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M 22 07 :Mathématiques financières, Semestre 2Arnaud RousselleTable des matières
1 Algèbre matricielle et systèmes linéaires 1
1.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.1 Somme et différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2.3 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.2.5 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81.3 Systèmes d"équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101.3.1 Écriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.3.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121.3.3 Application à l"inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181.4 Prolongement : introduction à la programmation linéaire . . . . . . . . . . . .
211.4.1 Méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241.4.2 Forme standard d"un problème d"optimisation linéaire . . . . . . . . .
251.4.3 Introduction à la méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282 Statistiques descriptives univariées 41
2.1 Vocabulaire statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
412.2 Cas qualitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
422.3 Cas quantitatif discret sans regroupement en classes . . . . . . . . . . . . . .
442.3.1 Tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
452.3.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
462.3.3 Paramètres statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
462.4 Cas quantitatif continu ou discret avec regroupement en classes . . . . . . . .
502.4.1 Tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
502.4.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
522.4.3 Paramètres statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
552.5 Complément : d"autres moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
573 Statistiques bivariées 59
3.1 Présentation et traitement des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
593.2 Étude et mesure des liens entre les variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
623.2.1 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
623.2.2 Coefficient de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
633.2.3 Coefficient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65i
TABLE DES MATIÈRES
3.3 Régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
673.4 Complément : test duχ2d"indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
4 Analyse à une variable réelle 75
4.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
754.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
764.2.1 Fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
764.2.2 Fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
774.2.3 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
794.2.4 Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
794.2.5 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
794.2.6 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
804.2.7 Fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
824.2.8 Fonctions puissances et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
844.2.9 Fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
854.2.10 Fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.3.1 Définitions formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.3.2 Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
914.3.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
924.3.4 Comparaison de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
934.3.5 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
944.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
964.5 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
974.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
974.5.2 Dérivées usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
984.5.3 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
984.5.4 Tangente à une courbe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
994.5.5 Applications à l"étude des variations et à la recherche d"extrema . . .
1004.6 Applications en économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1024.6.1 Coût marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1024.6.2 Coût moyen, coût marginal et optimum technique . . . . . . . . . . .
1034.6.3 Revenu marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1034.6.4 Élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1044.7 Complément : autour du lien entre variations d"une fonction et signe de sa dérivée
1065 Suites numériques 109
5.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1095.2 Convergence et limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1105.3 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1125.3.1 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1125.3.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1125.3.3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1175.3.4 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1215.4 Complément : la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122ii
TABLE DES MATIÈRES
6 Mathématiques financières 125
6.1 Intérêts, capitalisation et actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1256.1.1 Intérêts simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1256.1.2 Intérêts composés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1276.1.3 Taux nominaux, périodiques et effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . .
1296.1.4 Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1306.1.5 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1306.2 Versements périodiques : les annuités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1326.2.1 Annuités de début de période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1326.2.2 Annuités de fin de période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1346.2.3 Cas des annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1356.3 Empruntsindivis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
6.3.1 Empruntsin fine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
6.3.2 Emprunts à annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1416.3.3 Emprunts à amortissements constants . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1426.3.4 Taux annuel effectif global (TAEG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1436.4 Rentabilité d"un investissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1446.4.1 Valeur actuelle nette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1446.4.2 Taux de rentabilité interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1457 Séries chronologiques 147
7.1 Premières définitions, exemples et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1477.1.1 Motivations et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1487.2 Analyse d"une série chronologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1497.2.1 Décomposition d"une série chronologique . . . . . . . . . . . . . . . . .
1497.2.2 Modèle additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1507.2.3 Modèle multiplicatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1507.2.4 Quelques manipulations avec un tableur . . . . . . . . . . . . . . . . .
1517.3 Estimation des composantes d"une série chronologique . . . . . . . . . . . . .
1527.3.1 Estimation de la tendance générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1527.3.2 Estimation de la composante saisonnière . . . . . . . . . . . . . . . . .
1547.4 Prédiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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