[PDF] L2´ECONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE M´ETHODES

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L2

ECONOMIE&GESTION

2010-11

COURSDEM

ETHODES

MATH

EMATIQUES3

AlexandreVIDAL

Derni`eremodification:11janv ier2011

Tabledesmati`e res

IG´ en´eralit´esetrappelssurlesfonctions1 I.1D´efi nition.................... ... ... ... ... ... .1 I.2Restr iction,injectivit´e,surjectivit´e,b ijectivit´e................3 I.3Rappels surlesfonctionstri gonom´etr iques.. ............... .5

IIFonct iond'unevariabler´eell e7

II.1Limit e................. ... .. ... ... ... ... ... .7 II.2Continui t´e.......................... ... ... ... .10 II.3D´eriv ´eeenunpoint.............. ..... ...... ......12 II.4Tangen te..................... ... ... ... ... ... .14 II.5Foncti ond´eriv´ee............ .....................15 II.6Sensde variationset extrem a.........................18 II.7D´evel oppementslimit´es.......................... ...20 II.8Formules deTaylor................ ... ............23

IIIFonctionsdedeuxvariablesr´eell es2 3

III.1Lignesdeniv eau.............. ...... ............24 III.2Formes deslignesdeniveau. ........ .................25 III.3Transf ormationsmonotones......................... .25 III.4Rendem entd'´echelle,productivit´e moyenne..................27

IVFoncti onsdenvariablesr´eelles27

IV.1D´eri v´eespartiellesd'ordre1...... ....................28 IV.2D´eriv ´eespartiellesd'ordre2....... ...................33 IV.3Approxi mationsdeTaylor....................... ....34 IV.4Conti nuit´edesfonctionsdenvariablesetclasseC k .............35

VFo rmesquadratiques36

VIOptim isation40

VI.1Conve xit´e........................ ... ... ... ... 40 VI.2Optimi sationsanscontrainte............... ........... 42 VI.3Optimi sationsouscontrainte............... ........... 44

IG´ en´eralit´esetrappelssurlesfonctions

I.1D´efiniti on

D´efinition1:Unefonctionfestl adonn´ee :

-d'unensemb leded´epartE, -d'unensemb led'arriv´eeF, -etd' unensembleGdecouple s(x,y)!E"F,appel´egraphe,telquesi(x,y 1 )!G et(x,y 2 )!Galorsy 1 =y 2

Ledomaineded´efinitiondelaf onctionf,not´eD

f ,estd´efinipar: D f ={x!E|#y!F,(x,y)!G}$E.

Pourx!D

f ,l'imagedexparfestl' uniquef(x)!Ftelque(x,f(x))!G.Onnote: f:D f %F x%f(x) ou f:D f $E%F x%f(x)

Poury!F,tout´el´ementx!D

f f).Pour U$E,l'imagedeUparfestd´ efinieparf(U)={f(x)|x!D f &U}$F.

Exemple1:

a)Soitlafonc tionfd´efinieparl'ensembl eded´epar tE={a;b;c;d},l'ensembled'arriv´ee

F={rouge;vert;bleu;jaune}etle graphe

G={(a,rouge);(b,bleu);(c,rouge)}.

Onv´ erifiequechaque´el´emen tdeEestenrela tionav ecauplusun´el´ementdeF.Le domainede d´e finitiondelafonctionest{a,b,c}.Deplus,f(E)={rouge,bleu}.

Repr´esentationdugraphedelafonction:

jaune bleu(b,bleu) vert rouge(a,rouge)(c,rouge) abcd Onrema rquequerougeadmetplusieursa nt´ ec´edentsparcettefonction:aetc. b)AvecEetFd´efiniscommepr´ec´e demment,ladonn´ ee: E,F, G={(a,rouge);(b,bleu);(c,vert);(a,jaune)}$E"F ned´ efinitpasunefonction(`asupp oser, biens ˆur,querouge'=jaune). c)SoientE=R,F=Retle grapheGd´efiniparlarelat ionf(x)=1+ 1 x ,i.e. G= x,1+ 1 x |x!Ret1 + 1 x !R 1 Ladonn´ eeE,F,Gd´efinitbienunefonction fpuisque,si(x,y 1 )!Get(x,y 2 )!G, alorsy 1 =y 2 =1+ 1 x .Ona: f:R $R%R x%1+ 1 x

Deplus, f(E)=R\{1}$F.Vo irFig.1,pane lgauche.

d)SoientE=R,F=R etle graphed ´efiniparlarelati ong(x)=1+ 1 x ,i.e. G= x,1+ 1 x |x!Ret1+ 1 x !R Ladonn ´eeE,F,Gd´efinitbienunefonct iongpuisque,si(x,y 1 )!Get( x,y 2 )!G, alorsy 1 =y 2 =1+ 1 x !R etx>0et1+ 1 x (0.Le domaineded ´efinition defest ])*,)1]+]0,+*[.Onnote alors: f:])*,)1]+]0,+*[$R%R x%1+ 1 x

Deplus, f(E)=R

\{1}$F.Vo irFig.1,pane ldroit. Pourunefon ctionfd'unevariable r´eelle` avaleursr´eelles,onrepr ´esente legraphede fdansleplan R"R=R 2 munid'unr ep`ereorthogo nal(ouorthonorm´e) (O,x,y).Les deuxderniers exemplessontillustr´esp arFig.1. constitu´esdepointsdelaform e x,1+ 1 x .L'ensembleded´epartestRdansle sdeux cas.Mais, lafonction degauche (Exemple1c))estd onn´eeav ecl'ensembled'arr iv´eeR etcell ededroite(Ex emple1d ))avecl'ensembl ed'arriv´eeR .Danscederniercas,le grapheG$R"R nepeut contenirdepoi ntdelapartiegrise.En cons´e quence,les domainesded´e finitiondes deuxfonctions(envert)s ontdi

´erents:respectivemen tR

et ])*,)1]+]0,+*[. 2 Lesexemples pr´ec´edentsmetten tenlumi`erel'importancedesensemblesded´epart etd' arriv´eedanslad´efinitiond'unefon ction:cesdern iersontu neinfluencedirectesur ledoma ineded´efinition.Ainsi ,uneex pressionnum´eriqueP x nes u tpas` ad´ efinirune fonction. I.2Restri ction,injectivit´e,surjectivit´e,bij ectivit´e

D´efinition2:Soit

f:D f $E%F x%f(x) etd euxensemblesA$EetB$F.Ond´efinitlarestrictiondef`aA(aud´ epart)etB `al' arr iv´ eep ar: f |B |A :(D f &A)$A%B x%f(x) i.e.f |B |A estd onn´eeparl'ensembled´ epartA,l'ensembled'arriv´eeBetle graphe

G={(x,f(x))|x!(D

f &A)etf(x)!B}. Exemple2:Dansl'Exe mple1,lafonctiongd´efinieaud)estlares tricti ondel afonction f`al' ens emb led 'ar riv ´ee R .Vo irleursgrap hessurlaFig.1.

D´efinition3:Soit

f:D f $E%F x%f(x) -festdi teinjective(deEdansF)si D f =Eet,(x 1 ,x 2 )!E"E,f(x 1 )=f(x 2 )=-x 1 =x 2 Cettepropri´ et´esignifiequefestd ´efiniesurtoutEetqu'u n´el´ementde l'ensemble d'arriv´eeadmetauplusunant ´ec´edentparf. -festdi tesurjective(deEsurF)sif(E)=F,soitencore: ,y!F,#x!E,f(x)=y. Cettepropr i´et´esignifiequetout´el´ementdel'ensemb led'arriv´eeadmetaumoi ns unant ´ec´edentparf. -festdi tebijective(entr eEetF)sielleestinjectiveetsurjective,i.e: D f =Eet,y!F,#!x!E,f(x)=y (#!...signifie"ilexisteunu nique.. ."). Cettepropri´ et´esignifiequefestd´ efiniesurtoutEetqu etout´el´emen tdeFadmet 3 exactementunan t´ec´edentdansE.Ondit´egalementquefestun ebijection(ent re EetF).Dansc ecas ,ond´efinit labijectionr´eciproquedef: f "1 :F%E y%f "1 (y) o`uf "1 ,x!E,f "1 (f(x))=x ,y!F,f(f "1 (y))= y

Figure2-Propri´et´esdex%x

2 selonl'ensem bleded´epartetl'ensembled' arriv´ee choisis.

Exemple3:Onchoisit E=D

f pourl'ensemb leded´epartdesfonctionssuiv antes. Les graphesdesfonctionssu ivantess ontrepr´esent´eessurlaFig.2 . -Lafonc tion f:R %R x%x 2 estin jective.Ene etsix 1 !R etx 2 !R sonttelsq uex 2 1 =x 2 2 ,alorsx 1 =x 2

Attention:ceciestvraipar ceq uex

1 etx 2 sontpositi fs(D f =R -Lafonc tion f:R%R x%x 2 estsurject ive.Ene etpour tout´el´eme nty!R ,ilexisteaumoinsun´el´ement x!Rtelquey=x 2 -Lafonc tion f:R %R x%x 2 4 estbi jective.Ene!et,E=D f etpou rtout´el´em enty!R ,ilexisteununique

´el´e men tx!R

telquey=x 2 Remarque1:SiGestle graphed' unebijectionfentreEetF,legraphedesabijection r´eciproquef "1 est {(y,x)!F"E|(x,y)!G} Ainsi,siEetFsontdespar tiesdeR(funefoncti ond'unevariabler´eelle` avaleurs r´eelles),onremarquedoncqueleg raphed ef "1 estle sym´etr iquedugraphedefpar rapport`alapr emi`erebis sec trice(droited'´equationy=x).Voir Exemple4etFi g.2.

D´efinition4:Soit

f:D f $E%F x%f(x) etd euxensemblesA$EetB$F.On ditquefinduitunebije ctionentreAetBsi lares triction f=f |B |A estu nefonctionbiject ive(entreAetB). Dansce cas,onpe utd´efinirlabijec tionr´ eciproque f "1 dece tterestrictionens uivantla

D´efinition3.

Exemple4:Lafonc tion

f:R%R x%x 2 induitune bijec tionentreR etR puisquef |R |R estun ebijection.La bijectionr´eciproque estdon cbiend´efin ie:ils'agitd elafonction"racinecarr´ee"d´ efini edeR dansR

I.3Rappels surlesfonctionstrigono m´etri ques

Onrapp ellelesfonctionstrigono m´etrique sclassiquesetleurgraphes.Vo irFig.3. Lesfonctionss inetcossontd ´efiniessur toutR`ava leu rsd ans [)1,1]et2 !-p´eriodiques. Comme cosx=0.-x= 2 +k!,aveck!Z, lafonc tion!-p´eriodiquetan= sin cos estd ´efiniesur D tan =R\ 2 +k!|k!Z 5

Formulaire:

cos( 2 )a)=sina,sin( 2 )a)=cosa,tan( 2 )a)=cotana= 1 tana cos( 2 +a)=)sina,sin( 2 +a)=cosa,tan( 2 +a)=)cotana=) 1 tana

Propri´et´efondamentale:,a!R,cos

2 a+sin 2 a=1. tan. 6 r´eciproquesarcsin,arccosetarctan . Lesfoncti onstrigonom´etriquesclassi quesinduisentdesbijections(voirFig.3etFig.4): -sinindu itunebijectionentre[) 2 2 ]et[)1,1], -cosindu itunebijectionentre[0,!]et[)1,1], -taninduitunebije ction entre [) 2 2 ]etR. Lesbijec tionsr´eciproquessontre spectivementnot´ees: -arcsin:[)1,1]%[) 2 2 -arccos:[)1,1]%[0,!], -arctan:R%[) 2 2

IIFoncti ond'unevariabler´eell e

Ons'i nt´eressedanscechapitreauxfonctions d'unevariabl er´ee lle(ensembleded´epart

II.1Limite

Soientfunefonc tionr´eelle`av aleursr´eellesetx 0 !R.Lesd´efinitionssuivantessont illustr´eesparFig.5. D´efinition5:1)Onsupp osequ'ilexiste ">0telque]x 0 )",x 0 [+]x 0 ,x 0 +"[$D f

Alorsfadmetunelimitel!Renx

0 si: ,#>0,#$>0,,x!D f \{x 0 },|x)x 0 |<$=-|f(x))l|<#. Cettepropri´ et´epeut´egalements'´ecrire: ,#>0,#$>0,,x!D f \{x 0 },x 0 )$Dansce cas,cette limiteestuniqueetonnote : lim x#x 0 f(x)=loulim x 0 f=l. 7

2)Onsupp osequ'ilexiste ">0telque]x

0 ,x 0 +"[$D f .fadmetune limitel d !R`a droitedex 0 si: ,#>0,#$>0,,x!Dquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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