[PDF] Devoir maison `a rendre le 08/02/16

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PCSI5Lycee Saint Louis

Devoir maison a rendre le 08/02/16DM8

La qualite de la redaction, la clarte et la precision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l'appreciation des copies.

Exercice 1 (Methode de Newton)

Soitaetbdeux reels tels quea < betf: [a;b]!Rune fonction de classeC2sur [a;b].

On suppose en outre que :

f(a)>0 etf(b)<0 ;f0est strictement negative sur [a;b].

Partie I. Principe de la methode de Newton.

1. Mon trerque l' equationf(x) = 0 admet une unique solution dans ]a;b[, que l'on notera. Le but de ce probleme est de presenter une methode pour obtenir une valeur approchee de. Cette methode consiste, a partir d'une premiere approximationx0de, a lineariser l'equationf(x) = 0 au voisinage dex0, donc a remplacerfpar sa tangente enx0. 2. Soit x02[a;b]. Determiner l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente aCfen (x0;f(x0)). On introduit alors la fonctiong: [a;b]!Rdenie par :

8x2[a;b]; g(x) =xf(x)f

0(x): On obtient ainsi une nouvelle approximation deen prenantx1=g(x0). En poursuivant, on est

ainsi conduit a etudier l'existence, puis la convergence vers, de la suite (xn) denie par la relation

x n+1=g(xn).

3.Exemple.Dans cette question, on cherche une approximation dep3. Pour cela, on considere

la fonctionf: [1;3]!Rdenie parf(x) = 3x2. (a)

T racerla courb erepr esentativede f.

(b) Prenons x0= 2 (p3). Construire graphiquement les trois premiers termes de la suite (xn).

Partie II.

Etude de la fonctiong.

1. Mon trerque gest de classeC1dans [a;b], et calculer sa derivee. Calculerg() etg0(). 2. On souhaite prou verqu'il existe K >0 tel que pour toutx2[a;b],jg(x)j Kjxj2. (a) Justier l'existence d'un couple ( m;M) de reelsstrictementpositifs tels que

8x2[a;b];jf0(x)j metjf00(x)j M

(b) Mon trerqu'il existe L >0 tel que8t2[a;b];jf(t)j Ljtj (c) Soit x2[a;b]. En utilisant le theoreme des accroissements nis sur [x;] (ou [;x]), justier que jg(x)j Mm

2Ljxj2:

(d)

Conclure.

1

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Partie III.

Etude de la suite(xn)n2N.

Soit (xn) la suite recurrente denie par :x02[a;b]

8n2N,xn+1=g(xn)

1. Dans cette question uniquemen t,on supp osede plus q uef00>0 sur [a;b] etx0=a. (a)

Etudier les variations deg.

(b) Justier que ( xn)n2Nest bien denie, croissante et majoree par. (c)

En d eduireque la suite ( xn)n2Nconverge vers.

2.

On revien tau cas g eneral.

(a) Justier qu'il existe h >0 tel que en notantI= [h;+h], on aitKh <1 etI[a;b]. (b) Etablir que :8x2I; g(x)2I. En deduire que six02Ialors pour toutn2N,xnest bien denie etxn2I. On suppose dans toute la suite du probleme quex02I. (c)

Mon trerque :

8n2N;jxnj 1K

K(x0) 2n (d)

En d eduireque la suite ( xn)n2Nconverge vers1.

3.Exemple.Reprenons l'approximation dep3. On considere toujours la fonctionf: [1;3]!R

denie parf(x) = 3x2. (a) Mon trerque l'on p eutprendre K= 3 eth= 0;3 (on pourra remarquer que 1;7Mon trerque p ourtout n0, on ajxnp3j 13 0;9 2n (d) Com biend'it erationsdoit-on faire p ourobtenir 100 d ecimalesde p3 avec cette methode ? (e) Com biend'it erationsdoit-on faire p ourobtenir 100 d ecimalesde p3 par methode de di- chotomie ? Quelle est la methode la plus ecace ?Exercice 2 Le but de l'exercice est de trouver toutes les applicationsf:]0;+1[!]0;+1[ telles que : ()(8(x;y)2]0;+1[2; f(xf(y)) =yf(x) limx!+1f(x) = 0 1. T rouverun exem plesimple d'application qui remplit les conditions c i-dessus. 2. Soit fune application qui verie les conditions (). (a) Soit x2]0;+1[, montrer qu'il existex12]0;+1[ tel quef(x1) =x1.(On exprimerax1en fonction dex).

Montrer que :8n2N; f(x2n

1) =x2n

1. En deduire que six1>1, il y a une contradiction avec limx!+1f(x) = 0. (b)

Si x1<1, montrer que :8n2N; f1x

2n 1 =f(1)x 2n

1. Obtenir egalement une contradiction.

(c)

Conclure. 1

Avec la relation (), on dit que (xn) converge versa l'ordre 2. 2quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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