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A. P. M. E.P.

?Corrigé du baccalauréat STI2D - Spécialité?

Métropole-La Réunion juin 2021

Physique-ChimieetMathématiques

EXERCICE1 commun à tousles candidats 4 points

Le son est produit par la vibration d"objets et il arrive jusqu"à nos oreilles sous forme d"ondes se propageant dans l"air. Les sons sont perçus de manière plus ou moins intense. du signal perçue par l"oreille.

On calcule le niveau d"intensité sonore notéLen décibels (dB) à partir de l"intensité sonore

notéeI(W.m-2) par la relation :L=10log?I I0? On rappelle queI0=10-12W.m-2(intensité sonore minimale de référence).

Partie A : ondesonore et intensité

Nos oreilles peuvent être endommagées irrémédiablement sile niveau d"intensité sonore et la

durée d"exposition au bruit sont trop importants. Une personne souhaite assister au décollage de la fusée Ariane sans protection auditive.

Données :

L"intensité acoustique du bruit généré par le décollage de la fusée Ariane vaut 102W.m-2à une

distance de 100 m de la rampe de lancement. Donc le niveau d"intensité sonore à une distance de 100 m de larampe de lancement est :

L=10log?I

I0? =10log?10210-12? =10log?1014?=10×14=140 dB. On considère, pour simplifier, que l"oreille humaine ne subit pas de dommage pour un son dont le niveau d"intensité sonore ne dépasse pas 100 dB, pendant une durée d"exposition ne dépassant pas quatre minutes par jour; il faut donc que la distance soit suffisamment grande pour que le niveau d"intensité sonore baisse de 40 dB. Le niveau d"intensité sonore diminue de 20 dB lorsque la distance par rapport à la source est multipliée par10; ilfautdoncmultiplier par100 la distance pourque leniveausonore diminue de 40 dB. La distance minimale à respecter est donc en mètre de100×100 soit 10 km.

Partie B : étudemathématique

a.L=10log?I I0? ??L10=log?II0? ??10L

10=II0??I=I0×10L

10 c.I100=10-12×10100

10=10-12×1010=10-2W.m-2

DoncI100=105×I50

L"intensité sonoreIne double pas lorsque l"on double le niveau d"intensité sonoreL.

Baccalauréat STI2D STLA. P. M. E.P.

d.Pour une distance à la sourced1(resp.d2), on noteL1(resp.L2) le niveau d"intensité sonoreàladistanced1(resp.d2)delasource etI1(resp.I2)l"intensitésonoreàladistance d

1(resp.d2) de la source.

Leniveau d"intensité sonore diminue de 20 dB lorsque la distance parrapportà la source est multipliée par 10. Ainsi sid2=10d1, on a :L2=L1-20 (dB). I

1=I0×10L

1

10etI2=I0×10L

210

Sid2=10d1, alorsL2=L1-20 et donc

I

2=I0×10L

2

10=I0×10L

1-2010=I0×10?

L110-2?

=I0×10L

110×10-2=I1×10-2=I1100

Donc l"intensité sonore est divisée par 100 lorsque la distance par rapport à la source est multipliée par 10.

EXERCICE3 commun à tousles candidats 4 points

Lecandidat doit traiter quatre questions parmi les six que comporte l"exercice.

Question 1

Soitfla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parf(x)=ax+b-ln(x) aveca?Retb?R. On noteC, la courbe représentative deftracée dans le repère ci- dessous. On note A le point d"abscisse 0,5 appartenantà la courbeCf.

On noteTla tangente à la courbeCf, au point A. La droiteTest parallèle à l"axe des abscisses.

Le point B(1; 1) appartient à la courbeCf.

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,000,51,01,52,02,53,0

xy T AB Cf a.B(1 ; 1)?Cfdoncf(1)=1. f(1)=1??a+b-ln(1)=1??a+b=1 b.La courbe admet en A une tangente parallèle à l"axe des abscisses donc de coefficient directeur égal à 0; on a doncf?(xA)=0 c"est-à-diref?(0,5)=0. f ?(x)=a-1 x;f?(0,5)=0??a-10,5=0??a-2=0??a=2 c.a+b=1 eta=2 doncb=-1; on en déduit quef(x)=2x-1-ln(x).

Métropole-La Réunion - corrigé2juin 2021

Baccalauréat STI2D STLA. P. M. E.P.

Question 2

Uneentrepriseachèteunemachine d"unevaleur de300000?. Cettemachine perddesa valeur

au fil des années. Cette perte exprimée en euro, à l"instanttexprimé en année, est modélisée

par la fonctionfdéfinie sur [0; 15] par :f(t)=300000?1-e-0,09t?. La machine aura perdu la moitié de sa valeur pourttel quef(t)=150000; on résout cette

équation :

??ln(0,5)=-0,09t??t=-ln(0,5) 0,09 ln(0,5)

0,09≈7,7 donc au bout de 8 ans, la machine aura perdu plus de la moitié de sa valeur.

Question 3

On considère la fonctionfdéfinie sur ]0 ;+∞[ parf(x)=2x-1-ln(x). a.Pour toutxappartenantà ]0 ;+∞[,f?(x)=2-0-1 x=2x-1x. b.• Surl"intervalle]0;+∞[,x>0doncf?(x)estdusignede2x-1quis"annuleetchange de signe pourx=0,5. •f(0,5)=2×0,5-1-ln(0,5)=-ln?1

2?=ln(2)

• lim x→0(2x-1)=-1 et limx→0 x>0ln(x)=-∞donc limx→0 x>0f(x)=+∞ • Sur l"intervalle ]0 ;+∞[,x?=0 donc on af(x)=2x-1-ln(x)=x?

2-ln(x)

x? -1. lim x→+∞ln(x) x=0 donc limx→+∞?

2-ln(x)x?

=2 et donc limx→+∞f(x)=+∞ On dresse le tableau de variations de la fonctionfsur ]0 ;+∞[ : x0 0,5+∞

2x-1---0+++

f?(x)---0+++ f(x) ln(2)

Question 4

a.On considère l"équation différentielle (E):y?+0,0434y=0. D"après le cours, l"équation différentielleay?+by=0 poura?=0 a pour solutions les fonctionsfdéfinies surRparf(x)=ke-b axaveck?R. Donc l"équation différentielle (E) a pour solution dans [0 ;+∞[ les fonctionsPdéfinies parP(x)=ke-0,0434xaveck?R.

P(0)=6,75??ke0=6,75??k=6,75.

Sur [0 ;+∞[ la solutionPde cette équation différentielle qui vérifie la condition initiale

P(0)=6,75 est définie parP(x)=6,75e-0,0434x.

Métropole-La Réunion - corrigé3juin 2021

Baccalauréat STI2D STLA. P. M. E.P.

b.Un signal de puissance initialeP(0)=6,75 mW parcourt une fibre optique. La puissance du signal, exprimée en mW, lorsque celui-ci a parcouru une distance dexkilomètres

depuis l"entrée de la fibre optique, est donnée parP(x) oùPest la fonction déterminée à

la question a. La puissance du signal au bout de 1 km estP(1)≈6,4633, donc la pertede puissance une fois que le signal a parcouru 1 km depuis l"entrée est, en mW,P(0)-P(1)≈0,2867 soit environ 287μW.

Question 5

Soitfla fonction définie surRparf(x)=?x2+5x+4?ex. SoitFla fonction définie surRparF(x)=?x2+3x+1?ex. a.Pour toutxappartenantàR, F =f(x). Donc la fonctionFest une primitive de la fonctionfsurR. b.? 1 0

Question 6

La tensionuaux bornes d"un générateur dépendant du tempstest donnée par : u(t)=240cos(50t)-240sin(50t). La tensionuest exprimée en volt et le tempstest exprimé en seconde. a.Pour touttappartenantà [0 ;+∞[, 240?
2cos?

50t+π4?

=240? 2? cos (50t)×?2

2-sin(50t)×?

2 2? =240cos(50t)-240sin(50t)=u(t) b.On déduit que la pulsationωvaut 50 et donc que la fréquencefest égale àω

2π=502π≈8.

Métropole-La Réunion - corrigé4juin 2021

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