[PDF] Vecteurs 16 avr. 2021 Frises et

View - Download Vecteurs

Previous PDF

Next PDF

Vecteurs

Damien THOMINE

16 avril 2021

Damien THOMINEVecteurs16 avril 20211 /52

Les vecteurs

Damien THOMINEVecteurs16 avril 20212 /52

Contexte

Objectif

Dans le sup

´erieur, la g´eom´etrie affine (ou euclidienne) est d´evelopp´ee`a partir de la g

´eom´etrie vectorielle.Les

´el`eves de coll`ege sont familiers avec la g´eom´etrie euclidienne, mais pas avec la g

´eom´etrie vectorielle.Question: comment introduire la g´eom´etrie vectorielle`a partir de la g´eom´etrie

euclidienne?Les programmes sont malheureusement peu d ´etaill´es, et peu clairs sur la question...Damien THOMINEVecteurs16 avril 20213 /52

Contexte

Quelques rep

`eres

4e : D

´eplacements du plan. Translations (d´efinition naturelle). Frises et pavages.2nde :Translations (d ´efinition rigoureuse). Vecteurs : d´efinition, somme et produit par un r ´eel. Colin´earit´e.´Equations r´eduites.La somme est introduiteviala composition des translations.1eS :D ´eterminant et´equations cart´esiennes de droites. Produit sca- laire.TS :M ˆeme chose, mais dans l"espace.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20214 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Actions libres et transitives

Avant toutes choses, un espace vectoriel est un groupe (pour l"addition) avec une op ´eration suppl´ementaire (multiplication par un scalaire). On va dans un premier temps r ´ecup´erer le groupe additif avant de se d´efinir la multiplication.Le plan euclidien peut ˆetre vu comme un "groupe dont on a oubli´e l"´el´ement neutre".

On peut soustraire des

´el´ements (cela donnera un vecteur), mais on ne peut pas en ajouter (la somme de deux points du plan n"a pas de sens!).Pour formaliser cette id ´ee, on va parler d"action de groupe.Definition SoientGun groupe etXun ensemble. On voitGcomme un groupe de transformations (ou sym ´etries) deX. Cette action estsimplement transitivesi, pour tousx,y2X, il existe une unique transformationg2Gtelle queg(x) =y.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20216 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Actions de groupes

Exemples :G=ZetXest l"ensemble des graduations d"une droite. Transformations :

translations.G=RetXest une ligne. Transformations : translations.G=R2etXest le plan euclidien. Transformations : translations/vecteurs.G=UetXest un cercle.Gest l"ensemble des permutations licites d"un cube de Rubik, etXest l"ensemble

des configurations d"un cube de Rubik.

Non-exemples :G=RetX=R2, avecg(x;y) = (x+g;y). Pourquoi?G=R2etX=R, avec(g1;g2)(x) =x+g1. Pourquoi?Damien THOMINEVecteurs16 avril 20217 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Le probl

`eme

Si l"on conna

ˆıtG, on peut facilement construire un espaceXqui convient. Ici, on a la situation inverse : on part de l"espaceX(le plan euclidien), et l"on construire le groupe

G(l"espaceR2des vecteurs). Comment faire?M

´ethode 1 (alg´ebrique): d´efinir directementGcomme´etant les "bonnes" transformations deX. La loi de groupe est la composition.M ´ethode 2 (g´eom´etrique): si un tel groupeGexiste, pour tout couple(x;y)2X2, il existe un uniqueg2Gtel queg(x) =y. On pourrait poserg=yx1:= (x;y). Cependant, plusieurs couples(x;y)correspondent au mˆeme´el´ementg, donc on identifie des couples `a l"aide d"une relation d"´equivalence. Formellement, on passe au quotient :G'X2 =. L"information sur l"action est cach´ee dans la relation, qu"il faut d ´efinir`a la main.La loi de groupe est la concat

´enation : pour tousx,y2X, on ae= [xx1],

[yx1]1= [xy1]et[zy1][yx1] = [zx1].Loi de Chasles .M ´ethode 3 (analytique): On part de l"intuition qu"il manque un´el´ement neutre 'aX. Fixonsx02X. Alors, pour toutx2X, il existe un uniqueg2Gtel quex=g(x0). On obtient donc une bijection entreXetG(qui d´epend dex0!). Il reste`a d´efinir`a la main la loi de groupe.On peut passer d"un point de vue `a un autre.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20218 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Exemple 1 : les translations du plan

Xest le plan euclidien.G'R2sera un espace vectoriel.M ´ethode 1: d´efinir le groupeGdes translations du plan euclidien. Un vecteur est une translation. La loi de groupe est la composition.M ´ethode 2: d´efinir une relation d"´equivalence sur les couples de points. La loi de groupe est la concat

´enation.M

´ethode 3: fixer une origine. Tout point deXdevient un´el´ement d"un groupe, si l"on d ´efinit la bonne loi de groupe.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20219 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Exemple 2 : les entiers relatifs

On se donne une droite gradu

´ee et orient´ee.Xest l"ensemble des graduations.G'Z.M ´ethode 1: d´efinir le groupeGdes translations de la droite qui pr´esevent les graduations. Un entier relatif est une translation. La loi de groupe est la composition.M ´ethode 2: d´efinir une relation d"´equivalence sur les couples de points. La loi de groupe est la concat

´enation.M

´ethode 3: fixer une origine. Toute graduation correspond alors`a un entier relatif.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202110 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Exemple 3 : les angles orient

´es

Comment d

´efinir un angle orient´e? ici,Xest le cercle, ou de fac¸on´equivalente l"ensemble des directions (et sens) du plan.M ´ethode 1: un angle orient´e est une rotation vectorielle. Ajouter deux angles, c"est composer les rotations.M ´ethode 2: d´efinir une relation d"´equivalence sur les couples de directions. La loi de groupe est la concat

´enation.M

´ethode 3: fixer une origine. Toute point du cercle correspond alors`a un angle orient ´e (cercle trigonom´etrique).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202111 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesComparaison des approches D

´efinition alg´ebriqueDefinition

Un vecteur est une transformation du plan : une translation.

Propri

´et´e-d´efinition: Pour tous pointsAetB, il existe une unique translation envoyant

AsurB.Avantages:Pr

´esentation g´eom´etrique : lien avec les transformations du plan.Point de vue alg ´ebrique : composition de transformations, frises et pavages.Objet d

´efini de fac¸on intrins`eque. Pas de d´ependance en fonction du rep`ere.Relation de Chasles explicite.

Inconv

´enients:Choix de d

´efintion non standard.Difficult

´es usuelles dans la manipulation des transformations du plan (obligation de les expliciter, d"expliciter leur propri

´et´es...).Quelle d

´efinition pour la multiplication par un scalaire?Damien THOMINEVecteurs16 avril 202113 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesComparaison des approches D

´efinition g´eom´etriqueDefinition

Un vecteur est une classe d"

´equivalence pour une relation d´equivalence sur les paires de points. D ´efinition(-propri´et´e?): un vecteur!ABest une quatit´e qui a une direction, une longueur et un sens. Deux vecteurs non nuls!AB,!CDsont´equivalents si et seulement si(AB)et(CD)sont parall`eles,AB=CDet(A;B),(C;D)sont dans le mˆeme sens.Avantages:Pr ´esentation g´eom´etrique intuitive, en lien avec la physique.Objet d

´efini de fac¸on intrins`eque. Pas de d´ependance en fonction du rep`ere.Relation de Chasles explicite.

Multiplication par un scalaire intuitive.

Lien facile entre les notions d"alignement et de colin

´earit´e.Inconv

´enients:Notion de sens difficile

`a formaliser.Obligation de manipuler des classes d" ´equivalence, sans pouvoir le mentionner.Choix du point de d

´epart du vecteur.Point de base et sens g

´eom´etrique de la somme.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202114 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesComparaison des approches D

´efinition analytiqueDefinition

On se place dans un rep

`ere. Les vecteurs ont eux aussi des coordonn´ees, que l"on peut manipuler directement.Avantages:Lien avec le sup

´erieur et l"alg`ebre lin´eaire.G

´eom´etrie analytique.Sens intuitif aux op

´erations (somme, multiplication par un scalaire).Inconv

´enients:L"objet (vecteur) et ses propri

´et´es (somme, colin´earit´es) sont-ils ind´ependants du rep `ere?Distinction entre point et vecteur moins nette.

Perte de sens g

´eom´etrique des op´erations.Le lien entre propri ´et´es g´eom´etriques et coordonn´ees peutˆetre d´elicat (par exemple : lien entre colin ´earit´e et alignement).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202115 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesQue d

´emontrer?

Introduction

Afin de comparer ces approches, nous allons r

´esumer avec chacune d"elle ce qu"il

faudrait d ´efinir ou d´emontrer pour d´efinir proprement les vecteurs, leur somme, la multiplication par un r ´eel, et le lien entre alignement et colin´earit´e.Il est ´evident qu"en pratique, il est impossible de d´emontrer toutes ces propri´et´es devant une classe. De plus, l"approche choisie en pratique est mixte.

Damien THOMINEVecteurs16 avril 202117 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesQue d

´emontrer?

D

´efinition alg´ebrique´

Etant donn´es deux pointsAetB, d´efinition de la translation envoyantAsurB(ou translation de vecteur!AB). Attention : translation de vecteur nul, parall´elogrammes plats.Propri

´et´e: unicit´e de la translation envoyantAsurB: si la translation de vecteur!CDenvoieAsurB, alors elle est la mˆeme transformation que la translation de

vecteur!AB.´

El´ement neutre, inverse.Propri

´et´e: la compos´ee de deux translations est une translation.Multiplication par un scalaire : d

´efinition.Alignement de points et colin

´earit´e.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202118 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesQue d

´emontrer?

D

´efinition g´eom´etrique´

Etant donn´es deux pointsAetB, d´efinition du vecteur!AB.On a en fait d ´efini une relation d"´equivalence (r´eflexive, sym´etrique, transitive).Propri ´et´e: pour tout pointAet tout vecteur!CD, il existe un unique pointBtel que!AB=!CD.D

´efinition:!AB+!BC=!AC.Propri

´et´e: la somme ainsi d´efinie ne d´epend pas du point de baseA.Multiplication par un scalaire : d

´efinition (facile!).Alignement de points et colin ´earit´e (facile!).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202119 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesQue d

´emontrer?

D

´efinition analytiqueD

´efinition des coordonn´ees d"un point. Existence et unicit´e de ces coordonn´ees.D ´efinition des coordonn´ees d"un vecteur. Si l"on dispose de la d´efinition g ´eom´etrique du vecteur :ind´ependance de ces coordonn´ees en fonction du repr ´esentant.Somme, multiplication par un scalaire : d

´efinitions (facile!).Somme, multiplication par un scalaire :ind´ependance de ces op´erations en

fonction du repr

´esentantAlignement de points et colin

´earit´e (difficile!).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202120 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceVecteurs : une d

´efinition

Informellement, un vecteur est d

´efini par :sa direction (la droite par laquelle il est port ´e);son sens (son orientation le long de la drotie); sa longueur.

Formellement, on identifie les couples de points(A;B)et(C;D)tels que :les droites(AB)et(CD)sont parall`eles;(A;B)et(C;D)sont dans le mˆeme sens;AB=CD...

... siA6=BetC6=D. On d´efinit`a par le vecteur nul. On note la classe d"´equivalence!AB=!CD.Proposition: On d´efinit ainsi une relation d"´equivalence.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202121 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceVecteurs : une autre d

´efinition

Plus souvent, on rencontre par exemple :Definition (D

´efinition-Propri´et´e)Un vecteur

!ABest une quatit´e qui a une direction, une longueur et un sens. Deux vecteurs non nuls!AB,!CDsont´equivalents si et seulement si(AB)et(CD)sont parall `eles,AB=CDet les paires de points(A;B)et(C;D)sont dans le mˆeme sens.Quelle est la d ´efinition? Quelle est la propri´et´e?Quel est l"int ´erˆet de cette approche?Damien THOMINEVecteurs16 avril 202122 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceSomme de vecteurs

La somme de vecteurs est d

´efinie par leur concat´enation (relation de Chasles).

Informellement,!AB+!BC=!AC.Formellement : soient

!u,!vdeux vecteurs, etAun point du plan.

SoitBtel que!AB=!u.

SoitCtel que!BC=!v.

On pose!u+!v:=!AC.Proposition: Soient!uun vecteur etMun point du plan. Il existe un unique pointNtel

que!u=!MN.Proposition: La somme ainsi d´efinie ne d´epend pas du pointAchoisi.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202123 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceAparte : vecteurs et parall

´elogrammes

SoitABCDun parall´elogramme. Alors!AB=!DCet!AD=!BC.Pour montrer que la somme de vecteurs est bien d

´efinie, on veut utiliser la r´eciproque :

si!AB=!DCalorsABCDest un parall´elogramme.Qu"est-ce qu"un parall

´elogramme plat?C

ˆot´es oppos´es parall`eles?C

ˆot´es oppos´es de mˆeme longueur?... ou l"on se contente de l" ´equivalence!AB=!DCsi et seulement si!AD=!BC.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202124 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceMultiplication d"un vecteur par un r

´eel

Soient

!uun vecteur etun r´eel. On d´efinit le vecteur!ucomme le vecteur :de m

ˆeme direction que!u;de m

ˆeme sens que!usi >0, et de sens oppos´e si <0;de longueurjjfois la longueur de!u. ... les cas !u=!0 et=0 sont`a d´efinir`a part. ... il faudrait v ´erifier que la notion de longueur de vecteur est bien d´efinie.Formellement : soient !u6=!0 un vecteur,un r´eel etAun point du plan.

SoitBtel que!AB=!u.

SoitCd"abscissesur la droite(AB)dans le rep`ere(A;B).

On pose!u:=!AC.Proposition: La multiplication ainsi d´efinie ne d´epend pas du pointAchoisi.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202125 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceEt ensuite...

Passage en coordonn

´ees. D´efinition des coordonn´ees d"un vecteur, addition et multiplication par un r

´eel en coordonn´ees.Les coordonn

´ees permettent de d´emystifier ces op´erations d"addition et de multiplication, et de d ´emontrer facilement les axiomes d"espace vectoriel.Passage en coordonn

´ees : expos´e d"Alicia.

Axiomes d"espace vectoriel : expos

´e de Delphine.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202126 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursIntroduire les vecteurs

Longtemps, les vecteurs

´etaient introduits via l"identification de couples de points. Maintenant, la logique du programme est hybride : identification de couples de points, mais s"appuyant sur les transformations (point de vue alg

´ebrique) :D

´efinir les translations du plan (4`eme) :`a deux pointsAetB, on associe la translation qui envoieAsurB.Introduire les vecteurs comme couples de points correspondant `a la mˆeme translation (2nde). Composition et relation de Chasles.Fixer un rep `ere. Coordonn´ees de vecteurs et op´erations alg´ebriques : addition, multiplication par un r

´eel.`

A aucun moment on n"identifie explicitement vecteur et translation. Cependant, les translations permettent :d"introduire les vecteurs et leur relation d" ´equivalence;d"introduire la somme de vecteurs (composition des translations); de glisser un certains nombre de points techniques sous le tapis (non d

´emontr´es

au cycle 4, admis en 2nde).

Damien THOMINEVecteurs16 avril 202127 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursLes translations au cycle 4

Ecueil : les documents Eduscol de cycle 4

Citations extraites du document ressource "G

´eom´etrie plane", Cycle 4.

Du cycle 2 au cycle 4, le contr

ˆole des propri´et´es g´eom´etriques passe de la perception au dessin, puis `a une g´eom´etrie plus abstraite, contrˆol´ee par le raisonnement, qu"il soit formalis ´e ou non par une d´emonstration´ecrite.M

ˆeme document :

Les autres transformations (translations, rotations, homoth

´eties) sont introduites pour

d ´ecrire ou pour construire certains objets, notamment les frises, pavages et rosaces.

Elles peuvent

ˆetre d´ecouvertes avec les fonctionnalit´es des logiciels de g´eom´etrie.

Elles sont essentiellement utilis

´ees avec ces logiciels, et leur d´efinition formalis´ee en tant qu"applications ponctuelles n"est pas un attendu.On vous demande de faire de la g ´eom´etrie en 4`eme dans le mˆeme cadre qu"`a l"´ecole primaire (g

´eom´etrie perceptive).

Pas de d

´efinition, pas de raisonnement possible, a fortiori pas d"utilisation des translations comme outils de d ´emonstration.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202129 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursLes translations au cycle 4

Les translations : d

´efinition

Question: Comment d´efinir une translation au coll`ege?Version intuitive : Translater une figure, c"est la d

´eplacer sans la d´eformer, la faire

tourner, ou la changer de taille.Version formelle : `A toute paire de points du planAetB, on associe la translation deA versB.´Etant donn´e un pointCdu plan, cette translation envoieCsur le pointDtel que ABDCsoit un parall´elogramme.Ce qui est souvent pr ´esent´e commem´ethode de constructionest en fait une d ´efinition. Il ne faut pas l"oublier!Damien THOMINEVecteurs16 avril 202130 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursLes translations au cycle 4

Propri

´et´es sous-jacentes

Certaines propri

´et´es intuitives peuventˆetre admises par les´el`eves (cf. le cours sur les axiomes en g ´eom´etrie) ou cach´ees :Les translations sont des isom ´etries.Pour tousAetB, il existe une unique translation qui envoieAsurB.La compos ´ee de deux translations est une translation.Les translations commutent.

Les compositions de translations sont travaill

´ees dans le cadre des frises et pavages.

Pensez

`a concat´ener les vecteurs!Damien THOMINEVecteurs16 avril 202131 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursLes translations au cycle 4

Grilles

Un savoir-faire consiste

`a appliquer des translation`a des objets en s"aidant d"une grille.Avantage : introduire les coordonn

´ees d"un vecteur sans introduire de point base (en d"autre termes, les coordonn ´ees du vecteur ne d´ependent pas du point base).Ne pas encore ´ecrire en coordonn´ees; pr´ef´erer au d´ebut "2 pas`a droite, 1 pas vers le bas" plut

ˆot que(2;1), afin de ne pas identifier encore vecteur et coordonn´ees.Tous les exemples de grilles trouv

´ees sont orthonorm´ees...Damien THOMINEVecteurs16 avril 202132 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursLes translations au cycle 4 R

´esum´e

Penser

`a introduire le mat´eriel suivant sur les translations d`es le cycle 4 :m ´ethode de construction des translations (pr´esent´ee comme d´efinition ou non);repr ´esentation par des fl`eches;vocabulaire de direction (pas dans le sens usuel!), sens, longueur; les pavages, compositions de translations et concat ´enations de fl`eches;le vocabulaire de vecteur.

Le lien avec la physique sont

`a votre discr´etion (cf. sous-section suivante).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202133 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursPoint de vue physique : direction, sens, longueur D

´efinition physique

Une physique, une d

´efinition possible est par exemple :

Un vecteur est une grandeur ayant une direction, un sens et une magnitude.

Les vecteurs sont repr

´esent´es par des fl`eches.Dans une certaine mesure, on peut s"appuyer sur ce type de d

´efinition pour dresser

des parall `eles entre math´ematiques et physique (ce qui enrichit les deux). En particulier, on pourra :utiliser le vocabulaire de direction, sens, longueur; repr

´esenter les vecteurs par des fl`eches.

Notamment, les notions de direction (parall

´elisme) et de longueur sont d´ej`a pr´esentes en math ´ematiques, et une fl`eche repr´esente naturellement un d´eplacement (donc une translation).

Damien THOMINEVecteurs16 avril 202135 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursPoint de vue physique : direction, sens, longueur

Aspect kin

´esth´etique

En physique, les vecteurs sont introduits pour repr

´esenter des forces (puis s"´etendent`a

d"autres grandeurs : vitesse, acc ´el´eration, moment cin´etique, champs´electrique et magn ´etique...).En plus d"une intuition visuelle (g ´eom´etrique), on dipose occasionnellement d"une intuition kinesth ´etique. Par exemple ("The Singular Mind of Terry Tao", New York

Times, 24 juillet 2015) :

Early in his career, he struggled with a problem that involved waves rotating on top of one another. He wanted to come up with a moving coordinate system that would make things easier to see, something like a virtual Steadi

ˆAcam. So he lay down on the floor

and rolled back and forth, trying to see it in his mind"s eye. "My aunt caught me doing

this," Tao told me, laughing, "and I couldn"t explain what I was doing."C"est le cas ici : on se repr

´esente mentalement une force agissant sur soi par sa direction, son sens et son intensit ´e, pas par des coordonn´ees.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202136 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursPoint de vue physique : direction, sens, longueur

Attention aux

´ecarts

quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

[PDF] frise definition mathematique

[PDF] programme limitatif arts plastiques 2017

[PDF] frise mathématique ce1

[PDF] option escrime au bac

[PDF] exemple dossier audiovisuel bac

[PDF] option art danse bac 2017

[PDF] option danse eps bac 2017

[PDF] bac danse fiche synthétique

[PDF] bac danse eps theme

[PDF] topologie induite

[PDF] option danse bac 2016

[PDF] topologie maths cours pdf

[PDF] espace topologique séparé

[PDF] eps danse bac

[PDF] topologie discrète