type1= 0;576 cm2et pour le groupe de souris traitées (échantillon de

n

2= 28souris) : moyennem2= 5;850 cm2et écart type2= 0;614 cm2. On souhaite déterminer si

la différence observée entre le groupe traité et le groupe témoin est significative en ayant recours à un

test d"hypothèse.

On suppose d"une part que les données du groupe témoin correspondent à des réalisations den1

variables aléatoiresX1;:::;Xn1indépendantes et identiquement distribuées et d"autre part que les

données du groupe traité correspondent à des réalisations den2variables aléatoiresY1;:::;Yn2indé-

pendantes et identiquement distribuées. On suppose de plus que les variablesX1;:::;Xn1etY1;:::;Yn2sont indépendantes.

On souhaite tester l"hypothèse nulle(H0) :m1=m2contre l"hypothèse alternative(H1) :m16=m2.

1 - Justifier que l"on peut considérer que de manière approchéeX=1n

1(X1++Xn1)suit une loi

normaleN(m1;21=n1)et queY=1n

2(Y1++Yn2)suit une loi normaleN(m2;22=n2).Sol ution:

Le TCL dit exactement que, si toutes les variables aléatoiresXisuivent la même loi, de moyenne m

1et de variance21, et sont indépendantes, alors la variable aléatoireXsuit, pourn1assez grand,

approximativement une loi normale de moyennem1et de variance21n

1, doncX N(m1;21n

1). Pour

justifier qu"un échantillon de taille 30 est suffisamment grand pour pouvoir appliquer le TCL, il faudrait

regarder la situation médicale en plus de détail - ceci dépasse le cadre du cours et de cette question.

2 - En admettant que la somme de 2 variables aléatoires indépendantes de loi normale suit encore une

loi normale, déterminer la loi de la variable aléatoireD=XYsous l"hypothèse(H0).So lution:

D"abord,E(D) =E(X)E(Y) =m1m2H

0= 0. L"observation clé maintenant est que, par hypothèse, les

variables aléatoiresXetYsont indépendantes. Par un théorème vu en cours, les variances de variables

aléatoires indépendantes sont additives :V(D) =V(X+ (Y)) =V(X) +V(Y) =V(X) +V(Y) = 21n
1+22n

2. En plus, on a admis queD=X+ (Y)suit une loi normale (approximativement), donc

D N(0;21n

1+22n 2)

3 - On note

T=Dq 21n
1+22n 2: Montrer que sous l"hypothèse(H0), on aP(zTz)1oùzest le quantile d"ordre12 de la

loiN(0;1). En déduire le principe d"un test au niveaupour l"égalité de 2 moyennes.Solution : Puisque

D N(0;21n

1+22n

2), il vientT N(0;1), c.à.d.Tsuit une loi centrée réduite (approximativement).

On a vu en cours et TD que ceci impliqueP(zTz)1, oùzest le quantile d"ordre12

de la loiN(0;1). On a donc un test très simple pour l"hypothèseH0(égalité des deux moyennes) : on

calcule les moyennes empiriquesXetYet les écarts-type empiriques1;2des deux échantillons. SiXYpblah blah

est en-dehors de l"intervalle[z;z], on rejette l"hypothèseH0, sinon on l"accepte.

4 - Calculer la valeur de la variable aléatoireTpour les échantillons observés. Qu"en déduit-on

pour l"expérience considérée au seuil= 5%.Solution : ici, T=7;0755;85denominateur , avec denominateur=q(0;576)230 +(0;614)228 . On trouveT= 7;823, ce qui largement est en-dehors de l"intervalle[z;z], avec z= 1;96. On rejette donc l"hypothèse nulle, et on accepte l"hypthèse alternativem06=m1.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] esperance de la tunisie 1994

[PDF] esperance sportive de tunisie wikipedia

[PDF] espresso english grammar level 1 pdf

[PDF] espresso english grammar level 2 pdf

[PDF] espresso english grammar level 3 pdf

[PDF] esprit : ecole sup privée d'ingénierie et de technologies

[PDF] esprit tunisie frais scolarité

[PDF] essada net

[PDF] essai cloche sprinkler

[PDF] essai sur le partage bac lettre

[PDF] essais 24 heures du mans 2016

[PDF] essec

[PDF] essec alternance admission

[PDF] essect

[PDF] essence 95 e10 pour quelle voiture