[PDF] ALGÈBRE 1 (ENS PREMIÈRE ANNÉE) par Antoine Ducros

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ALGÈBRE 1 (ENS, PREMIÈRE ANNÉE)

par

Antoine DucrosTable des matières

1. Relations et quotients........................................... 2

2. Généralités sur les groupes...................................... 11

3. Propriétés du groupeZet quelques conséquences................ 30

4. Groupes opérant sur un ensemble et applications................ 44

5. Groupes de permutations........................................ 55

6. Le produit semi-direct........................................... 65

7. Théorèmes de Sylow............................................. 77

9. Groupes libres, groupes définis par générateurs et relations......103

10. Algèbre linéaire, dualité, produit tensoriel......................111

11. Représentations des groupes : généralités.......................139

12. Représentations complexes des groupes finis....................163

13. Généralités sur les formes quadratiques.........................178

14. Théorèmes de classification, étude des groupes orthogonaux....204

2ANTOINE DUCROS

1. Relations et quotients

1.1. -Nous ne ferons pour l"essentiel ici aucun rappel sur les notions de base de la

théorie des ensembles (appartenance, réunion, intersection...) que nous supposerons connues au moins informellement. Nous allons toutefois passer un peu de temps sur le concept derelation, qui vous apparaît sans doute intuitif mais dont nous allons donner une définition rigoureuse. Définition 1.1.1. -UnerelationRest un tripletpX,Y,ΓqoùXetYsont deux ensembles et oùΓest un sous-ensemble deXY, appelé legraphede la relationR. On dit qu"un élémentxdeXet un élémentydeYsont en relation relativement

àRsipx,yq PΓ; on écrit alorsxRy.

SiXest un ensemble, une relationsurXest une relation de la formepX,X,Γq. Commentaires 1.1.2. -On voit que formellement, une relation est définie par son graphe, c"est-à-dire par la liste des couples d"éléments en relation. Mais en pratique, une relation est évidemment le plus souvent définie par une condition logique ou une formule. Exemples 1.1.3. -Sur tout ensembleXon dispose de la relation(l"égalité) dont le graphe est ladiagonaletpx,xquxPX. On peut aussi bien entendu se donner une relation directement par son graphe : par exemple, la relation surt1,2,3ude graphetp1,1q,p2,3q,p3,2q,p1,3qu(choisi arbitrairement, et qui ne présentea prioristrictement aucun intérêt).

1.2. Digression : la notion d"application. -Lorsqu"on écrit rigoureusement

les fondements de la théorie des ensembles (et donc des mathématiques), la notion d"application est définie à partir de la notion de relation. Définition 1.2.1. -SoientXetYdeux ensembles. UneapplicationdeXversY est une relationfde la formepX,Y,Γqpossédant la propriété suivante : pour tout xPX, il existe un uniqueyPYtel quepx,yq PΓ, c"est-à-dire encore tel quexfy. Cet unique élémentyest le plus souvent notéfpxq. On dit queXest l"ensemble de départ (ou la source) def, et queYest son ensemble d"arrivée (ou son but). Commentaires 1.2.2. -Une application est donc définie en théorie par son graphe, c"est-à-dire par la liste de ses valeurs; en pratique, elle l"est évidemment le plus souvent par une formule. Exemple 1.2.3. -Sur tout ensembleX, la relation d"égalité de graphetpx,xquxPX est une application, appeléeidentitédeXet notéeIdXouIdsi le contexte est clair; on aIdXpxq xpour toutxPX.

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1.2.4.Application vide. - La définition d"une application par son graphe permet

notamment de donner un sens rigoureux à la notion d"application de sourcevide, qui peut à première vue susciter un certain malaise. En effet, soitYun ensemble quelconque. Une application deHversYest d"après notre définition un sous-ensemble

ΓdeH Ytel que

@xP H,D!yPYt.q.px,yq PΓ. Regardons de plus près ce que cela signifie. L"ensembleH Yest vide; son seul sous-ensemble est donc l"ensemble vide. Or la phrase logique ci-dessus est satisfaite lorsqueΓ H, pour une raison très simple :toute phrase logique commençant par @xP Hest vraie. En effet, il suffit pour s"en convaincre de remarquer que sa négation est de la forme "DxP Ht.q. ...» et est donc évidemment fausse. Il y a donc une et une seule application deHversY, qu"on appellel"application vide.

1.2.5. - Il y a par contre très peu d"applications de but vide. Plus précisément, si

Xest un ensemble non vide, alors il n"existe pas d"applicationfdeXversH: en effet si c"était le cas le choix d"un élémentxdeX(possible carX H) fournirait un

élémentfpxqdeH, ce qui est absurde.

Notez par contre qu"il existe une (unique) application deHdans lui-même : l"application vide vue au 1.2.4 ci-dessus (oùYétait quelconque, et pouvait donc être vide). Elle coïncide nécessairement avec l"identité, par unicité ou encore parce que si on la notefon a alors@xP H, fpxq xpar le principe général rappelé en

1.2.4.

1.2.6.Remarques générales à propos de l"ensemble vide. - Dans ce texte, tout

ensemble figurant dans les hypothèses d"un énoncé est autorisé à être videsauf exclusion expresse de ce cas.

Lorsqu"elle est avérée, la validité d"un énoncé donné pour l"ensemble vide est sauf

exception tautologique, et ne demande souvent aucun argument spécifique, grâce au fait qu"une proposition commençant par@xP Hest toujours vraie. Ce principe qui peut apparaître loufoque ou déstabilisant simplifie donc en fait la vie : il permet en effet d"inclure sans même y penser le cas de l"ensemble vide dans une bonne partie des raisonnements, évitant par là des distinctions aussi fastidieuses qu"inutiles qui alourdiraient la rédaction.

1.2.7.Familles. - UnefamillepxiqiPId"éléments d"un ensembleXparamétrée par

un ensembleIest simplement une applicationiÞÑxideIdansX. Conformément à nos conventions générales rappelées ci-dessus, l"ensembleIpeut être vide. Il y a plus précisément une et une seule famille d"éléments deXindexée par l"ensemble vide, à savoir l"application vide deHdansX, qui est appelée aussi lafamille vided"éléments deX. Sinest un entier, nous écrirons parfoispe1,...,enqpour désigner une famillepeiq famille vide.

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1.3. Relations d"équivalence. -Nous allons maintenant introduire et étudier

une classe particulière de relations qui joue un rôle absolument central en mathématiques. Définition 1.3.1. -SoitXun ensemble. Une relationRsurXest appelée une relation d"équivalencesi elle possède les propriétés suivantes :

Restréflexive,i.e.xRxpour toutxPX;

Restsymétrique,i.e.xRyðñyRxpour toutpx,yq PX2; Resttransitive,i.e.pxRyetyRzq ñxRzpour toutpx,y,zq PX3. Exemples 1.3.2. -Sur tout ensembleXon a deux exemples extrêmes de relations d"équivalence, à savoir l"égalité d"une part, et la relation grossièreRtelle quexRy pour tout couplepx,yq(notez que ces deux relations coïncident siX Hou siXest un singleton). Sinest un entier, la relationCnde congruence modulonsurZ, définie par la conditionxCnyðñ pndivisexyqest une relation d"équivalence. Sif:XÑYest une application quelconque entre deux ensemblesXetY, elle induit une relation d"équivalenceRf, donnée par la condition xRfx1ðñfpxq fpx1q. et appelée la relation d"équivalence définie parf. Nous verrons en fait un peu plus bas que toute relation d"équivalence est de la formeRfpour une applicationfbien choisie.

1.3.3.Classes d"équivalence. - SoitXun ensemble et soitRune relation

d"équivalence surX. Sixest un elément deX, laclasse (d"équivalence) dexpour la relationRest l"ensemble des élémentsydeXtels quexRy.

1.3.3.1. - SoitxPXet soitCsa classe d"équivalence. Par réflexivité,Ccontient

x(en particulier,Cest non vide). SoityPCet soitzPX. CommexRyon a par symétrie et transitivité xRzðñyRz.

Par conséquent,Cest aussi la classe dey.

On a donc montré quetoute classe d"équivalence de la relationRest la classe de chacun de ses éléments.

1.3.3.2. - SoientCetC1deux classes d"équivalence pourR. Supposons queCXC1

soit non vide. Choisissons un élémentxde cette intersection. On déduit de 1.3.3.1 que la classe dexest égale àCaussi bien qu"àC1. Par conséquentCC1. Deux classes d"équivalences distinctes deRsont donc disjointes.

1.3.4.Relations d"équivalences et partitions. - SoitXun ensemble; nous noterons

PpXql"ensemble des parties deX. UnepartitiondeXest un sous-ensemble dePpXq

constitué de parties non vides, deux à deux disjointes, et dont la réunion est égale à

X. SoitRune relation d"équivalence surX. L"ensemble des classes d"équivalence pour Rest alors une partition deX. En effet toute classe d"équivalence est non vide

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(1.3.3.1), les classes d"équivalence sont deux à deux disjointes (1.3.3.2) et leur réunion est égale àXcar chaque élément deXappartient à sa propre classe. Réciproquement, soitPune partition deX. NotonsRla relation définie par la condition suivante :xRysi et seulement sixetyappartiennent au même élément de la partitionP. Il est immédiat queRest une relation d"équivalence. Nous laissons le lecteur vérifier que les deux constructions ci-dessus mettent en bijection l"ensemble des relations d"équivalences surXet celui des partitions deX.

1.3.5.Quotient par une relation d"équivalence. - SoitXun ensemble et soitRune

relation d"équivalence surX. On appellequotient deXparR, et l"on noteX{R, l"ensemble des classes d"équivalences pourR. L"applicationp:XÑX{Rqui envoie un élémentxsur sa classe d"équivalence est appeléel"application quotient (relative à R). Par construction,pest surjective et l"on appxq ppx1q ðñxRx1; on voit donc queRpeut se décrire comme la relation d"équivalence naturellement associée à une application de sourceX(en l"occurrence, à l"applicationp). Théorème 1.3.6(Propriété universelle du quotient) SoitXun ensemble, soitRune relation d"équivalence surXet soitp l"application quotient deXversX{R. Soitfune application deXvers un ensemble Ytelle que pour toutpx,x1q PX2on ait l"implication xRx1ñfpxq fpx1q. Il existe alors une unique applicationgdeX{RversYtelle quegpf, ce qu"on décrit aussi de façon un peu plus imagée en disant que le diagrammeXY X{Rf pg est commutatif, ou commute. Nous dirons quegestl"application induite parfpar passage au quotient (parR). Démonstration. -Comme nçonspar l"u nicité.S upposonsqu"une telle gexiste et soitcPX{R. Par surjectivité depil existexPXtel quecppxq; on a alors nécessairementgpcq gpppxqq fpxq, si bien quegest uniquement déterminée. Montrons maintenant l"existence. SoitcPX{R. Choisissons un antécédentxdec parp(il y en a au moins un par surjectivité dep). L"image dexparfne dépend alors que dec, et pas dex; en effet, six1est un (autre) antécédent decparp, l"égalité ppxq ppx1qsignifie quexRx1, ce qui entraîne par hypothèse quefpxq fpx1q. Il est donc licite de posergpcq fpxq. On a alors par constructiongpppxqq fpxqpour toutxPX, etgfait donc bien

commuter le diagramme.Commentaires 1.3.7. -Conservons les notations du théorème ci-dessus. Nous

résumerons l"implication xRx1ñfpxq fpx1q en disant quefestR-invariante.

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Il est clair quepestR-invariante, et donc quegpestR-invariante pour toute applicationg:X{RÑY. On peut donc reformuler comme suit le théorème ci-dessus :l"applicationgÞÑgp établit une bijection entre l"ensemble des applications deX{RversYet l"ensemble des applicationsR-invariantes deXversY. On peut résumer la situation de manière un peu informelle par le slogan suivant :se donner une application deX{RversY, c"est se donner une applicationR-invariante deXversY. Ce dernier est à retenir absolument, et son usage doit devenir un réflexe : lorsque vous aurez besoin de construire une applicationdepuisun ensemble quotientX{R, vous devrez chercher à construire une applicationR-invariante de sourceX(il y a cela dit des exceptions à ce principe, mais elles sont rares; elles peuvent par exemple se produire si l"on dispose d"une description deX{Rdifférente de sa présentation comme quotient).

1.3.8.Comment travailler avec le quotient? -Il est fréquent en mathématiques

qu"il y ait un certain hiatus entre la définition d"un objet et l"intuition qu"il convient de s"en faire; cela ne signifie pas que la définition est mauvaise, mais que son rôle est avant touttechnique(elle assure l"existence d"un objet ayant les propriétés requises, elle permet de raisonner rigoureusement avec celui-ci), et qu"elle ne permet pas de, ou disons ne suffit pas à, comprendre en profondeur ce qu"elle décrit. C"est typiquement le cas en ce qui concerne les quotients : si l"on se contente de voir X{Rcomme un ensemble de classes d"équivalence (ce qu"il eststricto sensu), on risque très vite de ne plus rien comprendre à ce qui se passe, les classes d"équivalence étant elles-mêmes des sous-ensembles deX. Il vaut beaucoup mieux penser àX{Rcomme à un ensemble construit à partir deXendécrétantque deux éléments en relation au sens deRsont égaux, et en n"imposantaucune autre contrainte; ou encore comme l"ensemblele plus généralconstruit à partir deXen imposant que deux éléments en relation au sens deRsoient égaux. On observe ici un cas particulier d"un phénomène fréquent en mathématiques, qu"on rencontrera à de nombreuses reprises dans ce cours : on traduit une propriété intuitive du type "Xest l"objet le plus général qui vérifie la conditionC» par la satisfaction d"une propriété universelle qui consiste toujours à décrire une bijection entre un ensemble d"applications de source ou de butX(selon les cas) et un autre

ensemble étroitement relié à la conditionC. L"expérience a montré la fécondité de cette

approche. L"un de ses nombreux mérites est qu"une propriété universelle détermine toujours l"objet qui la vérifie de manière essentiellement unique; la proposition ci- dessous illustre ce phénomène dans le cas des quotients par les relations d"équivalence. Proposition 1.3.9(Unicité du quotient à bijection unique près) SoitXun ensemble, soitRune relation d"équivalence surXet soitp l"application quotient deXversX{R. Soitq:XÑSune applicationR-invariante et telle que pour tout ensembleY, l"applicationgÞÑgqétablisse une bijection entre l"ensemble des applications deSversYet celui des applicationsR-invariantes deX

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versY. Il existe alors une unique application?:X{RÑStelle que le diagrammeXS X{Rpq commute, et?est une bijection. Démonstration. -L" existenceet l"unicité de ?résultent de la propriété universelle du quotient. Il reste à s"assurer que?est bijective. En vertu de notre hypothèse sur q, il existe une (unique) applicationψ:SÑX{Rtelle que le diagrammeXS X{Rpq commute. On aψ?pψqp; par injectivité degÞÑgpil vientψ?IdX{R. On a également?ψq?pq; par injectivité degÞÑgqil vient?ψIdS.

En conséquence?est bijective (et son inverse estψ).1.3.10.Quelques propriétés des applications induites. - SoitXun ensemble et soit

Rune relation d"équivalence surX; notonsxÞÑxl"application quotient deXvers X{R. Soitf:XÑYune applicationR-invariante, et soitf:X{RÑYl"application induite (les notationsxÞÑxetfsont relativement standard). On a pour toutxPXl"égalitéfpxq fpxq, ce qui entraîne queImpfq €Impfq. Par ailleurs commexÞÑxest une surjection deXsurX{R, tout élément deImpfq qu"on a finalementImpfq Impfq. En particulier,fest surjective si et seulement si fest surjective. Par ailleurs, en vertu de la surjectivité dexÞÑx, l"applicationfest injective si et seulement si on a pour toutpx,yq PX2l"équivalencefpxq fpyq ðñxy qu"on peut récrire fpxq fpyq ðñxRy. Autrement dit,fest injective si et seulement siRest la relation d"équivalence définie parf(exemple 1.3.2). En particulier, sifest une surjection et si la relation d"équivalence associée àf coïncide avecR, l"applicationfest une bijection deX{RsurY.

1.3.11. - Soitf:XÑYune application. Si l"on désigne parRfla relation

d"équivalence associée àf(1.3.2) alorsfestRf-invariante par définition, et il résulte de 1.3.10 quefinduit par passage au quotient une bijectionX{RfImpfq.

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1.3.12.Relation produit. - SoitpXiqiPIune famille d"ensembles. On noteXle

produit± iXi, c"est-à-dire l"ensemble des famillespxiqiPItelles quexiPXipour touti. Supposons donné pour toutiune relation d"équivalenceRisurXi, et notonsξÞÑξ l"application quotient correspondante (l"indiceine figure pas explicitement dans cette notation mais cela ne créera pas de confusion). SoitRle produit desRi, c"est-à-dire la relation surXdéfinie par la condition pxiqiRpyiqiðñ p@i, xiRiyiq. On vérifie immédiatement queRest une relation d"équivalence.

L"application

π:Xѹ

iX i{Ri,pxiqiÞÑ px iqi est visiblement surjective, etRcoïncide par construction avec la relation d"équivalence associée àπ. On déduit alors de 1.3.10 queπinduit par passage au quotient une bijectionX{R± iXi{Ri.

1.4. Quotient par une relation arbitraire. -SoitXun ensemble. SiRest

une relation d"équivalence surX, nous avons vu comment "construire un ensemble à partir deXen décrétant que deux éléments en relation au sens deRont égaux, et en n"imposant aucune autre contrainte» : on forme le quotientX{R. Une question naturelle se pose : si on part maintenant d"une relationSquelconque surX, peut-on "construire un ensemble à partir deXen décrétant que deux éléments en relation au sens deSont égaux, et en n"imposant aucune autre contrainte»? Techniquement, cela revient (par analogie avec ce qui a été vu dans le cas d"une relation d"équivalence) à poser la question suivante : existe-t-il un ensembleZet une applicationS-invariantep:XÑZtelle que pour tout ensembleY, l"application gÞÑgpétablisse une bijection entre l"ensemble des applications deZdansYet l"ensemble des applicationsS-invariantes deXdansY? Nous allons voir que la réponse est affirmative, mais cela va nécessiter un peu de travail.

1.4.1.La relation d"équivalence engendrée parS. - Convenons de dire qu"une

relationTsurXestplus finequ"une relationT1(ou queT1estplus grossière queT) si le graphe deTest contenu dans celui deT1, c"est-à-dire encore si xTyñxT1y pour tout couplepx,yqd"éléments deX; si c"est le cas, on écriraT¨T1. Soit maintenantEl"ensemble des relations d"équivalences surXqui sont plus grossières queS, et soitRla relation surXdéfinie par la condition suivante : xRyðñ @TPE, xTy. On vérifie aussitôt queRest une relation d"équivalence; on dit que c"est larelation d"équivalence engendrée parS. Notez qu"on a par définitionR¨Tpour toute TPE. Notez aussi que sixetysont deux éléments deXtels quexSyalorsxTy pour touteTPE, si bien quexRy; par conséquent,S¨R. Remarquons enfin que

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siSest déjà une relation d"équivalence elle appartient àEet on vérifie aussitôt que

cela entraîne l"égalitéRS.

1.4.2.Description plus concrète deR. - La définition théorique deRva nous

suffire, mais pour la curiosité du lecteur nous allons en donner une description plus tangible. SoitS1la relation surXdéfinie par la condition suivante :xS1ysi et seulement s"il existe un entiern¥1et une suitexx1,x2,...,xnytelle que pour touti brièvement expliquer pourquoi. On vérifie tout d"abord immédiatement queS¨S1et queS1est une relation d"équivalence (la transitivité et la symétrie découlent de la définition; pour la réflexivité, notez que sixPXla suite singletonx1xmontre quexS1x, car la condition à vérifier commence par@iP H). Autrement dit,S1PE, ce qui entraîne queR¨S1. Vérifions réciproquement queS1¨R, ce qui montrera queRS1. Soient doncx etydeux éléments deXtels quexS1y, et donnons-nous une suitexx1,...,xny comme ci-dessus. SoitTPE. Pour toutientre1etn1on axiSxi1ouxi1Sxiet doncxiTxi1puisqueTest une relation d"équivalence (et en particulier symétrique) plus grossière queS; par transitivité il vientxTy. Ceci valant pour toutTPEon axRy, ce qu"il fallait démontrer.

1.4.3. - Nous allons maintenant montrer que l"applicationp:XÑX{Rrépond

au problème posé au début de 1.4. On sait déjà queS¨R, ce qui signifie exactement que l"applicationpestS-invariante. Il s"agit maintenant de montrer que pour tout ensembleY, l"applicationgÞÑgpétablit une bijection entre l"ensemble des applications deX{RdansYet l"ensemble des applicationsS-invariantes deX dansY. Compte-tenu de la propriété universelle du quotient (appliquée à la relation R), il suffit de prouver que pour tout ensembleYet toute applicationf:XÑY, l"applicationfestS-invariante si et seulement si elle estR-invariante. CommeS¨R, toute applicationR-invariante de sourceXestS-invariante. Réciproquement, soitfune applicationS-invariante de sourceXet soitRfla relation d"équivalence associée àf. Dire quefestS-invariante signifie exactement queS¨Rf, c"est-à-dire encore queRfPE. Mais on a alorsR¨Rf, etfest donc

R-invariante.

Commentaires 1.4.4. -L"ensembleX{Rpeut donc s"interpréter comme l"ensemble construit à partir deXen décrétant que deux éléments en relation au sens deSsont égaux (et en n"imposant aucune autre contrainte). Mais on sait par ailleurs queX{Rpeut s"interpréter comme l"ensemble construit à partir deXen décrétant que deux éléments en relation au sens deRsont égaux (et en n"imposant aucune autre contrainte). Intuitivement, cette double interprétation a le sens suivant. Lorsqu"on décrète que deux éléments coïncident dès qu"ils sont en relation au sens deS, cela entraîne des dommages collatéraux(en raison des propriétés formelles de la relation d"égalité) et

force en fait deux éléments à coïncider dès qu"ils sont en relation au sens deR. (Bien

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sûr siSest déjà une relation d"équivalence,RS, il n"y a pas de vrais dommages collatéraux et les seules identifications qu"on obtient sont celles qu"on a imposées; mais siSn"est pas une relation d"équivalence, la relationRest strictement plus grossière queSet des identifications apparaissent qui n"étaient pas explicitement spécifiées.)

ALGÈBRE 111

2. Généralités sur les groupes

2.1. Définitions et propriétés de base. -Nous allons maintenant présenter la

notion de groupe, dont l"étude occupera une grande partie de ce cours. Définition 2.1.1. -Ungroupeest un ensembleGmunid"une loi de composition interne:GGÑGqui satisfait les propriétés suivantes. (i) La loi estassociative: pour toutpg,g1,g2q PG3on agpg1g2q pgg1qg2. (ii) La loi admet unélément neutre, c"est-à-dire un élémentetel queeggeg pour toutgPG(un teleest nécessairement unique,cf.ci-dessous). (iii) T outélémen tgdeGadmet unsymétriquepour la loi, c"est-à-dire un élément g

1deGtel quegg1g1ge(un telg1est nécessairement unique,cf.

ci-dessous). Commentaires 2.1.2. -Insistons sur le sens de l"adjectif "muni» : il signifie que la loifait partie des données. En toute rigueur, on devrait donc écrire "soitpG,q» un groupe et non "soitGun groupe». Bien entendu, respecter ce principe conduirait à alourdir épouvantablement la rédaction, et l"on s"en affranchit donc le plus souvent; mais il faut garder en tête que l"on commet un petit abus, pour les rares cas où il pourrait y avoir une ambiguïté sur la loi de groupe.

2.1.3.Justification des énoncés d"unicité dans la définition 2.1.1. - Sieete1sont

deux éléments neutres dansGon a alorsee1ecare1est neutre, etee1e1car eest neutre; ainsi,ee1. Sig1etg2sont deux symétriques d"un même élémentgdeGon a g

1g1eg1 pgg2q pg1gq g2eg2g2

et partantg1g2(notez qu"on utilise ici l"associativité). Remarque 2.1.4. -Un groupe est toujoursnon vide, puisqu"il possède un élément neutre. Notations 2.1.5. -Lorsqu"on écrira "soitGun groupe» sans mention explicite de sa loi interne, celle-ci n"aura droit le plus souvent à aucune symbole spécifique et

sera simplement notéepg,hq ÞÑgh; en général, on désignera parel"élément neutre

deG(s"il y a plusieurs groupes en jeu, il arrivera qu"on le noteeGpour éviter toute confusion). Sipg,hq PG2, on parlera deghcomme duproduitdegethet l"on notera g

1le symétrique deg, qu"on appellera également soninverse. On a les formules

pg1q1getpghq1h1g1(attention au renversement de l"ordre des facteurs). Comme la loi interne deGest associative, on peut définir le produit de toute famille finieordonnéed"éléments deG(sans avoir à spécifier un parenthésage); lorsque la famille estvide, ce produit est égal àe. On écrira souventg1...,gnpour désigner le produit de la famille ordonnée g

1...gne.

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SigPGet sin¥0on posera

g ng ...gloomoon nfacteurs (sin0on a doncgne). Sin 0on poseragn pgnq1. Ces définitions assurent la validité des formules usuellesgnmgngmetpgnqmgnm. Sigethsont deux éléments deGet siEest un sous-ensemble deGon désignera pargE(resp.Eh, resp.gEh) l"ensemble des éléments deGde la formegx(resp.xh, resp.gxh) avecxPE. On a évidemmenteEEeeEeE. Sig1eth1sont deux autres éléments deG, l"associativité deGentraîne les égalités pg1gqEg1pgEq, Ephqh1Ephh1qetg1pgEhqh1 pg1gqEphh1q.

2.1.6.Simplification. - Dans un groupe, on peut "simplifier à gauche à droite».

Plus précisément, soitGun groupe et soientg,g1ethtrois éléments deG. Sihghg1 alorsgg1(multiplier à gauche parh1); sighg1halorsgg1(multiplier à droite parh1). Mentionnons quelques cas particuliers que nous utiliserons systématiquement : (i) si hggpegqalorshe; (ii) si ghgpgeqalorshe; (iii) si ghepgg1qalorshg1(et donch1g).

2.1.7.Groupes abéliens. - SoitGun groupe. On dit qu"il estcommutatif, ouabélien,

sighhgpour toutpg,hq PG2. Si c"est le cas, on adopte parfois pourGla notation additive: la loi interne est notée, l"élément neutre0, le symétrique d"un élémentg est notéget parfois appelé sonopposé, et l"on écritngau lieu degn. Exemple 2.1.8(Le groupe trivial). -Le singletonteumuni de la seule loi interne possible (celle pour laquelleeee) est un groupe, qui est dittrivial. Exemple 2.1.9. -L"ensembleZmuni de l"addition est un groupe abélien, sur lequel nous reviendrons en détail au chapitre suivant. Exemple 2.1.10(Groupes de permutations). -SoitXun ensemble. L"ensembleSXdes bijections deXdans lui-même (qu"on appelle parfois aussi permutations deX), muni de la composition des applications, est un groupe. Nous aurons l"occasion de revenir longuement sur le groupeSXlorsqueXest fini. Indiquons simplement ici que si|X| ¥3alorsSXest non abélien. En effet, choisissons trois élémentsa,betcdeX, deux à deux distincts. Soitσla permutation deXqui échangeaetbet fixe tous les autres éléments deX, et soitτcelle qui échangeaetc et fixe tous les autres éléments deX. Alorsσττσ: la première envoieasurc, la seconde l"envoie surb. Exemple 2.1.11(Produits de groupes). -SoientGetHdeux groupes. L"ensembleGHmuni de la loi interne définie par la formule pg,hqpg1,h1q pgg1,hh1q

ALGÈBRE 113

est un groupe. Son élément neutre estpeG,eHq, et l"inverse d"un élémentpg,hq estpg1,h1q. On l"appelle leproduit directdeGetHet on le note le plus souvent simplementGH(on dit parfois simplement "produit»; l"épithète "direct» est là pour lever toute ambiguïté, car il existe d"autres produits plus généraux, ditssemi- directs, que nous rencontrerons et étudierons plus loin). Plus généralement, sipGiqPPIest une famille de groupes, l"ensemble± iGimuni du produit composante par composante est un groupe (son élément neutre est la famillepeiqiPI, oùidésigne pour toutil"élément neutre deGi; et l"inverse se calcule composante par composante). On l"appelle le produit desGi, et on le note± iGi.

2.1.12.Brefs rappels sur les anneaux. - Unanneauest un groupe abélienpA,q

muni d"une loi interne supplémentairequi est associative, possède un élément neutre

1(nécessairement unique par le même raisonnement qu"en 2.1.3), et estdistributive

par rapport à l"addition, ce qui signifie que apbcq pabqpacqetpabqc pacqpbcqpour toutpa,b,cq PA3. Remarque 2.1.13. -Dans les axiomes qui définissent un anneau,on n"impose pas que10. On démontre très facilement que dans un anneau donnéA, on a10si et seulement siA t0u- on dit alors queAestl"anneau nul. Notation 2.1.14. -Il est fréquent, lorsqu"on travaille dans un anneau, que l"on omette le symbole mutiplicatifet qu"on écrive simplementabau lieu deab.

2.1.15.Anneaux commutatifs. - On dit qu"un anneauAestcommutatifsiabba

pour toutpa,bq PA2. Nous supposerons connues les bases de la théorie des anneaux commutatifs, et notamment les notions d"anneau intègre, de corps, d"idéal, d"idéal premier, d"idéal maximal, d"idéal et d"anneau principal. Nous ferons parfois de brefs rappels sur l"un ou l"autre de ces points, mais la plupart du temps nous les utiliserons librement; nous vous invitons à consulter si nécessaire vos cours antérieurs sur ces questions.

2.1.16.Groupes des inversibles d"un anneau. - SoitAun anneau. Un élémentade

Aest ditinversibles"il existe un élémentbdeA, nécessairement unique par le même raisonnement qu"en 2.1.3, tel que l"on aitabba1. L"ensemble des éléments inversibles deAest notéA; il est stable sous la multiplication et cette dernière fait deAun groupe d"élément neutre 1, abélien dès queAest commutatif. Exemple 2.1.17. -SiA t0ualorsA t0u t1u(notez que l"anneau nul est le seul anneau dans lequel0soit inversible).quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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