[PDF] Chapitre 7 - Fonctions Quadratiques

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GYMNASE DE BURIER

Chapitre 7 - Fonctions Quadratiques

Sarah D´egallier Rochat1. Fonctions quadratiques et paraboles Une fonction quadratique est une fonction de la forme f(x) =ax2+bx+caveca?= 0.La courbe repr´esentative d"une fonction quadratique est uneparabole.O1 1xy

Sia> 0la parabole

estconvexeO1 1xy

Sia< 0la parabole

estconcaveGYMNASE DE BURIER1MSt1 Exercice 1.1Les paraboles suivantes sont-elle convexes ou concaves?O1 1xy

ConcaveO1

1xy

Convexe

Exercice 1.2Les fonctions suivantes sont-elles quadratiques? Si oui, la parabole correspondante est-elle convexe ou concave? a)-2x2+ 5x-21Oui / Concave (a=-2<0)b)4-x2Oui / Concave (a=-1<0)c)

15x2+ 2x+ 1Non

d)3x+ 1Non e)3x+x2Oui / Convexe (a= 1<0)f)⎷x2+ 3x-2Non2. Points caract´eristiques Soit la parabole d"´equationy=x2+ 4x-5. Ses points caract´eristiques sont les suivants.O1 1xy

Axe de sym´etriex=-2SommetS(-2,-9)-9-2

Ordonn´ee `a l"origineH(0,-5)Z´eroZ1(1,0)Z´eroZ2(-5,0)Une fonction quadratique a toujours un sommet et une ordonn´ee `a

l"origine; elle peut avoir 0, 1 ou 2 z´eros.GYMNASE DE BURIER1MSt2 Soity=ax2+bx+cl"´equation d"une parabole.Coordonn´ees du sommetS=? -b2a;-Δ4a?avecΔ= b2-4ac.Equation de l"axe de sym´etriex=-b2a(droite verticale passant par le sommet)Exemple 2.1Soit la parabole d"´equationy=-12 x2-x+ 4. Calculer les coordonn´ees du sommet et l"´equation de l"axe de sym´etrie.On aa=-

12,b=-1etc=4.

On calcule :Δ= (-1)2-4·?-12

?·4=1+8=9On remplace :S=? -12·(-12

94·(-12

?-1,92

?L"´equation de l"axe de sym´etrie est doncx=-1.Exemple 2.2Soitf(x) =ax2+bx+cune fonction quadratique.

Calculerf(0).f(0) =a·02+b·0+c=cLe pointH(0;c)fait donc partie du graphe de la fonction (i.e, de

la parabole).On appelle ce point l"ordonn´ee `a l"origine car il

correspond `a la valeur de l"ordonn´ee (y) lorsquex= 0.Ordonn´ee `a l"origineH= (0;c)Exemple 2.1 (suite)Calculer l"ordonn´ee `a l"origine de la parabole

d"´equationy=-12 x2-x+ 4. Placer ce point ainsi que le sommet et l"axe de sym´etrie sur le graphique.On aH= (0;c)= (0;4).GYMNASE DE BURIER1MSt3 O1

1xySommetS?-1;92

?Axe de sym´etriex=-1Ordonn´ee `a l"origineH(0;4)Soitf(x) =ax2+bx+c. Les z´eros de la fonctionf(x)

correspondent aux solutions de l"´equationax2+bx+c= 0.Z´eros (1) SiΔ>0, il y a deux intersections : Z

1?-b+⎷Δ

2a;0? etZ2?-b-⎷Δ 2a;0? Z

1(x1;0)Z

2(x2;0)xy

(2) SiΔ = 0, il y a une seule intersection : Z

1?-b2a;0?xy

Z

1(x1;0)(3) SiΔ<0, il n"y a pas intersections.

xyGYMNASE DE BURIER1MSt4 Exemple 2.1 (suite)Calculer les z´eros de la fonction f(x) =-12 x2-x+ 4. Compl´eter le graphique pr´ec´edent.On r´esoud l"´equation-12 x2-x+ 4 = 0.- 12 x2-x+ 4 = 0MEE 12 (x2+2x-8)= 0SP 12 (x+4)(x-2)= 0?S={-4;2}Il y a deux solutions, il y aura donc deux z´eros : Z

1(-4;0)etZ2(2;0)Remarque 2.1La premi`ere coordonn´ee du sommetxSd"une

parabole est toujours ´egale `a la moyenne des premi`eres coordonn´ees des z´erosxZ1etxZ2x

S=xZ1+xZ22

S"il n"y a qu"un z´ero, on axS=xZ.Exemple 2.2Dans l"exemple pr´ec´edent, on avait S -1;92 ,Z1(-4;0)etZ2(2;0) V´erifier la formule de la remarque pr´ec´edente.On axS=-1,xZ1=-4etxZ2=2.Donc xquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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