[PDF] Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

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© Ministère de l"enseignement supérieur et de la recherche, 2013

Programmes des classes

préparatoires aux Grandes Ecoles

Filière

: économique et commerciale

Option

: Scientifique (ECS)

Discipline

: Mathématiques-

Informatique

Première année

1 Objectifs généraux de la formation3

2 Compétences développées3

3 Architecture des programmes4

E??????? ??? ?? ???é ??????? ?? ??? ??? ?? ?????? ? ? Raisonnement et vocabulaire ensembliste6 ?? ? Nombres complexes et polynômes7 ??? ? Algèbre linéaire7 ?? ? Suites de nombres réels9

? ? E??????? ?? ?????? ??????? 9

? ? Fonctions réelles d'une variable réelle10

1 ? Gé?é?????é? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1

?? C?? ?é?é??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16

?? C?? ?? ?? ?? ?????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 ?? C?? ??? ???? ?????? ?? ?? ??? ??????? ????é?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17

? Sé???? ?? é?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 18

6 ? F?? ???? ?? T? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19

7 ? Dé??????? ???? ?? ??é? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

8 ? E???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? Éléments d'informatique et d'algorithmique26 ?? ? Liste de savoir?faire exigibles en première année27 ?? ??? ?è?? ?? ??? ????? ?? ?? ??è?? S?

L?????? ?????? ??? ???????é? ???? ?? ???? ?? ?????é? ?? ???? ?????? ???? ?? ?????? ? ?? ???é?

E??????? ??? ?? ???é ??????? ?? ??? ??? ?? ????? ? ?Raisonnement et vocabulaire ensembliste nX k=0q k?nX k=1k 2?nX k=1k 3? P?Q? ???????nX i =1u i??X i 2 Au i??A??????? ?? ????? ?? Nombres complexes ?? Polynômes ????K? ????K?? ????? ?? ????n?

E??? ???Mn;p(K)??? ??????? àn?????? ??p

T???????é? ????? ???????

tA?

E??? ???Mn(K)??? ??????? ????é?? ???????

???????2? Tout développement théorique est hors programme

Dé?????? ???? ? ??è ? ???é?????

S ??è ? ?? ??è??? S ??è ? ?? C?? ???

i Li+aLj????i6=j?Li aLi(a6= 0)? L j$Li?Li aLi+bLj(a6= 0;i6=j)?I ?????? ?? ? ??è ?AX=Y? Dé?????? ????? ?? ???? ?????? ????? ?? ???? ?é? ?? ?Suites de nombres réels ?? ????? ???é?????? ??A? T?é??è ? ?? ?? ????? ???é???????Ré?????? ?? ??? ?? E??????? ?? ?????? ??????? ????? ??? ??????(Re(n))??(Im(n))?I ???????n? ???? ???? ?? ?????? ??? ??????? ???? (ln( n b)?

En analyse, on évitera la recherche d'hypothèses minimales, tant dans les théorèmes que dans les

exercices et problèmes, préférant des méthodes ecaces pour un ensemble assez large de fonctions

usuelles

Pour les résultats du cours, on se limite aux fonctions dénies sur un intervalle deR Les étudiants

doivent savoir étudier les situations qui s'y ramènent simplement

L'analyse reposant largement sur la pratique des inégalités, on s'assurera que celle?ci est acquise à

l'occasion d'exercices Aucune démonstration n'est exigible des étudiants ?? ??? ???f?????`???? ?????? ??x0??? ???? ???? ??????" >0? ?? ?????? ?? ?????? >0??? ??? ???? ???? ???????x??I\[x0;x0+]? j ??f????? ??? ??????`??x0?? ??(un)??? ??? ????? ?????? ?????? ???I?? ??????? ????x0? ?????

16a < b6+1? ????? ??? ??????? ??

???? ? ?????? ?? ? ?????? ?? ???? ????? ??]a;b[? a ????? ?????[ai;ai+1]? ????? ?? ????f(x) =k? 8 a;b )2I2?a6b? m ba)6f(b)f(a)6M(ba): 8 a;b )2I2;jf(b)f(a)j6kjbaj: ????? ??? ??????I ?? I??é??????? ??? ?? ??? ??? a;b ??? ?Zb a f(t)?t=F(b)F(a)?

F??f???I?

a;b b a f(t)dt6Z b a j f(t)jdt: ??????C1?

L'objectif de cette première approche est de mettre en place un cadre simplié mais formalisé dans

lequel on puisse mener des calculs de probabilités sans diculté théorique majeure

Dans la continuité du programme de terminale, l'étude préalable du cas ni permettra de consolider

les acquis et de mettre en place, dans des situations simples, les concepts probabilistes de base, en ne

faisant appel qu'aux opérations logiques et arithmétiques élémentaires C'est pourquoi, pour le premier

semestre, on se restreindra à un univers ni, muni de la tribuP(

On évitera pour cette première approche un usage avancé de la combinatoire, et l'on s'attachera à

utiliser le vocabulaire général des probabilités ??? ??N? ??? ?? ??????? ??????? ?? ???? ??????

Ai\Aj=;

S i 2 IA i= 1 ?????P( ;P( ??P(A1\A2\:::\An1)6= 0????? ? P nT i =1A i =P(A1)PA1(A2):::PA1\A2\:::\An1(An)?

P(B) =P

i 2

IP(B\Ai)?

?????Bi? ????Bi=Ai??A i? ;P(

X2I]?[X=x]?[X6x]? ????

X?F

X(x) =P(X6x)?

???X( x 2 X( )xP(X=x)? x 2 X(

E(aX+b) =aE(X) +b?

V(X) =E(X2)(E(X))2?

p ??????n p n p =n!p!(np)!? n p =n np ??n p =np n1 p1 ?????? ????? ?? ???? ???? ?? ???B(n;aa+b ?I a;b dim(

F) = dim(E)? ?????F=E?

dim(

F) + dim(G) = dim(E)?

??C?? ?é?é??? 2=p? ??C?? ?? ?? ?? ?????? ???? Im( f)? ??E????F? dimE= dim(Keru) + dim(Imu)? B E?

BG;BE(gf) = MatBG;BF(g)MatBF;BE(f)?

??C?? ??? ???? ?????? ?? ?? ??? ??????? ????é?? ?? ?Compléments d'analyse? u nvn()un=vn+o(vn)? fx0g()f=g+o(g)? ?? Sé???? ?? é?????? ????? ?? ????? ???????un? ?????un+1un???? ??????? ?? ?? ?????(un)?I v k=0x ??? ? ?????? ?? ?? ??????? ?? ???????I ??? ???[a;b[?1< a < b6+1???? ???? ??? Z b a lim x bZ x a f(t) dt?????? ?? ??? ????? Z b a f(t)dt= limx7!bZ x a f(t)dt? b a x7!Z x a f(t)dt??? ??????? ???[a;b[? 1 1dtt Z b adt(ta)??Z 1 0 etdt? ?? ????n??? ?????? ?? F?? ???? ?? T? ??? ?? Dé??????? ???? ?? ??é? x ????o(xn)? ?? E???? ? 8 x

1;x2)2I2;8(t1;t2)2[0;1]2???? ???t1+t2=

1 f(t1x1+t2x2)6t1f(x1) +t2f(x2)? C

Dans ce second temps de l'étude des probabilités, le vocabulaire général est adopté et complété (en par?

ticulier le vocabulaire espace probabilisé et la notation( ;A;P)), mais aucune diculté théorique

ne sera soulevée sur ce cadre L'étude des variables aléatoires et notamment celles des lois usuelles se

fera en lien étroit avec la partie informatique du programme I A=+1\ n =0A n??A=+1[ n =0A n? f 1 ;2;3;4;5;6g?? ??????? ??? ?? ????? ?? ?? ???P( ) = 1? ;A;P)? P 1[ n =0A n! = lim n

1P(An)?

P 1\ n =0A n! = lim n

1P(An)??

P 1[ n =0A n! = lim n 1P n[ k=0A k! P 1\ n =0A n! = lim n 1P n\ k=0A k! ;A;PA)??? ?? ;A)??? ??? ????R????? ???? ???? ???? ????x?f!2 jX(!)6xg??? ???? ?? ?????A?

X=x]?[X6x]? ????

X6x]? F ??????lim1FX= 0?lim+1FX= 1?

On commencera cette section en expliquant comment les résultats vus précédemment se prolongent

dans le cadre général et l'on insistera sur les problèmes de convergence de séries que l'on rencontre lors

de l'étude de variables aléatoires innies ????x2X( x x 2 X( x 2 X( )xP(X=x)??? )??? ??????g(X)????? ???X x 2 X( )g(x)P(X=x)??? ??????? x 2 X(

E(aX+b) =aE(X) +b?

V(X) =E(X2)(E(X))2?

??X ,! G(p)? ???? ???? ?????? ?????? ??????? ??? ???k?

P(X=k) =p(1p)k1?

??? ?? ??????? ??? ??? ??????? ??X????? ????x??R?FX(x) =Z x 1 f

X(t)dt??

? ??????? ??? ?? ?????? ????? ???????fX? ????? ???Z 1 1 f(t)dt= 1??? ?? ??????? ????? ?????Z 1 1 xf ?????? ???? ?? ????E(X)??? ????? ? ????? ???

E(aX+b) =aE(X) +b?

X ,! U[0;1]()Y=a+ (ba)X ,! U[a;b]?

X ,! E(1)()Y=1

X ,! E() ( >0)?

X ,! N(;2),X=X

,! N(0;1)???? >0?

P(X>)6E(X)

P(jXE(X)j>")6V(X)"

2?? ;A;P)? X ???Xn,! B(n;p)? ?????(1n X ??? ?? ???Xn??X???? ? ??????? ????N? X

L'objectif est d'initier les étudiants à l'algorithmique et à l'utilisation de l'informatique en mathéma?

tiques au travers de thèmes empruntés au programme pour comprendre, illustrer et éclairer les notions

introduites Dès qu'un calcul numérique est envisagé, dès qu'un problème incite à tester expérimenta?

lement un résultat, dès qu'une situation aléatoire peut être modélisée avec des outils informatiques, le

recours à des algorithmes et des logiciels devra devenir naturel

Le logiciel retenu pour la programmation dans ce programme des classes économiques et commerciales

est Scilab

L'utilisation du logiciel se fait en continuité avec le cours de mathématiques et sera suivi d'une mise

en ÷uvre sur ordinateur Seules les notions de Scilab indiquées dans le programme sont exigibles

V??????? ?????? :? ? ????? ?

p )?n © Ministère de l"enseignement supérieur et de la recherche, 2013

Programmes des classes

préparatoires aux Grandes Ecoles

Filière : économique et commerciale

Option : Scientifique (ECS)

Discipline : Economie

Première et seconde années

© Ministère de l"enseignement supérieur et de la recherche, 2013 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr Programme d'Économie C P GE Économique et commerciale, voie scientifique (ECS) Ob jectifs généraux Le programme d"économie a pour objectif de doter les étudiants de la voie scientifique de connaissances qui leur permettront de mieux saisir les enjeux économiques contemporains. La maîtrise des notions et des mécanismes développés dans ce programme sera particulièrement utile aux candidats des concours d"entrée aux grandes écoles de commerce et de management et leur apportera une aide essentielle lors de la poursuite de leurs études dans ces écoles. Le programme est structuré en quatre modules semestriels.

Module 1. Comprendre l"analyse économique

1.1/ Éléments d"histoire de la pensée économique

1.2/ L"économie de marché

1.3/ La monnaie

Module 2. Comprendre les enjeux européens dans le cadre de la mondialisation

2.1/ Le commerce international

2.2/ Le système monétaire et financier international

2.3/ L"intégration européenne

Module 3 : Comprendre la croissance et les crises

3.1/ La croissance

3.2/ Les crises

Module 4 : Comprendre les politiques économiques

4.1/ Les politiques économiques : enjeux et modalités

4.2/ Les politiques économiques en action

Module 1. Comprendre l"analyse économique

Or ientation générale On proposera aux étudiants une première approche du raisonnement économique en

présentant des éléments d"histoire de la pensée économique, en étudiant le fonctionnement

du marché et en posant les bases de l"étude de la monnaie.

1.1/ Éléments d"histoire de la pensée économique

1.

1.1. L"analyse libérale : quels fondements ?

1.1.2. L"analyse keynésienne : quels apports ?

1.1.3. Les approches contemporaines : quels débats ?

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