Activités préparatoires Mathématiques (2) : trigonométrie (2019-2020) PDF

TRIGONOMÉTRIE

π est donc la mesure principale de cet angle orienté. III. Propriété des angles orientés. 1) Angle nul angle plat. Propriétés : Pour tout vecteur

CHAPITRE I TRIGONOMETRIE

o Alors que les formules pour sin et cos sont valables pour tous xy∈ℝ

Notions élémentaires dalgèbre et de trigonométrie Jean-Philippe

Plus d'info sur : http://georges-barthélemy.fr/implication_logique_mathématiques.pdf 6n + 1 est un multiple de 5 pour tout entier n naturel non nul. Preuve ...

Trigonométrie

Maintenant que nous nous sommes familiarisés avec le nombre π nous allons pouvoir définir une nouvelle unité de mesure pour les angles. Avant toute autre chose

Trigonométrie circulaire

nuls) si et seulement si x /∈ (π6 + π. 3Z). Pour un tel x tan(3x) = sin(3x) ... trigonométrique suffit pour se convaincre du résultat. Exercice 7. Résoudre ...

Chapitre I : Géométrie et trigonométrie

plus en plus petit pour devenir nul. Plus loin nous verrons que le rapport (a/b) est appelé "tangente de l'angle α". Elle est infinie pour un angle de 90°.

Trigonometrie.pdf

2 Etude des fonctions circulaire sinus cosinus et tangente. 2.1 Fonctions périodiques. Soit f une fonction définie sur Df et T un réel non nul. On dit que f

Synthèse de trigonométrie

L'angle nul est l'angle dont les côtés sont superposés. Degré. On mesure l'amplitude d'un angle tracé sur une feuille à l'aide d'un rapporteur. Le degré.

TRIGONOMETRIE ET CALCUL NUMERIQUE

On demande de calculer la valeur numérique de sin(C) si les angles B et D aux deux autres sommets du quadrilatère sont droits. Pour résoudre cette question il

TRIGONOMÉTRIE

En effet son rayon est 1 donc P = 2?R = 2? x 1 = 2?. Après enroulement

TRIGONOMÉTRIE

? est donc la mesure principale de cet angle orienté. III. Propriété des angles orientés. 1) Angle nul angle plat. Propriétés : Pour tout vecteur

Chapitre I : Géométrie et trigonométrie

plus en plus petit pour devenir nul. Plus loin nous verrons que le rapport (a/b) est appelé "tangente de l'angle ?". Elle est infinie pour un angle de 90°.

Trigonométrie circulaire

Les formules en sinus et cosinus sont valables pour tout réel x. Les formules n'utilisant que la tangente sont valables pour x n'appartenant pas à ?. 2. + ?Z

Synthèse de trigonométrie

L'angle nul est l'angle dont les côtés sont superposés. Degré. On mesure l'amplitude d'un angle tracé sur une feuille à l'aide d'un rapporteur. Le degré.

Chapitre n°7 : « Trigonométrie »

Formules de trigonométrie. 1/ Le cosinus. Activité. (voir sur l'ENT). Définition. Dans un triangle rectangle le cosinus d'un angle aigu est égal au

Cours de trigonométrie (troisième)

On avait alors utilisé le théorème de Thalès pour montrer l'existence du cosinus. On a aussi avec l'angle ACB : cos ACB = AC. BC. ; sin ACB = AB.

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1 févr. 2021 Comment repérer un point sur le cercle trigonométrique : MatheX. Maths 1ère - Licence CC BY-NC-SA 4.0. 6 / 33. Page 8. Trigonométrie.

Activités préparatoires Mathématiques (2) : trigonométrie (2019-2020)

4 août 2019 Définition du cercle trigonométrique du sinus et du cosinus ... a) Définition : le produit scalaire des vecteurs non nuls.

FONCTIONS COSINUS ET SINUS

À ce point on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique. 2) Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus :.

Activités préparatoires Mathématiques (2) : trigonométrie (2019-2020)

4 août 2019 1 / 1

Définition du cercle trigonométrique, du sinus et du cosinuscercle trigonométrique

Définitions

Dans un repère orthonormé, on

considère le cercle centré à l"o ri- gine et de ra yon1 . Il est o rienté positivement lo rsqu"onle pa r- court dans le sens inverse des ai- guilles d"une montre si les axes sont orientés comme sur la fi- gure ci-contre. Ce cercle est ap- pelé cercle trigonométrique

4 août 2019 2 / 1

Définition du cercle trigonométrique, du sinus et du cosinussinus et cosinus

A tout réelxon associe un

pointPdu cercle trigonomé- trique de la façon suivante.

Six0, on parcourt le

cercle dans le sens positif à partir du point de coordonnées (1;0)jusqu"à ce que l"arc décrit soit de longueurx.

Six<0, on parcourt le

cercle dans l"autre sens à partir du même point jusqu"à ce que l"arc décrit soit de longueurx.4 août 2019 3 / 1 Définition du cercle trigonométrique, du sinus et du cosinussinus et cosinus L" abscisse du p ointPest le réel cosx; son o rdonnée est le réel sin x.

Dès lors, le pointPa pour

coordonnées(cosx;sinx).4 août 2019 4 / 1 Définition du cercle trigonométrique, du sinus et du cosinussinus et cosinus

Ces réels sinxet cosxvarient

dans[1;1], ensemble dans le- quel varient les abscisses et les ordonnées des points du cercle trigonométrique.

4 août 2019 5 / 1

Définition du cercle trigonométrique, du sinus et du cosinussinus et cosinus

Selon le quadrant dans lequel

se trouveP, on peut déduire le signe de ces réels.

Ainsi, l"image du sinus et du co-

sinus est l"ensemble[1;1]tan- dis que leur domaine de défini- tion est l"ensemble des réelsR.4 août 2019 6 / 1 Définition du cercle trigonométrique, du sinus et du cosinussinus et cosinus Enfin, la longueur du cercle étant égale à 2, aux réelsxet x+2k(k2Z)on associe le même pointP; on a donc cos(x+2k) =cosx;sin(x+2k) =sinx;k2Zet on dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2.4 août 2019 7 / 1 Définition du cercle trigonométrique, du sinus et du cosinussinus et cosinus

Graphiques et variationsx0

2 32

2sin(x)0%1&0& 1%04 août 2019 8 / 1

Définition du cercle trigonométrique, du sinus et du cosinussinus et cosinus

Graphiques et variationsx0

2 32

2cos(x)1&0& 1%0%14 août 2019 9 / 1

Formule fondamentale

Par application du théorème

de Pythagore dans le triangle

OMP, rectangle enM, on a

jOMj2+jMPj2=jOPj2ce qui

équivaut à

cos

2x+sin2x=14 août 2019 10 / 1

Formules des angles associés

Soit le pointPassocié au réelxetP0à l"autre réel considéré.

Angles égaux: soient les réelsxetx+k2;k2Z;

les pointsPetP0sont confondus et on a sin(x+2k) =sinxcos(x+2k) =cosx;k2Z4 août 2019 11 / 1

Formules des angles associés

Soit le pointPassocié au réelxetP0à l"autre réel considéré. Angles supplémentaires: soient les réelsxetx; les pointsPetP0sont symétriques par rapport à l"axe des ordonnées et on a sin(x) =sinxcos(x) =cosx4 août 2019 12 / 1

Formules des angles associés

Soit le pointPassocié au réelxetP0à l"autre réel considéré. Angles anti-supplémentaires: soient les réelsxet+x; les pointsPetP0sont symétriques par rapport à l"origine des axes et on a sin(+x) =sinxcos(+x) =cosx4 août 2019 13 / 1

Formules des angles associés

Soit le pointPassocié au réelxetP0à l"autre réel considéré.

Angles opposés: soient les réelsxetx;

les pointsPetP0sont symétriques par rapport à l"axe des abscisses et on a sin(x) =sinxcos(x) =cosxAinsi, la fonction sinus est une fonction impaire alors que la fonction cosinus est paire.

4 août 2019 14 / 1

Formules des angles associés

Soit le pointPassocié au réelxetP0à l"autre réel considéré. Angles complémentaires: soient les réelsxet2 x; les pointsPetP0sont symétriques par rapport à la première bissectrice (la droite d"équationy=x) et on a sin(2 x) =cosxcos(2 x) =sinx4 août 2019 15 / 1

Valeurs particulières

x0 6 4 3 2 sinx01 2p2 2p3 21
cosx1p3 2p2 21
20

4 août 2019 16 / 1

tangente et cotangentedéfinitions tangente et cotangente Les fonctions tangente et cotangente se définissent de la manière suivante pour autant que leur dénominateur soit différent de zéro.

Vu ces définitions,

le domaine de définition de la tgest l"ensemble des réels dont on retire ceux qui annulent le cosinus c"est-à-dire dom(tg) =Rn f2 +k:k2Zg le domaine de définition de la cotangenteest l"ensemble des réels dont on exclut ceux pour lesquels le sinus vaut zéro c"est-à-dire dom(cotg) =Rn fk:k2Zg.

L"imagede ces deux fonctions estR.

Six6=k2

(k2Z), on atgx:cotgx=1; ces deux réels sont donc toujours de même signe.4 août 2019 17 / 1 tangente et cotangentedéfinitions

Interprétation graphique

SiPest le point associé au réelx6=k2

(k2Z)alorstgxest l"ordonnée du pointTetcotgxest l"abscisse du pointT0.4 août 2019 18 / 1 tangente et cotangentedéfinitions Ces deux fonctions sont positives dans le premier et le troisième quadrant (là où sinus et cosinus sont de même signe) et négatives dans les deux autres quadrants; elles sont égalementimpairesetpériodiquesde période

Graphiques

4 août 2019 19 / 1

tangente et cotangenteFormules

A partir de laformule fondamentale, on a

2x+1=1cos

2x;x6=2

+kcotg2x+1=1sin

2x;x6=k(k2Z)A partir desformules des angles associésvues pour le sinus et le cosinus,

on peut déduiretg(x+2k) =tgxetcotg(x+2k) =cotgx(k2Z)tg(x) =tgxetcotg(x) =cotgxtg(+x) =tgxetcotg(+x) =cotgxtg(x) =tgxetcotg(x) =cotgxtg(2

x) =cotgxetcotg(2 x) =tgx4 août 2019 20 / 1 tangente et cotangentevaleurs particulières A partir desvaleurs particulièresdu sinus et du cosinus, on ax0 6 4 3 2 tgx0p3

31p3n"existe pas

cotgxn"existe pasp31p3 30

4 août 2019 21 / 1

exercices exercices

1. Sans calculette, calcule

1) sin

4 :tg6 cos6 :tg3 =5) sin23 2) cos3 +cos6 cos 3 cos6 =6) cos(74

3) sin

22
cos26 +tg23 =7)tg116

4)cotg24

1sin 26
1cos 23
=8)cotg163 =4 août 2019 22 / 1 exercices exercices

2. Sans calculette, détermine la valeur des autres nombres trigonométriques

dexsachant que

1) sinx=p5

5 avecx2]32 ;2[3)tgx=2p2 avecx2];2[

2) cosx=17

avecx2];32 [4)cotgx=1 avec cosx>04 août 2019 23 / 1 exercices exercices

3. Simplifie les expressions suivantes (supposées définies)

1) sin(2

+x):cos(x):cotg(32 x) +sin(2 x):sin(32 x):cotg(32 +x)

2)tg(x+3) +cotgx+tg(x2

3) sin(2 x):cos(x):tg(2+x)sin(x2 ):sin(x2) 4) sin(32 x):cos(x2 )cotg(x):sin2(x) 5) sin(32 a):tg(b)tg(+b):cos(a)+cotg(2 +a):sin(c2 )cos(c):tg(a)4 août 2019 24 / 1 Rappel relatif au produit scalaire de deux vecteurs Rappel relatif au produit scalaire de deux vecteurs a) Définition: le produit scalaire des vecteursnon nuls!u;!vest le réelquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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Définitions

Dans un repère orthonormé, on

4 août 2019 2 / 1

A tout réelxon associe un

Six0, on parcourt le

Six<0, on parcourt le

Dès lors, le pointPa pour

Ces réels sinxet cosxvarient

4 août 2019 5 / 1

Selon le quadrant dans lequel

Ainsi, l"image du sinus et du co-

Graphiques et variationsx0

2sin(x)0%1&0& 1%04 août 2019 8 / 1

Graphiques et variationsx0

2cos(x)1&0& 1%0%14 août 2019 9 / 1

Formule fondamentale

Formule fondamentale

Par application du théorème

OMP, rectangle enM, on a

équivaut à

2x+sin2x=14 août 2019 10 / 1

Formules des angles associés

Formules des angles associés

Angles égaux: soient les réelsxetx+k2;k2Z;

Formules des angles associés

Formules des angles associés

Formules des angles associés

Angles opposés: soient les réelsxetx;

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Formules des angles associés

Valeurs particulières

Valeurs particulières

4 août 2019 16 / 1

Vu ces définitions,

L"imagede ces deux fonctions estR.

Six6=k2

Interprétation graphique

SiPest le point associé au réelx6=k2

Graphiques

4 août 2019 19 / 1

A partir de laformule fondamentale, on a

2x+1=1cos

2x;x6=2

2x;x6=k(k2Z)A partir desformules des angles associésvues pour le sinus et le cosinus,

31p3n"existe pas

4 août 2019 21 / 1

1. Sans calculette, calcule

1) sin

3) sin

4)cotg24

2. Sans calculette, détermine la valeur des autres nombres trigonométriques

1) sinx=p5

2) cosx=17

3. Simplifie les expressions suivantes (supposées définies)

1) sin(2

2)tg(x+3) +cotgx+tg(x2